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文档简介

切比雪夫不等式大数定律中心极限定理第四章中心极限定理4.1.切比雪夫不等式若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。

它有以下等价的形式：大数定律已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式令4.2大数定律与中心极限定理

4.2.1大数定律

一.依概率收敛设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给>0,使得则称{Xn}依概率收敛于X.可记为切比雪夫不等式如意思是:当a而意思是:时,Xn落在内的概率越来越大.,当二.几个常用的大数定律1.切比雪夫大数定律

设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则即若任给>0,使得证明:这里故由切比雪夫不等式2.伯努里大数定律

设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定理3.辛钦大数定律

若{Xk,k=1,2,...}为独立同分布随机变量序列,EXk=<,k=1,2,…则推论:若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,E(X1k)=<,则4.3.中心极限定理

一.依分布收敛

设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在F(x)的连续点，有则称{Xn}依分布收敛于X.可记为二.几个常用的中心极限定理1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,则{Xn}满足中心极限定理。根据上述定理，当n充分大时例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解:设 Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则X1,…,X100独立同分布.由中心极限定理

设随机变量n(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布，则2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(DeMoivre-Laplace)证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由中心极限定理,结论得证

例2在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？解设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，Y=1000012-1000X于是由中心极限定理(1)P{Y<0}=P{1000012-1000X<0}=1P{X120}1

(7.75)=0;P{Y>6

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