第五章频率响应法

第五章频率响应法第一节频率特性第二节对数坐标图

第三节极坐标图（Nyquist）第四节用MATLAB绘制伯德图和乃奎斯特图第五节乃奎斯特稳定判据第六节相对稳定性分析第七节频域性能指标与时域性能指标间的关系

5.1频率响应1.频率响应法是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。系统对不同频率正弦输入信号的响应特性，称为频率特性又称频率响应。

2.用途及特点：

1).仅用简便的图解法（Bode、Nyquist图）就能确定控制系统的绝对稳定性和相对稳定性；并可根据时域给定的性能指标进行系统设计。

一.概述00控制系统2).对于未知系统，可用实验法，根据系统的频率相应描述其实际动态过程和物理性质。

3).频率特性（幅频特性G（jw）和相频特性∠G（jw））与系统的参数和结构密切相关4).对二阶系统，频率特性与过渡过程性能指标之间有确定的对应系，对高阶系统也存在近似关系。5.当系统在某些频率范围存在严重噪声时，应用频率法可设计出抑制这些噪声的系统。6.频率法可用来分析部分非线性系统、鲁棒多变量系统和参数不确定系统等二.频率响应法的基本概念

线性系统当r(t)=Asinωt时，则系统输出：00控制系统r(t)c(t)设有RC网络如图，求系统稳态输出

1.闭环传递函数设输入信号为

拉氏表达式

：输出

拉氏反变换：

t→∞RCr(t)C(t)

2.幅值和频率有关，且为

倍；

结论：1.稳态输出和输入信号频率（）相同；*当ω＝0其输入、输出幅值相等；

3.相角迟后，是的函数；

幅值、相角与ω之间的关系

*当ω＝0输入、输出相位一致0…………1……0.71……00…………

物理意义电容隔直输出短接幅值01幅频特性RCr(t)0-45-90相频相频特性Tr(t)C(t)t0C(t)r(t)2.RC网络的频率特性一．对数坐标图的组成§5.2对数坐标图

一幅是对数幅频特性图，纵坐标为，举例：设有系统如图

为分度，0.1到1和1到10的距离相等称十倍频符号为（dec）

对数坐标图有两幅图组成：另一幅是相频率特性图,纵坐标为度；记为L().以线性分度，单位分贝(dB)；横坐标以lg求频率特性优点：1）

把幅值乘除运算化为加减运算2）

曲线形状简单（直线）便于绘制3）

用实验法获得的频率响应数据绘成的Bode图，由Bode图可方便地写出系统或环节的传递函数。二．典型环节的Bode图1．

比例环节K；例

:结论：K

值每增加10倍，纵坐标分贝值增加20dB2.一阶环节i）

幅值

L（）020400.1110式中

:当：<<时,

幅值

:>>时,幅值:

相角

:=时

,=10时

,相角:

相角

:-L()00.110-20db/dec………………………………-<<为倍频程斜率的直线。

最大误差在转角频率为3dB=一阶惯性环节可用RC电路表示(低通滤波器)。当，幅值趋向于0，相角.

RCii)一阶微分环节

当＜＜时，

当＞＞时，

00.110-20db/dec当3，积分、微分环节i)积分环节

幅频特性：

当ω=1L(ω)=0ω=10L(ω)=-20dB相频特性：

例：设

即放大倍数

当

当

当

可见曲线比时的幅频特性平移了40dBii)υ阶积分环节

幅频特性：

相频特性：

iii)微分环节幅频：

相频：

4二阶环节i)二阶振荡环节

根据二阶系统标准传递函数有：

幅频：当<<,式中和可略，dB即低频段为0dB直线当>>,式中1和可略，即振荡环节的幅频特性既和，有关，也和有关何时产生谐振？最大值为多少？令可见，当时，有最小值即为

峰值=0配方成完全平方相频特性

相角是和的函数

和的关系如图i)

二阶微分环节和对应的频率称为谐振频率，=0时，上式=;当>0.707,不能产生谐振。5.时滞环节幅值：

幅角：40db三：绘制对数频率响应曲线的一般步骤：

1.将系统开环传递函数用典型环节连乘形式表示。频率特性表达式：

2.将系统各环节的转折频率在频率坐标上标出。比例环节K和积分环节没有转折频率，应先考虑作低频段。例：

设系统开环传递函数

其中k=250,T1=0.2秒,

解：

的频率特性图=0.007秒,试画出系统当=1时；

=48dB当=10时；

2).转折频率：

1)幅频表达式:比例环节K和积分环节:

3）当=5时：

即

求得：

在处的转折以-60斜率。

3.每遇一个转折频率改变一次分段直线的斜率。

如转折频率斜率增加-20转折频率

环节当

斜率增加+20分段直线最后一段开换对数幅频曲线的高频段渐进线斜率为：

当4.根据误差要求，修正各环节渐进曲线,可得到实际对数幅频曲线。

5．作相应的相频特性曲线计算相角：

例：已知一反馈控制系统的开环传递函数为试绘制开环系统的Bode

图。

解：系统的开环频率特性对数幅频特性：

转折频率：

相频特性:四.最小相位系统与非最小相位系统1.最小相位系统定义

系统的开环传递函数在右半S平面上没有极点或零点,称为最小相位系统。举例:1)

极点S＝

零点S=

2)

极点S＝零点S=

式中,两个系统极点完全相同,但零点相差一个负号,对照定义:为最小相位系统,为非最小相位系统.2.频率特性分析幅频

频相

幅频相频

两者幅频特性相同；但最小相位系统相位

,变化量为

非最小相位系统相位

变化量为

3.Bode图对照1).已知最小相位系统的对数幅频特性就可推出系统的传递函数。

2).最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线变化趋势一致。

3).最小相位系统是稳定系统，非最小相位系统往往不稳定。

4.小结五．系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系1.“0”型系统

1)基本表达式及低频段幅频特性图形

2)低频段幅频特性的斜率为0dB/dec=20lgK=20lg

为静态位置误差系数，

由图知20lgK=40dB则得K=100。

2).已知最小相位系统及折线幅频特性,可求得开环传递函数。

2.“I”型系统：

1)基本表达式及低频段幅频特性图形

当

2)低频段幅频特性的斜率为-20dB/dec结论：可由幅频特性低频段求出。1).静态位置误差系数,结论：-20dB斜率十倍频程的直线与0dB直线的交点是一个数值上等于的频率。为稳态速度误差系数

3)低频段渐近线（或其延长线）在=1处的纵坐标为20lg证明：

即20lg1

即

3.“Ⅱ”型系统

1）基本表达式及低频段幅频特性图形

2）低频段幅频特性的斜率为-40dB/dec.3）低频段渐近线（或延长线）证明：

在值20lg加速度误差系数等于渐近线与0dB线相交点的频率的平方。=1处的纵坐标即

六．根据最小相位系统的折线对数幅频特性，求开环传递函数。解

：由图知，转折频率

即例1：系统折线对数幅频特性如图，试求系统开环传递函数，并确定K值。例2．折线如图，求对像传递函数解：

转折频率

例3：最小相位系统折线如图，求出传递函数解：转折频率即

的，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。

一.传递函数一般极坐标表达形式

……（1）

是一个复数，在复平面用直角坐标形式表示：

极坐标形式表示：

频率特性正弦传递函数的极坐标图是当由0→∞时，表示极坐标上的幅值与相角的关系图。因此，极坐标图是当由0→∞时，向量的轨迹。相角是从正实轴开始ImRe§5.3极坐标图（Nyquist）幅角：

幅值：

二.典型环节的乃氏曲线

由（1）式知，以时间常数形式表达的传递函数一般由下列五种典型环节组成：

1)比例环节K

2)一阶环节

3）积分和微分环节

4）二阶环节

5）延迟环节典型环节频率特性极坐标图平面实轴上的某一定点，如图中K点。

2.积分和微分环节［；］

i）积分环节的频率特性：

幅值与ω成反比，相角恒为1.比例因子KK是一个与ω无关的常数,其相角虚部为0，其乃氏图为ImRe0ImRe0Kii）微分环节的频率特性幅值与ω成正比，相角恒为

90°3.一阶环节（;）

i）惯性环节频率特性：

幅值

相角

当ω从变化，频率特性为单位圆

ImRe0.510ImRe0两边同时平方，并左右分别相加

即:

证明

:

配方：

即

圆心，半径r=0.5

ii）一阶微分环节频率特性：

幅值：

幅角：

4.二阶环节：

分子分母同除以即

i）典型二阶振荡环节：

ImRe0式中：

幅值：

乃氏图特点

1）2）和值有关，值越小，轨迹线越大,其矢量长度取决于阻尼比。3）当时，，相角

imRe0最大值0.35最小值0.2014）当时，乃氏曲线上距原点最远的点所对应的频率就是二阶振荡环节的谐振频率，谐振峰值用与之比表示。当，不产生谐振；ii）二阶微分因子

向量的长度将随ω增加而单调减少。imRe0最大值0.35最小值0.20相角：

特点：1）极座标曲线的低频部分

高频部分：

2）两阶微分系统的虚部为正，且单调增加实部从1开始单调减小。相角在与之间。

5.滞后环节频率特性为：

G(jω)＝1∠(cosωT-jsinωT)

当时;

三．开环系统的乃奎斯特图：

由控制系统的一般方块图知，开环传递函数

系统频率特性由各种环节组合构成的，不同组合的乃氏曲线不同，但有一定规律。1.“0”型系统：开环频率特性一般表达式

，相角随线性变化，其极坐标图是一个圆。幅值始终为1例

试绘制极坐标图

解：

幅值：

幅角：

结论：1）“0”型系统：乃氏曲线起始点在实轴上（k,0）由（）决定，终点（）在原点。

与“一”阶相比二阶系统幅角增加了若仅判断系统稳定，只需大概曲线轨迹，不必详细计算作图。

2.“I”型系统：

2）曲线形状，由该系统的开环传递函数环节及参数决定。

若系统有n个极点，幅角增加例：

；若系统有n个极点，m个零点：因为可表达成虚、实部形式

写成极坐标形式

当结论：I型系统起点幅角，幅值为∞，且以3).II型系统

通过K值的渐近线为起始；其终点在原点0。

当例：

式中

画得乃氏图如右。

小结：1.一般0型、I型、II型系统的乃奎斯特图的基本形状为

3).2.不同阶次形式高频段的乃氏图

,曲线顺时针趋向原点,1).2).i)相角ii)，起点情况；

0型在；Ⅰ型或Ⅱ型以上n-m为偶数，乃氏曲线与负实轴相切;n-m为奇数，乃氏曲线与虚轴相切

bode(num,den)

一．用MATLAB绘制伯德图1．

功能指令nyquist(num,den)nyquist(num,den,w)bode(num,den,w)margin(mag,phase,W)plot(Re(:,:),Im(:,:),Re(:,:),-Im(:,:))§5.4用MATLAB绘制伯德图和乃奎斯特图num=[0110];den=[0.510];w=logspace(-2,3,100);%给出频率ω值的范围

%0.01rad/s-1000rad/sbode(num,den,w);%绘制0.01≤ω≤1000的伯德图xlabel('ω/rad/s');ylabel('φ(度)L(ω)/dB')title('BodeDiagramofG(s)=10(1+0.1s)/[s(1+0.5s)]')%MATLAB程序5-2%绘制图8控制系统的伯德图%输入系统分子、分母数组表达式num=[001530];den=[1161000];w=logspace(-2,3,100);[mag,phase,w]=bode(num,den,w);subplot(211)semilogx(w,20*log10(mag)),gridonxlabel('w/rad/s'),ylabel('L(w/dB')title('BodeDiagramofG(s)=30(1+0.2s)/[s(s^2+16s+100)]')subplot(212)semilogx(w,phase),gridonxlabel('w/rad/s'),ylabel('(度)')%MATLAB程序5-4num=30*[0.21];f1=[10];f2=[0.51];f3=[116100];den=conv(f1,conv(f2,f3));w=logspace(-1,3,100);[mag,phase,w]=bode(num,den,w);subplot(211)semilogx(w,20*log10(mag));gridon%幅频特性坐标xlabel('w/rad/s'),ylabel('L(\omega)[dB]')subplot(212)semilogx(w,phase);gridon%相频特性坐标xlabel('?rad/s]'),ylabel('(度)')num=[002010];den=[111100];w1=0.1:0.1:10;w2=10:2:100;w3=100:5:500;w=[w1w2w3];[Re,Im]=nyquist(num,den,w);%因为坐标轴在nyquist函数中已自定义，plot(Re(:,:),Im(:,:),Re(:,:),-Im(:,:))%需要取出Real、Imag，用plot函数

v=[-33-33];axis(v)%用高层图形命令axis(v)，若要重新设置坐标轴，gridon%重新绘制，然后调用axis函数重新设置坐标轴title('nyquistplotofG(s)=20(s+0.5)/[s(s+1)(s+10)]')xlabel('Re')ylabel('Im')%PlotnyquistandcomputeGainandPhase%MarginsforGH(s)=0.5/s^3+2.5s^2+s+0.5num=[0.5]den=[1210.5][mag,phase,W]=bode(num,den);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,W);

%Gm=增益裕量nyquist(num,den)%Pm=相位裕量gridon%Wcg=相位-180度交界频率

%Wcp=增益0dB频率title(['GainMargin='num2str(Gm),'PhaseMargin='num2str(Pm)])xlabel('Re'),ylabel('Im')

该判据根据开环频率特性判别闭环系统的稳定性，并能反映系统稳定的程度；同时对不稳定的系统还能提示改善系统稳定性的方法及指出闭环系统有几个不稳定的特征根。

设有反馈控制系统，其闭环传递函数为设(n≥m)代入上式并通分特性方程式：F(s)=1+G(s)H(s)=0一.闭环特征方程式与开环极点§5.5乃奎斯特稳定判据式中：是F（s）的零点，是闭环特征方程式的根

s=－p1,－p2,…,－pn是F（s）的极点，是开环传递函数的极点。

根据稳定性定义，若闭环系统是稳定的，则特征方程的根（即F(s)零点），均要位于S平面的左半边。

二.幅角原理1.设复函数(n≥m)

F(s)是s的有理分式，则由复变函数的理论知道，F(s)除了s平面上的有限奇点外，它总是解析的，即为单值连续的正则函数；

在F(s)平面上必有唯一的一个映射点与之相对应。同理，对s平面上任意一条不通过复函数F(s)的极点和零点的闭合曲线Cs，在F(s)平面上，必有唯一的一条闭合曲线CF与之相对应。

若S平面上的闭合曲线Cs按顺时针方向运动，则F(s)平面上映射曲线CF的运动方向。可能是顺时针，也可能逆时针的,全取决于复变函数F（s）本身特性。我们感兴趣的不是映射曲线CF

的具体形状，而是它是否包围F(s)平面的坐标原点以及绕原点的方向和周数。因为它与系统的稳定性有着密切的关系。

s平面上的()每个点，复变函数F(s)的相角为：

……（1）

当点S1绕闭环曲线Cs走一周时，向量（S＋Z1）的相角变化了－2π，其余各向量的相角变化都为0°；即在F（s）平面上的映射曲线按顺时针方向围绕着坐标原点旋转一周。

假设S平面上的闭环曲线Cs以顺时针方向围绕F（s）的一个零点Z1，而F（s）的其余零点和极点均位于闭环曲线Cs之外；若任选点S1；

如果S平面上的闭环曲线Cs按顺时针方向围绕着F(s)的一个极点(－P)旋转一周，则向量（s+p1）的相角变化了－2π；

由F（s）相角表达式推得：F(s)的相角度变化了＋2π，表明F（s）平面上的映射曲线CF按逆时针方向围绕其坐标原点一周。

例：

Ｓ平面F（s）平面A点：s=jB点：s=2+j设有解：计算特征点坐标S平面上的闭环曲线Cs按顺时针方向围绕着F(s)的一个极点+1旋转一周E点：s=2

C点：s=2-jC’=2+j

D点：s=-jD’=j

若Ｓ平面上的闭环曲线Cs以顺时针方向包围F（s）的Z个零点，则在F（s）平面上的映射曲线CF将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周；闭环曲线Cs以顺时针方向包围F（s）的P个极点，则在F（s）平面上的映射曲线CF将按逆时针方向围绕坐标原点旋转P周。

由此推得：F点：s=0F’=-12.幅角原理

设除了有限个奇点外，F（s）是解析函数，如果S平面上的闭环曲线Cs以顺时针方向包围了F（s）的任何极点和零点（且此曲线不通过F(s)的任何极点和零点），则其在F（s）平面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周,其中N=Z-P。若N>0表示曲线CF以顺时针方向围绕；若N<0,则表示CF以逆时针方向围绕。

如果闭环系统是稳定的，则其特征方程式的根，也就是F（s）所有的零点均位于S的左半平面；换句话说，若要判别系统是否稳定，只要检验F(s)是否有零点在S平面的右半面就可以了，有F(s)的零点在S平面右侧，系统就不稳定。

如何检验判定呢？，如前所述知：二.乃奎斯特稳定判据在S平面上，取一闭合曲线Cs，Cs应包含S的整个右半平面，如图，如果F（s）有零点或极点在右半平面，一定被该曲线包围，这一闭合曲线称为乃氏轨线，它由jω轴表示的C1部分和半径无穷大的半圆C2部分组成。CS按顺时针方向沿C1由－j∞运动到+j∞，然后沿着以无穷大半径的半圆C2由运动到。

又G(s)H(s)阶次n≥m，当S沿乃氏轨线C2运动时，有：

=常数。

CS的走向：

这说明当S沿着半径为无穷大的半圆变化时，函数F（s）始终是一常数。由此可知，F（s）平面上的映射曲线CF是否包围坐标原点只取决于乃氏轨线C1部分的映射。

1.

设在jω轴上不存在F(s)的极点和零点，则当S-j∞沿着运动到+j∞时，在F(jω)平面上的映射曲线CF为

F(jω)=1+G(jω)H(jω)

假如闭合曲线CF以顺时针方向包围了F（s）的Z个零点和P个极点。由幅角原理知，在F(jω)平面上的映射曲线CF将按顺或逆时针方向包围坐标原点旋转N周。

N＝Z－P

由于：F平面和GH平面的乃氏曲线映射位置如图

因而映射曲线F(jω)对其坐标原点的围绕相当于开环频率曲线G(jω)H(jω)对GH平面上的（－1，j0）点的围绕。G(jω)H(jω)=[1+G(jω)H(jω)]-1换为通过开环频率响应G(jω)H(jω)乃氏曲线对（－1,j0）点的包围与否，判别闭环系统的稳定性问题了。

2.乃奎斯特稳定判据2）如果开环系统不稳定（P≠0，即开环传递函数有P个开环极点在S的右半平面），闭环系统稳定的充要条件是：G(jω)H(jω)曲线按逆时针围绕（－1，j0）点旋转P周。

1）.如果开环系统是稳定的，即P＝0，则闭环系统稳定的充分必要条件是：G(jω)H(jω)曲线不包围（－1,j0）点；由于画G(jω)H(jω)的乃氏轨迹图形是不难的，它就是前面讨论的极坐标图（乃氏图）。这样就把求解：F（s）=1+G(s)H(s)零点的复杂问题，转例1：系统的开环传递函数，试用乃氏判据判别闭环系统的稳定性。∴开环系统稳定作G(jω)H(jω)乃氏曲线（极坐标图），并求出乃氏曲线与实轴交点：

令Im=0；得代入实部解:由式知：P=0,

本题当K＝15时，可求得Re＝－1.3,乃氏曲线顺时针包围（－1，j0）点2圈，N＝2；Z＝N+P=2，系统闭环不稳定。

4)根据幅角原理确定Z(Z＝N+P)是否为零；Z=0则系统稳定。2）根据G(jω)H(jω)判断乃氏曲线是否包围（－1，j0）；由Im=0

求出Re值即乃氏曲线与负实轴的交点,看交点与－1的位置。解题过程小结：

由图知：乃氏曲线未包围（－1，j0）点，即N＝0；根据N＝Z－P知：Z＝0；系统闭环稳定。1）根据开环传递函数确定P；P＝0开环稳定。3）

依据乃氏曲线的走向，判断曲线顺时针或逆时针包围(－1，j0)的圈数N。3.虚轴或原点存在开环极点

n≥m

根据幅角原理约定，包围整个右半S平面的封闭曲线是不得通过奇点的，若通过极点（如S＝0，则G(s)=∞）；也就是说，原点成了奇点；

把C2作为封闭曲线的一部分，即把原点0归入左半平面，曲线没有通过奇点；乃氏途径仅C2部分和非奇点途径时不同。处理方法：在奇点（原点）处，以奇点为圆心，以半径r→0(但不等于0)为半径作一半圆C2，如图。如何处理？在C2部分上，则

例如：讨论这部分在GH平面的映射规律。

时，C2部分在GH平面的映射曲线为一个半径为无穷大的半圆。

a点：

b点：

c点：

S平面上曲线方向a->b->c(逆时针)；GH平面->->顺时针。

,C2部分在GH平面的映射曲线为半径无穷大的圆。例1.设有一负反馈控制系统的开环传递函数

试判别该系统的稳定性。

∴S平面上乃氏途径C2部分映射到GH平面上为半径无穷大的半圆。与乃氏曲线G(jω)H(jω)相连接后的围线如图；，原点为极点；

∴Z=N+P＝0闭环系统稳定。由图知：

N＝0；P＝0根据开环传递函数的分母知：解：

试分析时间常数T1和T2的相对大小对系统稳定性的影响，画出所对应的乃氏图。讨论：T1<T2

起点：

幅值：

终点：

例2.已知开环传递函数解：由开环传递函数得

由图知：G(jω)H(jω)曲线不包围(-1，j0)点，N=0,P＝0，∴Z＝N+P=0；系统闭环稳定。相角：ii)当T1=T2时∴G(jω)H(jω)乃氏曲线通过（－1，j0）∴系统闭环临界稳定。iii).当T1>T2时起点幅值＝

起点相角：

终点幅值

＝0；

终点相角：

LmReGH-14.利用乃氏判据确定系统的参数稳定范围。K>0,T1>0,T2>0试求K为何值系统闭环稳定。

解：分析：I型系统，系统的最大，且P＝0，闭环要稳定，则要N为0，即不包围（－1，j0）

例1G(jω)H(jω)曲线顺时针包围（－1，j0）点两圈,即

N＝2P＝0∴Z＝N+P=2有两个闭环极点位于S右半平面，闭

环系统不稳定。起点：

终点：

求G(jω)H(jω)曲线与负实轴的交点

令Im=0得：代入实部

当

乃氏曲线不包围（－1，j0），N＝0，又∵P＝0，∴Z＝N+P=0；闭环系统稳定。例2.单位反馈系统的开环传递函数

试用乃氏判据确定该闭环系统稳定的K值范围。

解：

为

即属非最小相位系统；起点：

终点：

乃氏曲线包围（－1，j0）一周；N＝－1，∵P＝1，∴Z＝N＋P＝－1＋1＝0当K=1时曲线G(jω）H(jω)穿过（－1、j0）点，当K>1时,闭环系统稳定。

1.若已知系统开环传递函数，开环极点P的个数和画G(jω)H(jω)的乃氏曲线绕向N及是否包围（－1，j0）(令Im＝0代入实部Re，求乃氏曲线与负实轴交点)点易知,用N＝Z－P可判定系统闭环稳定与否。2.若已给出极点P的个数及G(jω)H(jω)乃氏曲线的绕向图形用N＝Z－P可直接判断系统的稳定性。

小结：幅值为k

一.相对稳定性由前面讨论知道，控制系统的开环幅相频特性曲线是否包围（－1，j0）点是判定闭环系统是否稳定的重要依据，即系统开环极点P＝0情况下，幅相频特性曲线靠近原点0，远离（－1，j0）点稳定性好。；

P=01．小K值：幅相频率特性曲线远离(-1，j0)，稳定性好

2.K↑值：幅相频率特性曲线靠近(－1，j0)，系统稳定，但稳定裕量减小。例如§5.6相对稳定性分析

3．K↑↑值：幅相频率特性曲线通过（－1，j0）临界稳定;

例：

问题：题中幅相频率特性曲线没包围也没有经过（－1，j0）点，即系统闭环稳定；

特征根全部位于左半S平面系统稳定，但特征根靠近虚轴超调增大；位于虚轴为临界稳定；特征根在右半S平面系统不稳定4．K↑↑↑值：幅相频率特性曲线顺时针包围(－1,j0),不稳定.但稳定裕量如何？稳定裕量用幅值裕量Kg和相位裕量γ表示.

实际系统设计时，为了得到较好的动态性能要求Kg>6dB,γ为30O~60O之间。二、用乃氏图定义的相位裕量和幅值裕量

1.相位裕量

γ1)定义：在剪切频率ωC处，使系统达到临界稳定状态时所能接受的附加相位滞后角称为相位裕量，符号γ

2)计算式（解析式）：

例：

其中若开环系统稳定：（p=0）γ为正值，系统闭环稳定

γ为0，系统闭环临界稳定

γ为负值,系统闭环不稳定

2.幅值裕量（也称增益裕量）

1）定义：开环幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒数为增益裕量，符号KgKg是系统相对稳定性的另一度量指标。2）计算式Kg=1闭环系统临界稳定；G(jωg)H(jωg)=1

3）物理意义：

对稳定系统而言，增益裕量表示当系统由稳定变为不稳定之前，增益允许增大的倍数。

若开环系统稳定（P=0），闭环系统稳定G（jω）H(jω)曲线不包围（-1，j0）即Kg>1闭环系统稳定；G(jωg)H(jωg)<1Kg<1闭环系统不稳定；

G(jωg)H(jωg)>11).GH平面上单位圆的圆周与对数坐标图上的0dB线相对应,单位圆外部对应于L（ω）>0dB,单位圆的内部对应于L（ω）<0dB2)GH平面上的负实轴和对数坐标图上的φ＝-180°线相对应。

设有系统G（jω）H(jω)乃氏曲线图及相应Bode图如下

三．奈氏稳定判据在对数坐标图上的应用1.奈氏图与对数坐标图对应关系

2.奈氏曲线和对数坐标图关系判定系统稳定的应用（3）Bode图上的正负穿越对应表现L（ω）>0dB频域内，当ω增加时，相频曲线向-180°以上值增加为负穿越；向负（-180°）值减小为正穿越.（1）正穿越：奈氏曲线以逆时针方向包围（-1，j0）点一周，必然由上向下穿过负实轴的（-1，-∞）线段一次，这种穿越使相角增大称正穿越。2)

包围圈数N在Bode图或奈氏图中用正、负穿越次数表示（2）负穿越：奈氏曲线以顺时针方向包围（-1，j0）点一周，曲线将由下向上穿越负实轴（-1，-∞）线段一次，这种穿越使相角减少称为负穿越.1)概念N=2(N--N+)四.用Bode图定义的相位裕量和幅值裕量

20LgKg＝-20Lg|G(jωg)H(jωg)|；

|G(jωg)H(jωg)|<1Kg为正闭环系统稳定在说明给定系统相对稳定性时，通常要给出增益裕量和相位裕量。

例：单位反馈系统的开环传递函数为

试求（1）K＝1时系统的相位裕量和增益裕量（2）调整K值系统的增益裕量20lgKg=20dB,且相位裕量

增益裕量计算式

相位裕量计算式解：

ωg处的相频特性

整理：

两边取正切得:(分子不能为0)

处的对数幅值：即有解得根据Bode图知，K=1时的开环传递函数G（s）的,则

在处的对数幅频为：

化简：

解得：K=2.5由题：γ=40o

则

即

(2)当Kg=10时，即方程两边取正切

解得即：解得：K=5.22可知当K=2.5时就能满足Kg和r的要求

五.相对稳定性与对数