第八章控制系统的数学模型

第八章控制系统的数学模型主要内容8.1线性定常系统的数学模型8.2LTI模型的属性8.3数学模型之间的转换8.4系统模型的运算8.5数学模型的分析函数8.1线性定常系统的数学模型传递函数模型

【调用格式】sys=tf(num,den) sys=tf(num,den,'Property1',V1,...,'PropertyN',VN) %初始化TF模型的其他属性

sys=tf(‘s’) %建立拉普拉斯变换的自变量s的TF模型

【说明】num和den分别是传递函数的分子多项式系数和分母多项式系数，按s的降幂排列，是细胞数组。tf函数的返回值是一个对象，称之为TF对象，num和den是TF对象的属性。1.SISO系统的TF数学模型8.1线性定常系统的数学模型例8.1.1SISO系统的传递函数为试建立系统的TF模型。【方法1】直接用分子和分母多项式系数建立TF模型【方法2】用s因子和数学运算符建立TF模型2.MIMO系统的TF模型num{i,j}和den{i,j}分别表示传递函数矩阵G(s)的第i行第j列的传递函数的分子多项式系数和分母多项式系数。8.1线性定常系统的数学模型例8.1.2MIMO系统的传递函数矩阵试建立系统的TF模型。【方法1】直接用分子和分母多项式系数建立TF模型【方法2】用s因子和数学运算符建立TF模型零极点模型【调用格式】 sys=zpk(z,p,k) sys=zpk(z,p,k,'Property1',V1,...,'PropertyN',VN) sys=zpk('s')8.1线性定常系统的数学模型【说明】z、p、k分别为系统的零点、极点和增益。z、p、k是细胞数组，对MIMO系统来说z{i,j}，p{i,j}，k{i,j}分别表示传递函数矩阵的第i行第j列的传递函数的零点、极点、增益。zpk函数的返回值是一个对象，称之为ZPK对象，z、p和k是ZPK对象的属性。如果没有零点，则z为空数组。例8.1.3SISO系统的传递函数为试建立系统的ZPK模型。【方法1】直接用零点、极点、增益向量来建立ZPK模型【方法2】用s因子和数学运算符建立TF模型8.1线性定常系统的数学模型例8.1.4MIMO系统的传递函数矩阵试建立系统的ZPK模型。状态空间模型【调用格式】 sys=ss(a,b,c,d) sys=ss(a,b,c,d,'Property1',V1,...,'PropertyN',VN) sys=ss(d) %建立静态增益矩阵d的状态空间模型【说明】a,b,c,d分别表示状态方程的系统矩阵、输入矩阵，输出矩阵和传输矩阵。ss函数的返回值是一个对象，称之为ss对象，a，b，c和d是ss对象的属性。如果d=0，ss函数可以直接用标量0作为输入变量，忽略了对d的维数要求。8.1线性定常系统的数学模型例8.1.5已知系统的状态空间描述为试建立系统的SS模型传递函数。频率响应数据模型【调用格式】

sys=frd(response,frequency)【说明】frequency为测试或计算频率特性所选取的角频率向量w，其每一个元素为一个角频率值。response为频率响应数据G(jw)。

8.1线性定常系统的数学模型

对于SISO系统，response是一个向量，response(i)表示系统角频率为frequency(i)的正弦信号的频率响应数据。对于MIMO系统，response是一个三维矩阵，response(i,j,:)表示系统的第i个输出对第j个输入的频率响应数据；response(i,j,k)表示系统的第i个输出在frequency(k)频率点上，对第j个输入的频率响应数据。frd函数的返回值是一个对象，称之为FRD对象，frequency和response是FRD对象的属性。例8.1.6离散系统的数学模型1、脉冲传递函数模型【调用格式】 sys=tf(num,den,Ts) %建立离散系统的TF模型 sys=zpk(z,p,k,Ts) %建立离散系统的ZPK模型8.1线性定常系统的数学模型【说明】num和den是离散系统脉冲传递函数的分子和分母多项式系数。z,p,k是离散系统脉冲传递函数的零点、极点和增益。Ts是离散系统的采样周期。2、状态空间模型【调用格式】 sys=ss(a,b,c,d,Ts) %建立离散系统的SS模型【说明】a,b,c,d是离散系统状态空间差分方程组的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传输矩阵。Ts是离散系统的采样周期。8.2LTI模型的属性LTI模型的共有属性属性名属性描述属性的数据类ioDelay输入通道对输出通道的滞后时间矩阵矩阵InputDelay输入信号的滞后时间向量InputGroup输入通道分组结构体InputName输入通道名称字符串细胞数组Notes注解字符串OutputDelay输出信号的滞后时间向量OutputGroup输出通道分组结构体OutputName输出通道名字字符串细胞数组Ts离散系统的采样周期标量Userdata附加数据任意数据类系8.2LTI模型的属性例8.2.1系统的传递函数矩阵试建立该系统的TF模型。【方法1】用InputDelay属性【方法2】用ioDelay属性例8.2.2离散系统的脉冲传递函数为采样周期Ts=0.1s。试建立该系统的带有0.2s纯滞后时间的数学模型。8.2LTI模型的属性LTI模型的专有属性TF对象的专有属性属性名属性描述属性的数据类系den传递函数的分母多项式行向量实数细胞数组num传递函数的分子多项式行向量实数细胞数组Variable传递函数的自变量's','p','z','q','z^-1'ZPK对象的专有属性属性名属性描述属性的数据类系Z传递函数的零点列向量复数细胞数组P传递函数的极点列向量复数细胞数组K传递函数的增益实矩阵Variable传递函数的自变量's','p','z','q','z^-1'8.2LTI模型的属性SS对象的专有属性属性名属性描述属性的数据类系A系统矩阵实数矩阵B输入矩阵实数矩阵C输出矩阵实数矩阵D直接传递矩阵实数矩阵E描述矩阵实数矩阵Nx状态数目整数标量StateName状态名称字符串构成的列细胞数组FRD对象的专有属性属性名属性描述属性的数据类系Frequency频率点实数向量ResponseData频率响应数据多维数值数组Units频率单位'rad/s''Hz'8.2LTI模型的属性访问LTI模型的属性包括属性设置和属性读取，方法如下：创建数学模型对象的时候，用带有属性的输入变量来设置相关属性。用get和set函数来设置和读取模型对象的属性。将模型对象的属性当作普通变量来访问，通过成员运算符“.”访问对象的属性。可以通过模型的专用函数获取系统模型的专有属性。例8.2.38.3数学模型之间的转换LTI对象之间的转换【调用格式】sys=tf(sys) %将sys对象转换为TF模型sys=zpk(sys) %转换为ZPK模型sys=ss(sys) %转换为SS模型sys=frd(sys,frequency) %转换为FRD模型LTI对象属性之间的转换【调用格式】[z,p,k]=tf2zp(num,den) %将TF对象属性转换为ZPK对象属性[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) %将TF对象属性转换为SS对象属性[num,den]=zp2tf(z,p,k) %将ZPK对象属性转换为TF对象属性[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k) %将ZPK对象属性转换为SS对象属性[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) %将SS对象属性转换为ZPK对象属性[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)%将SS对象属性转换为TF对象属性8.3数学模型之间的转换例8.3.1已知系统Σ(A,B,C,D)的系数矩阵是求取该系统相应的TF模型和ZPK模型。连续系统和离散系统之间的转换sysd=c2d(sysc,Ts) %将连续系统转换为采样周期为Ts的离散系统sysd=c2d(sysc,Ts,'method') %指定连续系统的离散化方法[sysd,G]=c2d(sysc,Ts,'method')%对于SS模型，求得初始条件的转换阵G[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,'method')%连续SS模型的离散化【调用格式】8.3数学模型之间的转换sysc=d2c(sysd) %将离散系统转换为连续系统sysc=d2c(sysd,method) %指定离散系统的连续化方法method[Ac,Bc,Cc,Dc]=d2cm(A,B,C,D,Ts,'method') %用于离散SS模型的连续化sysd1=d2d(sysd,Ts) %改变采样周期，生成新的离散系统sysc表示连续系统的数学模型，sysd表示离散系统的数学模型。method为转换方法其取值和含义为：'zoh' 零阶保持器法，这是默认的转换方法。'foh' 一阶保持器法'imp' 冲击响应不变法'tustin' 双线性变换法'prewarp' 预扭曲的双线性变换法'matched' 零极点映射匹配法（仅用于SISO系统）【说明】8.3数学模型之间的转换例8.3.2系统的被控对象传递函数为：采样周期Ts＝0.1秒,试将其进行离散化处理。例8.3.3离散系统的脉冲传递函数为采样周期Ts=0.1,采样周期改变为Ts＝0.25s，试求采样周期改变前后系统的单位阶跃响应。8.4系统模型的运算子系统LTI系统的数学模型为sys，子系统的含义是：

sys(i,j) 第i个输出对第j个输入的子系统

sys(3,1:4) 第3个输出对第1个到第4个输入的子系统

sys(:,1) 所有输出对第1个输入的子系统

sys([1,3],1) 第1个输出和第3个输出对第1个输入的子系统sys为状态空间模型，其模型数据为A，B，C，D，则子系统sys(i,j)表示的状态空间模型数据为A，B(:,j)，C(i,:)，D(i,j)。如果sys是传递函数矩阵，则sys(i,j)表示传递函数矩阵的第i行第j列的传递函数。对于MIMO系统来说，子系统是由其一部分输入变量和一部分输出变量构成的系统，并且子系统的输入输出关系和原系统的关系相同。8.4系统模型的运算数学运算符1．加法和减法＋－sys＝sys1+sys22．乘法*sys＝sys1-sys2sys＝sys1*sys28.4系统模型的运算3．求逆inv(sys)4．除法\/

sys1\sys2相当于

inv(sys1)*sys2

sys1/sys2相当于

sys1*inv(sys2)5．转置sys.‘sys.'表示LTI系统sys的转置，其具体含义为：TF模型的转置相当于将细胞数组num和den转置。ZPK模型的转置相当于将细胞数组z，p和k转置。SS模型的转置相当于将(A，B，C，D)都转置为(A.'，B.'，C.'，D.')。FRD模型的转置相当于将频率响应数据矩阵在每个频率点上都转置。6．共轭复转置sys'

连续系统的传递函数为G(S)，其共轭复转置系统的传递函数为[G(-S)]T；离散系统的脉冲传递函数为G(Z)，其共轭复转置系统的脉冲传递函数为

[G(Z-1)]T

。8.4系统模型的运算系统模型的连接1.系统模型的聚合可以用和矩阵聚合相同的方法实现系统模型的聚合操作，系统模型的聚合包括水平聚合和垂直聚合。8.4系统模型的运算【说明】对于MIMO系统，子系统sysl和子系统sys2串联时，将sysl的端口号为output1的输出通道和sys2的端口号为input2的输入通道相连接。【调用格式】sys＝series(sys1,sys2) %用于SISO系统的串联sys＝series(sys1,sys2,outputs1,inputs2) %用于MIMO系统的串联2．系统模型的串联8.4系统模型的运算【调用格式】

sys=parallel(sys1,sys2) sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)

【说明】对于MIMO系统，子系统sysl和子系统sys2并联时，将sysl的端口号为in1的输入通道和sys2的端口号为in2的输入通道相连接，将sysl的端口号为out1的输出通道和sys2的端口号为out2的输出通道相连接。3．系统模型的并联8.4系统模型的运算【调用格式】 sys=feedback(sys1,sys2,sign) sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign) 4．系统模型的反馈连接【说明】sign为反馈的极性，sign=1为正反馈，sign=-1为负反馈（缺省值）。sys1为前向通道的数学模型，sys2为反馈通道的数学模型。对于MIMO系统，sysl和sys2反馈连接时，feedin指定了sys1中接受反馈的输入端口号，feedout指定了sys1中用于反馈的输出端口号，最终实现的反馈系统与sys1具有相同的输入、输入端。8.4系统模型的运算例8.4.1已知前向环节和反馈环节的状态空间表达式的系数阵分别为试将前向环节的输入1和输出2与反馈环节构成负反馈系统。例8.4.2典型反馈控制系统结构如图所示其中求系统的闭环传递函数。8.4系统模型的运算【调用格式】sys=append(sys1,sys2,...,sysN)5．系统模型的扩展【说明】将子系统sys1，sys2，...，sysN的所有输入作为系统的输入，所有输出作为系统输出，且各子系统间没有信号连接，从而扩展为一个系统。传递函数模型扩展状态空间子系统的扩展8.4系统模型的运算【调用格式】

sysc=connect(sys,Q,inputs,outputs)

【说明】connect函数的功能是将多个子系统按照一定的连接方式构成一个系统。sys是待连接的子系统被append函数扩展后的系统。Q矩阵声明了子系统的连接方式。Q矩阵的行向量声明了sys输入信号的连接方式，每个行向量的第1个元素为sys系统的输入端口号，其他元素为与该输入信号相连接的sys端口号。Inputs声明了整个系统的输入信号是由sys系统的哪些输入端口号构成。Outputs声明了整个系统的输出信号是由sys系统的哪些输出端口号构成。6．系统模型的结构图连接8.4系统模型的运算例8.4.3系统的结构图如图所示，试求取整个系统的状态空间模型。其中，子系统sys2的状态空间模型数据为8.5数学模型的分析函数模型分析函数模型的特征分析函数名函数功能class返回模型的类型名称，'tf'，'zpk'，'ss'或者'frd'hasdelay如果LTI模型有任何类型的滞后时间，则返回1isa判断LTI模型是否是指定的类型isct判断模型是否为连续系统模型isdt判断模型是否为离散系统模型isempty判断LTI模型是否为空isproper判断