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第十五讲大数定律和中心极限定理大数定律中心极限定理一、大数定律大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率定义1

设Y1，Y2，…Yn，…是一随机变量序列，a是一常数，若对任意正数ε有,则称序列Y1，Y2，…Yn，依概率收敛Y，记为定义2

设{Xn}为一随机变量序列,记则称{Xn}服从大数定律。

若存在常数列，使得对任意正数ε，有

设随机变量X有期望E(X)和方差D(X)

，则对于任给>0,或切比雪夫不等式几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）

设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫则对任意的ε>0，推论（独立同分布下的大数定律）

设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,则对任给

>0,贝努里

设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，引入i=1,2,…,n则是事件A发生的频率

设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε>0，定理2（贝努里大数定律）贝努里

设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，定理3（辛钦大数定律）辛钦例1设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,，证明例2设X,Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，由切比雪夫不等式估计不超过多少？二、中心极限定理定理1（独立同分布下的中心极限定理）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…，则近似服从推论1近似服从推论2近似服从例:20个0-1分布的和的分布几个(0,1)上均匀分布的和的分布0123xfgh定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）

设随机变量服从参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有近似服从下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛－拉普拉斯定理知,例3保险公司亏本的概率

4

一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于3º的概率为1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有29500～30500次纵摇角大于3º的概率是多少？解将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于3º的次数为X,则X是一个随机变量,例所求概率为分布律为直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理例5.(供电问题)某车间有同型车床200台,设每台开动的概率为0.7,且开关是相互独立的并设每台的耗电量为15kw,问最少需耗多少电力，才能以95%的把握满足车间生产

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