实对称矩阵的标准形

实对称矩阵的标准形第一页，共四十七页，2022年，8月28日§9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题第二页，共四十七页，2022年，8月28日一、实对称矩阵的一些性质引理1

设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量满足第三页，共四十七页，2022年，8月28日其中为的共轭复数，又由A实对称，有令第四页，共四十七页，2022年，8月28日第五页，共四十七页，2022年，8月28日由于是非零复向量，必有故

第六页，共四十七页，2022年，8月28日引理2

设A是实对称矩阵，在

n

维欧氏空间上定义一个线性变换如下：则对任意有

或第七页，共四十七页，2022年，8月28日证：取的一组标准正交基，则在基下的矩阵为A，即第八页，共四十七页，2022年，8月28日任取即第九页，共四十七页，2022年，8月28日于是又是标准正交基，第十页，共四十七页，2022年，8月28日二、对称变换1、定义则称为对称变换（symmetrictransformation）．设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足

2、基本性质第十一页，共四十七页，2022年，8月28日（1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：

1）

实对称矩阵可确定一个对称变换．

正交基．证：设为V的一组标准定义V的线性变换：则即为V的对称变换．第十二页，共四十七页，2022年，8月28日2）

对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．为V的一组标准正交基，证：设为n维欧氏空间V上的对称变换，为

在这组基下的矩阵，即或第十三页，共四十七页，2022年，8月28日于是第十四页，共四十七页，2022年，8月28日即所以A为对称矩阵．由是对称变换，有第十五页，共四十七页，2022年，8月28日（2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．对任取即证：设是对称变换，W为的不变子空间．

由W是子空间，有因此故也为的不变子空间．第十六页，共四十七页，2022年，8月28日1、（引理4）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于的特征向量．

则

三、实对称矩阵的正交相似对角化是正交的．

基下的矩阵，证：设实对称矩阵A为上对称变换的在标准正交是A的两个不同特征值，第十七页，共四十七页，2022年，8月28日又即正交．有即由第十八页，共四十七页，2022年，8月28日（定理7）对总有正交矩阵T，使２、证：设A为上对称变换在标准正交基下的矩阵．由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可．第十九页，共四十七页，2022年，8月28日n=1时，结论是显然的．

对的维数n用归纳法．

有一单位特征向量，其相应的特征值为，即假设n－1时结论成立，对设其上的对称变换设子空间显然W是子空间，第二十页，共四十七页，2022年，8月28日则也是子空间，且

又对有所以是上的对称变换．由归纳假设知有n－1个特征向量构成的一组标准正交基．第二十一页，共四十七页，2022年，8月28日从而就是的一组标准正交基，又都是的特征向量．即结论成立．第二十二页，共四十七页，2022年，8月28日3、实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设

(1)

求出A的所有不同的特征值：其重数必满足;

(2)

对每个，解齐次线性方程组

求出它的一个基础解系：第二十三页，共四十七页，2022年，8月28日它是A的属于特征值的特征子空间的一组基．正交基把它们按正交化过程化成的一组标准(3)因为互不相同，且所以第二十四页，共四十七页，2022年，8月28日则T是正交矩阵，且将的分量依次作矩阵T的第1，2，…，n列，使为对角形．就是V的一组标准正交基．第二十五页，共四十七页，2022年，8月28日例1

设

求一正交矩阵T使成对角形．解：先求A的特征值．第二十六页，共四十七页，2022年，8月28日A的特征值为（三重）,其次求属于的特征向量，即求解方程组第二十七页，共四十七页，2022年，8月28日得其基础解系

把它正交化，得

第二十八页，共四十七页，2022年，8月28日再单位化，得第二十九页，共四十七页，2022年，8月28日这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间的一组标准正交基．第三十页，共四十七页，2022年，8月28日再求属于的特征向量，即解方程组第三十一页，共四十七页，2022年，8月28日得其基础解

再单位化得

这样构成的一组标准正交基，它们都是A的特征向量，正交矩阵

第三十二页，共四十七页，2022年，8月28日第三十三页，共四十七页，2022年，8月28日使得

第三十四页，共四十七页，2022年，8月28日注意成立的正交矩阵不是唯一的．1.对于实对称矩阵A，使而且对于正交矩阵T,

还可进一步要求第三十五页，共四十七页，2022年，8月28日证：如果由上述方法求得的正交矩阵T

取正交矩阵则是正交矩阵且第三十六页，共四十七页，2022年，8月28日同时有第三十七页，共四十七页，2022年，8月28日2.如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的．3.因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：第三十八页，共四十七页，2022年，8月28日设为实对称矩阵A的所有特征值(i)A为正定的(ii)A为半正定的(iii)A为负定（半负定）的

(iv)A为不定的且

第三十九页，共四十七页，2022年，8月28日4.实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．n－秩(A)是0为A的特征值的重数.第四十页，共四十七页，2022年，8月28日1、解析几何中主轴问题将上有心二次曲线或上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.四、实二次型的主轴问题2、任意n元实二次型的正交线性替换化标准形（1）正交线性替换如果线性替换X=CY的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.第四十一页，共四十七页，2022年，8月28日（2）任一n元实二次型

都可以通过正交的线性替换变成平方和

其中平方项的系数为A的全部特征值．第四十二页，共四十七页，2022年，8月28日例2

在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是

①

②

则①式可以写成

令第四十三页，共四十七页，2022年，8月28日对②中的有正交矩阵C（且）确定的坐标变换公式

或这样由②知道经过由的坐标轴旋转，第四十四页，共