定积分与不定积分的关系_第1页
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定积分与不定积分的关系第一页，共十五页，2022年，8月28日如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a)，所以又有由于，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).第二页，共十五页，2022年，8月28日一、积分上限函数设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x()，积分存在，且对于给定的x()，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分是上限x的函数.注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，因此常记为第三页，共十五页，2022年，8月28日定理6.3第四页，共十五页，2022年，8月28日证明由积分中值定理有第五页，共十五页，2022年，8月28日结论：变上限积分所确定的函数对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).第六页，共十五页，2022年，8月28日由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.定理6.4(原函数存在定理)第七页，共十五页，2022年，8月28日定理6.5二、牛顿牛顿—莱布尼兹公式证明第八页，共十五页，2022年，8月28日

上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.第九页，共十五页，2022年，8月28日牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.第十页，共十五页，2022年，8月28日例1

求

解第十一页，共十五页，2022年，8月28日例2

求

解第十二页，共十五页，2022年，8月28日例3

求

解第十三页，共十五页，2022年，8月28日例4

求

解第十四页，共十五页，2022年，8月28日小结理解积分上限函数、原函数存

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