解三角形的综合应用

222222222222解角的合用一抓基础，多练小题做到眼疾手．如图，两座灯塔A和与岸观察站的离相等，灯塔A观察站南偏西，塔B在观察站南偏东，则灯塔A灯塔的方向上．解析：由件及图可知，∠＝∠＝，∠BCD＝60，以∠CBD，以∠DBA，此灯塔A在塔B南西80答案：偏西80．扬州调研如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶的角分别是和45，两个观察点B之的距离是100m则此山的度________m.解析：山高，在eq\o\ac(△,Rt)中有：＝CD＝，在eq\o\ac(△,Rt)ACD有＝2x，＝3x而＝－＝(3－1)x＝100.解得x＝

＝＋．－答案：＋南模拟)年12月卫家主权海在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛出，沿南偏东70的向航行40海里后到达海岛B，后再从海岛出，沿北偏东35的方向航行40海后到达海岛.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程海．解析：据题意画出图形，如图所示．在△，＝＋35＝，AB＝，＝402.根据余弦定理，得＝＋－ABBC·cos∠ABC＝40＋－2×2

－＝＋43)＝400(＋2)，∴＝20(＋2)故所求航行的路程为＋海里．答案：＋2)22222222222222．已知在灯塔C北东80处，且A到C的距离为2，B船灯塔北西40，，两船的距离为km，则到C的距离为_km.解析：条件知，∠ACB＝80＋40＝，设BCxkm则由余弦定理知9＝x＋－xcos120，因为x＞，所以x＝6答案：6某同学电动车以的度沿正北方向的公路行驶点A处得电视塔在电动车的北偏东30方向上min后点B处，测得电视塔在动车的北偏东方上，则点B与视塔的距离是_解析：如题图，由题意知＝×＝6在△ABS，∠BAS，＝6，∠AB30°＝180－75＝，以＝45，正弦定理知＝，所以BS＝sin30°45°sin45°＝32(km)．答案：32(2018·天学检线段AB外一点＝60＝km以80的速度由A向行时摩托车以速度由B向C驶运动开始________h后，两车的距离最小．解析：图所示，设过h后车距离为y，则BD＝－x，BE＝x，所以y＝(200－)＋(50x)－×(200x)·50整得＝x－＋40000(0≤2.5)，所以当x＝时最．答案：二保高考，全练题型做到高考达．一艘海轮从处出发，以每小时海的度沿南偏东的方向直线航行30分钟后到达处在处一灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，点间的距离_海里．解析如所示，易知，在中＝20海，CAB＝30，BC∠ACB，据正弦定理得＝，sin30°45°解得BC海里)．221055222221055222答案：10．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6，一艘客船从码头出匀速驶往河对岸的码头B.知＝km水的流速为km客船从码头A驶码头所的最短时间为6，客船在静水中的速度_解析：与岸线所成的角为θ客船在静水中的速度为km/h，题意知，sin0.63114＝＝，而＝，以由余弦定理得＝×2＋－×××1，解得＝答案：62．(2018·启模)如图所示，为了测量B两岛屿的距离，小明在D处测AB分在D处的北偏西、偏东方向，再往正东方向行驶40海至C处观测在的正北方向A在C处北偏西60方，则A，两岛屿的距离为海．解析：题意可知CD＝，∠ADB＝，∠＝60，＝90，∴∠＝30，＝，∴∠＝45AD40在△中，由正弦定理，得＝，sin30°sin∴＝202在eq\o\ac(△,Rt)BCD中，∵∠＝45，＝＝40在△中，由余弦定理，得＝

＋3－2×202×2cos60°＝20故AB两处岛屿的距离为6海．答案：20．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，人在喷水柱正西方向的点测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向偏东前m到达点B，在B点得水柱顶端的仰为30，则水柱的高度________m.解析水高度是h柱端为在△＝60，AC＝，AB＝100，＝3h根据余弦定理得，(3h

＝h

2

＋100

－h·100·cos，

＋－5000＝，即(h－50)(h100)0，即2222222222222ππ2ππ2222222222222ππ2ππ2＝，故水柱的高度是50答案：50(2018·镇模拟)在不等边三角形中，角B所的边分别为c，其中a为最大边，如果sin(＋C＜sinB＋C则角A取值范围为．解析：题意得sin＜＋C再由正弦定理得a＜＋c，b＋－＞0.＋－则cosA＝＞，bcπ因为＜＜π，所以＜A＜.π又最大边，所以A＞.因此角的值范围是，.答案：，2通州中学高三测)甲船在湖中岛正南A处ABkm甲船以8km的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以h的度向北偏东60方驶去，则行驶min时两船间的距离是解析：出示意图如图所示，设行驶时，甲船到达M，乙船到达点由题意知AM＝×＝2(km)BN＝×＝，MB＝－AM＝32＝弦定理得＝MB＋BN－2cos120＝1＋－2×13×－＝13所以MN＝13(km)答案：．南京模拟)运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为的台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50，升旗手应_______m/s的速度匀速升旗．解析：题意可知∠AEC＝45，＝－60－＝105，所以∠EAC－－105＝3022222222CE由正弦定理可知＝，sin∠∠CE所以AC·sin∠＝∠所以在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，＝AC·sin∠ACB＝20×

＝m.因为国歌时长为50，所以升旗速度为＝m/s.答案：0.6如所示在坡度一定的山坡处得山顶上一建筑物CD的顶端对山坡的斜度为15，沿山坡向山顶前进到达B处又测得对山坡的斜度为45，CD，山坡的坡角为，则cos＝________.AB∠BAC100sin解析ABC中弦理可知BC＝＝－2)(m)．sin∠sin－BCsin∠CBD506在△中，由正弦定理可知sin∠＝＝＝3－CD50由题图知θ＝∠＝∠＝－答案：3．(2018·镇末如图，某公园有三条观光大道ABBC围直角三角形，其中直角边BC，斜边＝400．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在，BCAC大上嬉戏，所在位置分别记为点D，.(1)若甲、乙都以每分钟m的度从点B出在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停乙甲2分出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之的距离；π设CEF＝，、丙之间的距离是甲、乙之间距离，且DEF＝，请甲、乙之间的距离表为的数，并求甲、乙之间的最小距离．解：(1)题意得BD＝300BEBC1在△，cos＝＝，所以＝.AB3在△中，由余弦定理得＝BD＋BE－2＝300＋100－×300100＝000，所以DE＝7.答：甲、乙两人之间的距离为1007(2)由题意得EF＝DE＝2，∠BDE＝∠＝θsin22222BCθsin22222BC在eq\o\ac(△,Rt)中CE∠CEF2ycosθBEDE在△中，由正弦定理得＝，∠sin∠DBE即

－2cosθ＝，sin60°所以y＝

350π＝，＜＜，3cosθθπ所以当＝时，有小值50答：甲、乙之间的最小距离为50．安模)图，某军舰艇位于岛A的正西方C处，且与岛A相距里经侦察发现国海盗船以10海/小时的速度从岛A出沿北偏东方向逃窜，同时，该军舰艇从处出发沿北偏东90－的向匀速追赶国际盗船好小在B处上．求该军舰艇的速度；求sin的．解：(1)题意知，CAB120，AB＝10×2＝，＝，∠ACB＝，在△，由余弦定理，得＝＋－ABAC∠＝20＋－××12cos120＝，解得BC28，BC所以该军舰艇的速度为＝14海/小时．ABBC(2)在△中，由正弦定理，得＝，sin120°20AB120°3即sin＝＝＝.三上台阶，自主选做志在冲刺名．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度10m度50m/s.一时刻飞机看山顶的俯角为经过420看山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为________m(取21.4，＝2222222222222222222222解析：图，作垂于AB的长线于点D，由题意知∠＝，＝，所以＝，＝50420000(m)．又在△中，

BCAB＝，sinA∠ACB所以BC×15＝10－2)．因为CD⊥ADCD∠DBC500(6×

＝500(3＝350.故山顶的海拔高度＝10－＝2．答案：2．(2019·南研某市有一中心公园，平面如图所示，公园的两条观光路为ll公管理中心位于点正方2kml上处现12划在l即北偏东45方，观光路l路处修建一公园服务中心．22若为方便管理使两点之间的直线距离不大于5长度的取值范围；为了方便市民活动，拟在l，上分别选点M，，修建一条小路1MN因环境需要，以为心，

km为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定，N的置，使M，之间的距离最短．解：(1)△中，＝2，OB＝x，∠＝，根据余弦定理得，AB＝OA

＋

－OA·cos135，∴2＋x－×x×2－

≤(2，即x＋2x－1