概率论补充题部分选解

(1)没有一个是次品;(2)至少有一个是次品;(3)只有一个是次品;(4)至少有三个不是次品;(5)恰好有三个是次品;(6)至多有一个是次品.解

练习

3

设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住试求下列事件的概率(1)A={指定的n个间房中各有一人住}(2)B={恰好有n个间房，其中各有一人住}

解因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制每间房子住多少人），所以n个人住的方式共有

种，它们是等可能的.

(1)n个人都分到指定的n间房去住，保证每间房中各有一人住;第一个人有n种分法，第二个人有n-1种分法，...，最后一个人只能分到剩下的一间房中去住，共有n(n-1)...21种分法，即A含有n!个基本事件.n个人都分到的n间房中，保证每间只有一人住，共有n!种分法，而n间房未指定，故可以从N间房中任意选取，共有种取法，故B包含的基本事件数为所以(2)B={恰好有n个间房，其中各有一人住}

练习4

某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知这12次接待都是在周二和周四进行的.问是否可以推断接待时间是有规定的？解

假设该站接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天去接待站是等可能的，则12次接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003

人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称为实际推断原理）.现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断该站接待时间是有规定的。

练习5

设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).练8练9

玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求（1）顾客买下该箱的概率是多少？（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率是多少？

解设A表示事件“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”表示事件“箱中恰有i件残次品”，易知，是样本空间S的一个划分.由题意，有(1)顾客买下该箱玻璃杯的前提是售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4只无残次品.由全概率公式，顾客买下该箱玻璃杯的概率为由Bayes公式（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率是多少？

练10

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3由全概率公式则B=BA1+BA2+BA3解依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,

P(B|A3)=1P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)设B={飞机被击落}可求得为求P(Ai),

设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3将数据代入计算得P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.于是练11

设每门炮在一次射击中，击中敌机的概率为0.4。问至少需配置多少门炮，才能以99%以上的把握击中一架来犯敌机？解

设至少需配置n门炮，并记：

Ai={第i门炮击中敌机}，i=1,2,…,nA={敌机被击中}，则：由于而相互独立，所以因此即因此至少配置10门炮.练12一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了使95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解

设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P{X≤m}>0.95

的最小的m.进货数销售数查泊松分布表得求满足P{X≤m}>0.95

的最小的m.P{X>m}≤0.05也即于是得m+1=10,m=9件或试说明F(x)能否是某个r.v的分布函数.练13

设有函数

F(x)不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v的分布函数.

解

注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.或者练习14设连续型随机变量X的分布函数为求（1）系数A,B的值；（2）（3）随机变量X的密度函数.故有解

(1)因为X是连续型随机变量,所以连续，即解之得（3）随机变量X的密度函数为由于

证明

分别设Y的分布函数与概率密度函数分别为

先设即有若则有其中为常数.练习15

设随机变量服从正态分布，也服从正态分布，证明将上两式分别关于y求导，得整理，得故练习16一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立)按题意

本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的.问平均内经取何值时，销售一个零件的平均利润

练习17

设某自动生产线加工的某种零件的内经X（单位：mm）服从

内经小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售合格品获利，生产不合格品则亏损，已知利润T（单位：元）与内经X有如下关系最大.解其中令解得练18

设(X是随机变量)证明当时，达到最小值.证明由题意两边对x求导，有显然，当时，又当时，达到最小值.最小值为这个例子又一次说明数学期望是随机变量X取值的集中位置，反映了X的平均值.练19

设X1,X2,…是相互独立同分布的随机变量，其分布函数为其中则辛钦大数定理对此序列{Xk}是否适用？

分析辛钦大数定理成立的条件：（1）随机变量序列独立同分布；（2）数学期望EX，n=1,2,...存在.解由题意，只需判断广义积分是否收敛即可.因为那么数学期望不存在，即辛钦大数定理对此序列{Xk}不适用练20

在每次试验中，事件A发生的概率为0.75，请利用切比雪夫不等式计算下列问题（1）在1000次独立试验中，事件A发生的次数在700~800之间的概率；（2）n多大时才能保证在n次重复独立试验中事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90？解设X=“1000次独立试验中事件A发生的次数”，则且有（1）（1）（2）设X=“n次独立试验中事件A发生的次数”，则事件A发生的频率为那么所以即至少要做18750次重复独立试验，才能保证试验中事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.解P(X≥h)≤0.01

或

P(X<h)≥0.99下面我们来求满足上式的最小的h

.练21

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?设车门高度为hcm,按设计要求因为X～N(170,62),故P(X<h)=设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X<h)0.99求满足的最小的h.所以查表得(2.33)=0.9901>0.99因而即

h=170+13.98184练22(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?用X表示在某时刻工作着的车床数解

对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率0.6,共进行200次独立重复试验.依题意，X~B(200,0.6)现在的问题是P(X≤N)≥0.999的最小的N.求满足设需N台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯极限定理近似N(0,1),于是P(X≤N)=P(0≤X≤N)这里np=120,np(1-p)=48由3σ准则，此项为0。查正态分布函数表得从中解得N≥141.5,即所求N=142.也就是说,应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.≥3.1,故练23解练24

根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为解

设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>192