2015世纪金榜理科数学(广东版)2.9

第九节

函数模型及其应用考纲考情广东五年0考高考指数:★☆☆☆☆

1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用五年考题无单独命题考情播报1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题,有可能会成为高考命题的热点2.将会与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题,考查建模能力及分析问题和解决问题的能力3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查,但以解答题为主【知识梳理】1.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性___________________________增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与____平行随x的增大逐渐表现为与____平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax单调递增单调递增单调递增y轴x轴2.常见的几种函数模型(1)直线模型:y=___________型,图象增长特点是直线式上升(x的系数k>0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=________.(2)反比例函数模型:y=

型,图象增长特点是y随x的增大而减小.(3)指数函数模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,a≠0)型,图象增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.kx+b(k≠0)kx(k>0)(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,图象增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a>1,m>0).(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型,其中最常见的是二次函数模型:__________(a≠0),图象增长特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大(a>0).y=ax2+bx+c(6)分段函数模型:图象特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点.3.建立函数模型解决实际应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:阅读理解、弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,弄清数据的单位等.(2)建模:正确选择自变量,将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.(3)求模:求解数学模型,得出数学结论.(4)还原:将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:【考点自测】1.(思考)给出下列命题:①函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大;②在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度;③“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻;④幂函数增长比直线增长更快;⑤指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题中.其中正确的命题是(

)A.①②B.②③C.③④D.②⑤【解析】选D.①错误.当x∈(0,2)和(4,+∞)时,2x>x2,当x∈(2,4)时,x2>2x.②正确.由两者的图象易知.③错误.增长越来越快的指数型函数是y=a·bx+c(a>0,b>1).④错误.幂函数y=xn(0<n<1,x>1)的增长速度比直线y=x(x>1)的增长速度慢.⑤正确.根据指数函数y=ax(a>1)函数值增长特点知⑤正确.2.(2014·宜春模拟)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(

)A.y=2x

B.y=log2xC.y=(x2-1)D.y=2.61cosxx1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61【解析】选B.由表格知当x=3时,y=1.59,而A中y=23=8,不合要求,B中y=log23∈(1,2)接近,C中y=(32-1)=4,不合要求,D中y=2.61cos3<0,不合要求,故选B.3.(2013·湖北高考)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(

)【解析】选C.距学校越来越近则图象下降,交通堵塞时距离不变,后加速行驶,直线变陡.4.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到(

)A.200只B.300只C.400只D.500只【解析】选A.由已知得100=alog3(2+1),得a=100,则当x=8时,y=100log3(8+1)=200(只).5.某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期是x,本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数关系式是

.【解析】已知本金为a元,利率为r,则1期后本利和为y=a+ar=a(1+r),2期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后本利和为y=a(1+r)3,…x期后本利和为y=a(1+r)x,x∈N.答案:y=a(1+r)x,x∈N6.(2014·安阳模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是

万元.【解析】由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2000=(40Q-Q2)-10Q-2000=-(Q-300)2+2500，所以当Q=300时，L(Q)max=2500(万元).答案：2500

考点1用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程

【典例1】(1)(2014·南昌模拟)如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有(

)A.1个B.2个C.3个D.4个(2)(2013·江西高考)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是(

)【解题视点】(1)根据实际问题中两变量的变化过程,结合容器中水面的高度h与时间t的关系作出选择.(2)注意到弧FG所对的圆心角为x,可构造y关于x的三角函数,借助于三角函数的图象可解决.【规范解答】(1)选A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①应该是匀速的,故下面的图象不正确,②中的变化率是越来越慢的,正确;③中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;④中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有①是错误的.(2)选D.△ABC的高为圆的半径1，可求边长为，弧FG所对的圆心角为x，所以O到FG的距离为cos

，则EB==，故y=，0＜x＜π，结合余弦函数的图象知选项D正确.【易错警示】关注变量的范围根据实际意义设出变量后,列式解决问题始终要注意变量的范围,解决过程中易忽视变量范围而致误.【规律方法】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.【变式训练】(2014·武汉模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两种调整的建议,如图(2)(3)所示.给出以下说法:①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价;②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变;③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变;④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本.其中所有正确说法的序号是(

)A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】选C.对于图(2),当x=0时,函数值比图(1)中的大,表示成本降低,两直线平行,表明票价不变,故②正确;对于图(3),当x=0时,函数值不变表示成本不变,当x>0时,函数值增大表明票价提高,故③正确.【加固训练】1.(2014·北京模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,经过x年,绿化面积与原绿化面积之比为y,则y=f(x)的图象大致为(

)【解析】选D.设某地区起始年的绿化面积为a,因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,所以经过x年,绿化面积g(x)=a(1+18%)x,因为绿化面积与原绿化面积之比为y,则y=f(x)==(1+18%)x=1.18x,因为y=1.18x为底数大于1的指数函数,故可排除C,当x=0时,y=1,可排除A,B,故选D.2.在翼装飞行世界锦标赛中,某翼人空中高速飞行,如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系,若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0,x]内的最大速度与最小速度的差,则u(x)的图象是(

)【解析】选D.由题意可得,当x∈[0,6]时,翼人做匀加速运动,v(x)=80+x,“速度差函数”u(x)=x.当x∈[6,10]时,翼人做匀减速运动,速度v(x)从160开始下降,一直降到80,u(x)=160-80=80.当x∈[10,12]时,翼人做匀减速运动,v(x)从80开始下降,v(x)=180-10x,u(x)=160-(180-10x)=10x-20.当x∈[12,15]时,翼人做匀加速运动,“速度差函数”u(x)=160-60=100,结合所给的图象,故选D.3.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0<a<12)、4米,不考虑树的粗细.现在想用16米长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S平方米,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是

(

)【解析】选C.设BC=x，则CD=16-x，由得a≤x≤12.S=x(16-x)=-(x-8)2+64.当0＜a＜8时，f(a)=64，当8≤a＜12时，f(a)=-(a-8)2+64，即f(a)=故选C.

考点2应用所给函数模型解决实际问题

【典例2】(1)(2014·沈阳模拟)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过

min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.(2)(2014·广州模拟)某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).①分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.②已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.(ⅰ)若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?(ⅱ)问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【解题视点】(1)根据已知条件先确定所给函数模型中待定系数b,进而利用该模型求得所求.(2)①结合图象,利用待定系数法求得函数关系式;②根据①所求函数模型求解.【规范解答】(1)依题意有a·e-b×8=a,所以b=,所以y=a·.若容器中的沙子只有开始时的八分之一,则有a·=a,解得t=24,所以再经过的时间为24-8=16(min).答案:16(2)①设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2(x≥0).②(ⅰ)由①得f(9)=2.25,g(9)=2=6.所以总利润y=8.25万元.(ⅱ)设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.则y=(18-x)+2,0≤x≤18.令

=t,t∈［0,3］,则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.所以当t=4时,ymax==8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.【规律方法】应用所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.提醒:解决实际问题时要注意自变量的取值范围.【变式训练】(2014·佛山模拟)据市场分析,粤西某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,月总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数,当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系.(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润?(3)当月产量为多少吨时,每吨平均成本最低,最低成本是多少万元?【解析】(1)由题意可设y=a(x-15)2+17.5(a∈R,a≠0).将x=10,y=20代入上式得:20=25a+17.5,解得a=,所以y=(x-15)2+17.5(10≤x≤25).(2)设最大利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y=1.6x-=-(x-23)2+12.9(10≤x≤25),因为x=23∈[10,25],所以月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.(3)当且仅当

即x=20∈[10,25]时上式“=”成立.故当月产量为20吨时,每吨平均成本最低,最低成本为1万元.【加固训练】1.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e-kt.若在前5个小时消除了10%的污染物,则污染物减少50%所需要的时间约为

h.

(

)A.26B.33C.36D.42【解析】选B.由题意,前5个小时消除了10%的污染物,因为P=P0e-kt,所以(1-10%)P0=P0e-5k,所以k=-ln0.9,所以P=当P=50%P0时,有50%P0=,所以ln0.9=ln0.5,所以t=≈33,即污染物减少50%需要的时间约为33h.2.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(

)A.5年B.6年C.7年D.8年【解析】选C.第n年的年产量y=因为f(n)=n(n+1)(2n+1),所以f(1)=3,当n≥2时,f(n-1)=n(n-1)(2n-1),所以f(n)-f(n-1)=3n2.n=1时,也满足上式,所以第n年的年产量为y=3n2,令3n2≤150,所以n2≤50,因为n∈N,n≥1,所以1≤n≤7,所以nmax=7.3.(2014·苏州模拟)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=

且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿.(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【解析】(1)当x∈［200,300］时，设该项目获利为S，则S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x∈［200,300］时，S<0,因此该项目不会获利.当x=300时，S取得最大值-5000,所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为①当x∈［120,144)时，所以当x=120时，取得最小值240.②当x∈［144,500］时，当且仅当即x=400时，取得最小值200.因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.

考点3构建函数模型解决实际问题【考情】对函数的实际应用问题的考查，以根据已知条件构建函数模型解决实际问题为重要考向，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题.高频考点

通关【典例3】(1)(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为

m.(2)(2014·苏州模拟)已知一家公司生产某种产品的年固定成本为10万元,每生产1千件该产品需另投入2.7万元,设该公司一年内生产该产品x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=①写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;②年产量为多少千件时,该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大?【解题视点】(1)根据相似三角形的性质将内接矩形的另一边用x表示，进而构建目标函数求最值.(2)①根据利润=收入-成本，其中成本包括固定成本和变化成本，列式得函数解析式，但要分段表示；②在①得出式子的基础上选择适当的方法求最值.【规范解答】(1)设矩形高为y,由三角形相似得:且x>0,y>0,x<40,y<40⇒40=x+y≥,当且仅当x=y=20时，矩形的面积S=xy取最大值400.答案：20(2)①当0＜x≤10时，W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10,当x＞10时，W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x,所以②(i)当0＜x≤10时，由W′=8.1-=0，得x=9,当x∈(0,9)时，W′＞0;当x∈(9,10］时，W′＜0,所以当x=9时，W取得最大值，即Wmax=8.1×9-×93-10=38.6.(ii)当x＞10时，当且仅当，即x=时，W取得最大值38.综合(i)(ii)知：当x=9时，W取得最大值为38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大.【通关锦囊】高考指数重点题型破解策略◆◆◆构建二次函数模型求解选择恰当的量为自变量x,将相关量用x表示,根据题中条件的等量关系得二次函数模型,利用二次函数的图象与性质求解◆◆◆构建对勾函数f(x)=x+(a>0)模型求解根据题意构建函数模型f(x)=x+(a>0),用基本不等式或导数法求其最值高考指数重点题型破解策略◆◆◆构建高次函数或复杂的分式结构函数模型(1)根据题意,抓住题中的等量关系,构建高次或复杂的分式结构函数模型(2)用导数法求最值◆◆

构建分段函数模型(1)根据题意,分别求出不同范围的函数表达式,做到分段合理、不重不漏(2)分段函数的最值是各段最大(或最小)者的最大者(最小者)【特别提醒】(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.(2)对构建的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.【通关题组】1.(2014·广州模拟)如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域.(2)求矩形BNPM面积的最大值.【解析】(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8-y，EQ=x-4，在△EDF中，所以所以y=-x+10,定义域为{x|4≤x≤8}.(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)=xy=x(10-)=-(x-10)2+50,所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10,所以当x∈［4,8］时，S(x)单调递增，所以当x=8时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米.2.(2014·厦门模拟)国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,环保节能的产品供不应求.为适应市场需求,某企业投入98万元引进环保节能生产设备,并马上投入生产.第一年需各种费用12万元,从第二年开始,每年所需费用会比上一年增加4万元.而每年因引入该设备可获得年利润为50万元.请你根据以上数据,解决以下问题:(1)引进该设备多少年后,该厂开始盈利?(2)若干年后,因该设备老化,需处理老设备,引进新设备,该厂提出两种处理方案:第一种:年平均利润达到最大值时,以26万元的价格卖出.第二种:盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算?【解析】(1)设引进该设备x年后开始盈利，盈利额为y万元.则y=50x-98-=-2x2+40x-98,令y＞0,得10-＜x＜10+，因为x∈N*,所以3≤x≤17.即引进该设备三年后开始盈利.(2)第一种：年平均盈利为当且仅当2x=,即x=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110(万元).第二种：盈利总额y=-2(x-10)2+102,当x=10时，取得最大值102,即经过10年盈利总额最大，共计盈利102+8=110(万元)，两种方案获利相等，但由于方案二时间长，采用第一种方案较合算.【加固训练】1.(2012·湖南高考)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间.(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.【解析】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为.易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.注意到T2(x)=T1(x),于是①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max.由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当

时f(x)取得最小值,解得x=.由于44<<45,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)<f(45),故当x=44时完成订单任务的时间最短,且最短时间为f(44)=.②当k>2时，T1(x)>T2(x),由于k为正整数，故k≥3，此时记T(x)=,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函数，则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=由函数T1(x)，T(x)的单调性知，当时φ(x)取最小值，解得x=.由于36<<37，而φ(36)=T1(36)=,φ(37)=T(37)=此时完成订单任务的最短时间大于.③当k<2时，T1(x)<T2(x)，由于k为正整数，故k=1,此时f(x)=max{T2(x),T3(x)}=.由函数T2(x),T3(x)的单调性知，当

时f(x)取最小值，解得x=，类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为,大于.综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68.2.(2011·山东高考)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域.(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解析】(1)因为容器的体积为

立方米，所以,解得由于l≥2r因此0＜r≤2.所以圆柱的侧面积为两端两个半球的表面积之和为4πr2,所以建造费用y=-8πr2+4πcr2,定义域为(0,2］.(2)因为0＜r≤2，由于c>3,所以c-2>0,所以令y′＞0得:r＞;令y′＜0得:0＜r＜

,①≥2时，即当3＜c≤时，函数y在(0，2)上是单调递减的，故建造费最小时r=2.②当0＜

＜2时，即c＞

时，函数y在(0，2)上是先减后增的，故建造费最小时r=.3.(2014·揭阳模拟)甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数f(x),g(x)以及任意的x≥0,当甲公司投入x万元进行宣传时,若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险;当乙公司投入x万元进行宣传时,若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元,则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险.(1)试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义.(2)设f(x)=x+10,g(x)=+20,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司各应投入多少宣传费?【解析】(1)f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失败的风险,至少要投入10万元宣传费;g(0)=20表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要避免新产品的开发有失败的风险,至少要投入20万元宣传费.(2)设甲公司投入宣传费x万元,乙公司投入宣传费y万元.依题意,当且仅当时,双方均无失败的风险.由①,②得即4y--60≥0,左边因式分解得:(-4)(4+15)≥0,因为≥0,所以4+15>0,所以≥4,所以y≥16,所以x≥+20≥4+20=24,所以xmin=24,ymin=16.答:在双方均无失败风险的情况下,甲公司至少要投入24万元,乙公司至少要投入16万元.【规范解答2】利用函数模型解决实际问题【典例】(12分)(2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.【审题】分析信息,形成思路信息提取思路分析(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域利用总成本为12000π元将高h用r表示→构建函数模型V(r)→由r>0且h>0得V(r)的定义域(2)讨论函数V(r