数值分析第二章第二节

湘潭大学数学与计算科学学院1§2Lagrange插值

一、问题的提法二、适定性和Lagrange插值公式

三、Neville插值公式

四、Newton插值公式

湘潭大学数学与计算科学学院2一、问题的提法已知：

的个样本值设彼此互异,记所有次数不超过n的代数多项式的全体为湘潭大学数学与计算科学学院3插值问题：求满足称为被插函数，为n次多项式插值函数，为插值节点，的Lagrange插值问题

并称而上述问题被称为关于节点湘潭大学数学与计算科学学院4二、适定性和Lagrange插值公式

定理2.1插值问题的解是存在且唯一的.证明：（构造性证明）（1）存在性

首先构造特殊插值多项式克罗内克尔(Kronecker)符号.(2.1)湘潭大学数学与计算科学学院5(2.1)所以又由即解得可以验证满足插值条件.湘潭大学数学与计算科学学院6(2)唯一性设n次多项式令则均为插值问题的解,即由高等代数基本知识知，若一个n次代数多项式至少存在n+1个根，则它一定恒为零.唯一性得证.湘潭大学数学与计算科学学院7称为f(x)的n次多项式插值的

Lagrange公式也称为Lagrange插值多项式.称为n次多项式插值问题的基函数(Lagrange因子)其中湘潭大学数学与计算科学学院8例当n=1时，线性插值公式湘潭大学数学与计算科学学院9当n=2时，抛物插值公式湘潭大学数学与计算科学学院10例1

已知线性插值和抛物插值公式求的近似值.试分别用解（1）选取利用线性插值公式，可得于是湘潭大学数学与计算科学学院11解（2）选取利用抛物插值公式，可得于是湘潭大学数学与计算科学学院12注意：可见线性插值公式所得近似值有3位有效数字抛物插值公式所得近似值有4位有效数字Lagrange插值公式的优缺点：优点：形式简洁便于理论分析和许多数值计算公式的推导缺点：没有承袭性即当增加新的节点时所有Lagrange因子必须重新计算湘潭大学数学与计算科学学院13malagr.m用途：拉格朗日插值法求解格式：yy=malagr(x,y,xx)，

x是节点向量，

y是节点对应的函数值向量，

xx是插值点(可以是多个)，

yy返回插值结果拉格朗日插值法Matlab程序

湘潭大学数学与计算科学学院14湘潭大学数学与计算科学学院15三、Newton插值公式

Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时全部基函数li(x)都需重新算过。将Ln(x)改写成的形式，希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。????湘潭大学数学与计算科学学院16首先考察的几种低次Newton插值公式的建立过程下面分别考察一次和二次插值多项式情形.的零次插值多项式显然关于节点(1)

关于节点的一次插值多项式根据承袭性的要求，可将其待定为由的定义知且满足故可令湘潭大学数学与计算科学学院17利用可求得(2.9)(2)

关于节点的二次插值多项式可将其待定为其中且满足故可令湘潭大学数学与计算科学学院18利用以及可求得湘潭大学数学与计算科学学院19湘潭大学数学与计算科学学院20(2.10)湘潭大学数学与计算科学学院21按照上述规律，关于节点的i次插值多项式可以待定成(2.11)为了给出一般待定系数的计算公式，我们需要引入差商的概念湘潭大学数学与计算科学学院22定义1

称为f(x)在x0、x1点的一阶差商.称为函数f(x)在x0、x1、x2

点的二阶差商.差商的定义一阶差商的差商湘潭大学数学与计算科学学院23一般地，n－1阶差商的差商

称为f(x)在x0,x1,…,xn点的

n阶差商。差商的计算步骤与结果可列成差商表，如下湘潭大学数学与计算科学学院24xk函数值一阶差商二阶差商三阶差商...

x0x1

x2

x3...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)...

f[x0,x1]

f[x1,x2]

f[x2,x3]

...

f[x0,x1,x2]

f[x1,x2,x3]

...

f[x0,x1,x2,x3]

......表2-2湘潭大学数学与计算科学学院25这一性质可以用数学归纳法证明。例如性质1差商可以表示为函数值的线性组合，即差商的性质:湘潭大学数学与计算科学学院26性质1表明差商与节点的排列次序无关，即

f[x0

,x1,x2,...,xn]=性质2(对称性)f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,

x0

]湘潭大学数学与计算科学学院27

性质3

若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn

[a,b],则至少存在一点[a,b]

满足下式

解

f(8)(x)=-6·8!,f[1,2,…,9]=-6,

f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.例1

f(x)=-6x8+7x5-10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].湘潭大学数学与计算科学学院28Newton插值多项式首先考察待定常数与差商之间的关系.由和可知(2.10)(2.9)湘潭大学数学与计算科学学院29(2.14)对于一般的利用归纳法可以证得(2.15)事实上，由差商的定义可知：依次将后一式代入前一式，最后得：湘潭大学数学与计算科学学院30其中：

湘潭大学数学与计算科学学院31因此关于节点的n次插值多项式可以写成(2.16)称(2.16)为Newton插值公式，称为n次Newton插值多项式。

相应的容易验证满足插值条件。湘潭大学数学与计算科学学院32所以由插值多项式的唯一性知,

Ln(x)Nn(x)由于Newton插值多项式Nn(x)与Lagrange插值多项式Ln(x)只是Lagrange插值问题解的两种表示形式，通过比较(2.5)和(2.16)关于的系数可知这就证明了差商性质1.湘潭大学数学与计算科学学院33湘潭大学数学与计算科学学院34xkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.116001.186001.275731.384100.280000.358930.433480.197330.213000.03134例2

已知f(x)=shx的数表,求二次牛顿插值多项式,并由此计算f(0.596)的近似值。解由上表可得过前三点的2次Newton插值多项式为湘潭大学数学与计算科学学院35又可得过前四点的3次Newton插值多项式故又湘潭大学数学与计算科学学院36可得过前五点的4次Newton插值多项式于是当插值节点等距分布时，上述基于差商的Newton插值公式可以得到进一步简化湘潭大学数学与计算科学学院37Lagrange插值问题解的误差分