数字控制器设计

第二章数字控制器的设计2.1离散系统的信号变换2.2差分方程和传递函数2.3离散系统的性能指标2.1离散系统的信号变换炉窑热电偶输入A/D计

外 阀门 D/A机操作台算设输出计算机控制系统中的信号(多种信号的混合）●模拟信号：时间和幅值上都连续

●采样信号：时间上离散，幅值上连续

●量化信号：时间上连续，幅值上离散

●数字信号：时间上和幅值上都离散一、信号的变换在计算机控制系统中，信号的变换主要由A/D和D/A转换实现。由传感器采集的模拟量经过放大、滤波等处理送到A/D转换器转换为数字量。计算机输出的控制量是数字量，需经D/A转换器转换为模拟量，控制执行器的执行。

A/D转换：分为采样保持、量化和编码等步骤。模拟信号S/H量化 编码 数字信号

（一）采样保持

1、采样：将连续信号变换成脉冲序列的过程 y(t)y(kt)

脉冲采样器：当连续信号经脉冲采样器采样，输出系列的脉冲序列：

式中为单位脉冲函数K不能用数学公式描述（1）令：=

则：y*(t)=y(t)

=y(t)

=

上述采样过程可视为y(t)对脉冲序列的调制过程。y(t) y*(t)脉冲幅值调制y(t)δT(t)y*(t)（2）式(1)(2)称采样信号的时域表达式。

2、采样周期的确定

根据Shannon定理，ω≧2ωmax

。理论计算采样周期太繁琐，工程上大都采用经验采样周期。

控制量 流量 压力液位湿度成分采样周期（秒）1-23-56-810-1515-203、信号的保持采样信号仅在采样时刻有输出值，在两次采样的中间时刻信号需要保持。保持器根据两次采样的之间的信号用常数、线性函数和抛物线等进行逼近。保持器分为零阶、一阶和高阶。

h0(t)y(t)

（1）零阶保持器h0(t)

将当前时刻的采样值Y(KT）保持到下一个采样时刻,形成高度为Y(KT)、宽度为T的矩形。

h0(t)可分解为两个函数之差：

h0(t)=u(t)–u(t-T)

经拉氏变换零阶保持器的传 递函数为

H0(S)=

u(t)u(t-T)当采样间隔足够小，零阶保持器复现原信号的效果相当好。零阶保持器具有低通和相位滞后的特性（2）一阶保持器用线性函数逼近两次采样的之间的信号为一阶保持器。可推导出一阶保持器的传递函数为：

根据幅频特性和相频特性分析，一阶保持器相位滞后大、幅频特性高，对控制系统的稳定性和动态特性不利。二阶以上的保持器相当复杂并且不容易实现，故很少采用。

（二）量化将采样时刻的信号按最小量化单位取整，称为量化。

（三）编码将量化后的信号变换为二进制码形式，即数字量。编码只是将量化后的信号转化为数字量，属于无误差的等效转化，编码后的数字量可由计算机识别并处理。

D/A转换

D/A转换是将数字信号转换为时间连续的模拟信号，分为解码和保持2个步骤。

解码：数字信号→模拟脉冲信号保持：使模拟脉冲信号在时间上连续，当T很小时，近似为模拟量。数字信号解码保持模拟信号（四）计算机控制系统中信号形式的分类K量化编码CPU解码保持检测 被控对象将上述过程汇总，计算机控制系统可归纳为上图形式。系统中各点的信号如P14图2-7所示。

实际应用时按下面要求简化上述系统：

A/D和D/A中，主要是采样、量化和保持。编码和解码在合理时刻看成无误差等效变换，可略去。量化中，当量化单位很小时，误差小，对系统影响小，可不考虑。保持会影响系统的传递函数，必须考虑。

二、Z变换Z变换是分析离散系统的重要工具，在离散系统中由Z变换导出Z传递函数、再分析线性离散系统的特性。（一）Z变换定义由采样信号的时域表达式：

y*(t)= 对上式进行拉氏变换

L[y*(t)]=Y*(S)=

= =

设：上述过程可记为:Y(Z)=Z[y(kt)]

=（二）S平面与Z平面的映射关系1、S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内。2、S平面的原点映射到Z平面的单位圆Z=1点，S平面的无穷大映射到Z平面的单位圆Z=-1点，映射是唯一的。3、Z平面的映射到S平面时为多值变换，即Z平面的一个点映射到S平面有无穷多个数值对应。运用时通常取主频带。 (三)常用函数的Z变换

f(t) F(s) F(z)

δ(t) 111(t) tt2/2

(三)常用函数的Z变换f(t) F(s) F(z)

（四）Z反变换已知Y(Z)求Y(KT)称Z反变换,记为:Y(KT)=Z–1[Y(Z)]

在离散系统中Y(Z)经Z反变换求得的Y(KT)仅是连续时间函数在各采样时刻的值。反变换方法有：长除法，部分分式法，留数计算法。

1、长除法 适用于Y(Z)无理式,用分子直接除以分母,得到Z的降幂级数由Z变换定义比较上面两式可得:y(0)=y0，y(T)=y1，…，y(kT)=yk，…由此推出采样函数

f(t)=y0+y1δ(t-T)+…+ykδ(t-kT)+…优点:可方便的用计算机编程来实现,但得不到f(kt)的通式。

2、部分分式法 适用于Y(Z)为有理式查Z反变换表可得到Y(KT)（1）无重根例1：已知 ，求Z反变换法一：解出A=-1，B=1查Z变换表：法二：（2）有重根例2：已知，求Z反变换 求出：A=1，B=-1，C=1

得到 查表对上述各分式进行Z反变换得到y(KT)=2K-1+K法一：法2：重根中低次项的处理：

3、留数法当上述两种方法都不适用时可采用此方法。留数计算法又称Z反变换的公式法，无理式和有理式都适用。

其中Γ为包围原点和被积式全部极点的封闭曲线,根据留数定理可表示为:式中n为极点数，Pi为I个极点，Res表示留数。不同极点的留数算法

有单极点

例：，求解：由题可知

有m阶重极点和其它单极点例；求的Z反变换解：

3.2差分方程和传递函数

一、差分方程线性离散系统的输入和输出间的关系可用线性常系数差分方程描述。

y(KT)=（一）差分方程可以从微分方程近似推出,方法是:1、用Y(KT),R(KT)代替Y(t)和R(t)2、用差分代替微分（二）差分方程的解法线性离散系统差分方程的解法：迭代法、古典法、Z变换法

1、迭代法已知差分方程和输入序列、输入序列的初始值，可用迭代法逐步计算出输出序列。迭代法用计算机实现容易，但不能得到输出的解析式。

2、古典法与微分方程类似，差分方程的解也分为齐次方程的通解和非齐次方程的特解两部分，可按照求解微分方程的方式求出。

3、Z变换法在离散系统中用Z变换法求解差分方程，使求解运算变为代数运算，可简化系统的分析。用Z变换法求解差分方程的步骤：1、对差分方程作Z变换法（用Z变换的超前和滞后定理）2、利用初始条件求出y(0),y(T),…代入Z变换式3、求出：4、Z反变换法，求出差分方程的解Y（KT）例：求解差分方程y(KT-2T)-5y(KT-T)+6y(KT)=r(KT),若已知系统输入r(KT)=1K≧0,初始条件为0解：对差分方程作Z变换

Z[r(KT)]=1/(1－Z-1)整理后

写成分部形式,求出待定系数：A=1/2B=1C=－1/2

Z反变换:

练习1：1、用部分分式法求Y(Z)的反变换。（1）已知 ，a为常数（2）已知：2、求解差分方程：y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，初始条件为：y(0)=0，y(1)=1

二、Z传递函数（脉冲传递函数）

1、Z传递函数定义

G(Z)=Z[Y(KT)]/Z[r(KT)]=Y(Z)/R(Z)R(Z)是输入信号r(t)采样后r(KT)的Z变换,Y(Z)是系统输出y(t)采样后Y(KT)的Z变换。离散系统的Z传递函数反映了系统的固有特性,它仅取决于描述离散系统的差分方程。若已知R(Z)和G(Z)，系统的输出脉冲序列:

2、Z传递函数的求法（1）可由连续系统的传递函数G(S)求G(Z)●求G(S)的拉氏反变换得到h(t)=L-1[G(S)]●Y按选定的周期T对h(t)采样，得到单位脉冲响应序列h(KT)●G(Z)=Z[h(KT)]

例：连续环节G(S)=K0/(S+a)，求G(Z)

解：h(t)=L-1Y[G(Z)]=K0e-ath(KT)=K0e-aKT

G(Z)=K0Z/(Z－e-aT)（2）由差分方程求Z传递函数已知系统的差分方程：

y(KT)+a1y(KT-T)+…any(KT-nT) =b0r(KT)+b1r(KT-T)+…+bmr(KT-mT)在初始条件为零时对上式作Ｚ变换，得到：

y(Ｚ)+a1Z-1Y(Ｚ)+…anZ-nY(Z) =b0R(Z)+b1Z-1R(Z)+…+bmZ-mR(Z)

求出G(Z)=Y(Z)/R(Z) =(b0+b1Z-1+…+bmZ-m)/(1+a1Z-1…+anZ-n)

3、开环的Z传递函数开环系统中有串联、并联和带保持器三种（1）串联

●有采样开关隔开G(Z)=G1(Z)G2(Z)

系统的Z传递函数为两个环节的传递函数的乘积●无采样开关隔开G(Z)=Z[G1(S)G2(S)]

系统的Z传递函数为两个环节的乘积的Z变换（2）并联G(Z)=Z[G1(Z)+G2(Z)]=G1(Z)+G2(Z)

系统的Z传递函数为两个环节的传递函数的和（3）带有零阶保持器例:带有零阶保持器的系统,若G(S)=a/(S+a)，传递函数解:

4、闭环Z传递函数GC(Z)和误差的传递函数Ge(Z)○×r(t)R(Z)E(Z) T Y(Z) D(Z)H0(S)G(S)y(t)

T

T

THG(Z)如图：D(Z)为数字控制器,HG(Z)为带有零阶保持器Z传递函数，R(Z)输入的Z变换，Y(Z)为输出的Z变换，E(Z)为误差的Z变换，U(Z)为控制量的Z变换。求闭环Z传递函数GC(Z)

的步骤如下：（1）求带有零阶保持器连续对象的Z传递函数HG(Z)（2）写出前向通道上Y(Z)与E(Z)的关系式

Y(Z)=D(Z)·HG(Z)·E(Z)（3）写出闭环回路中E(Z)和R(Z)的关系式

E(Z)=R(Z)-Y(Z)=R(Z)-D(Z)HG(Z)E(Z)

误差的传递函数

Ge(z)=E(Z)/R(Z)=（4）闭环传递函数Gc(Z)

得到：求得闭环传递函数Gc(Z)

闭环传递函数Gc(Z)与误差的传递函数Ge(z)的关系：得到：几种典型闭环采样系统的结构和传递关系G(Z)G(Z)G1(Z)G1(Z)G1(Z)F(Z)F(Z)G2(Z)F(Z)G2(Z)F(Z)G2(Z)F(Z)R(Z) Y(Z)R(Z) Y(Z)

2.3线性离散系统的性能指标

线性离散控制系统的性能可用动态特性、稳定性、误差特性和能控性、能观测性等指标来衡量。

一、动态特性

1、时域分析法已知闭环系统的Z传递函数GC(Z)和输入的Z变换R(Z)，则用Z反变换可求出输出响应的采样值Y(KT)。画出时域中的输出响应图形后可直观的分析其超调量、调节时间、峰值时间、震荡次数和衰减比等。例：求下图所示系统的Z传递函数及单位阶跃响应，设采样周期T=1S。求广义被控对象Z传递函数（2）求闭环Z传递函数（3）求输出的Z变换，由题知（4）求单位阶跃响应采样值

可画出输出序列的过渡曲线图(略）。由图可看出，超调量约为40%，过渡过程时间约为15秒，稳态误差为0。在离散系统中采样周期和零阶保持器对系统有较大的影响，当采样周期T较大时，零阶保持器会产生相位滞后，从而降低了稳定程度，增大了超调量。

2、根轨迹分析法已知系统的开环零、极点的位置，以开环系统的根轨迹增益或其它参数为变量，求出闭环极点的分布。

3、频域特性分析法采用伯特图（对数坐标图）或奈奎斯特图（极坐标图）在频域中对系统进行特性分析，由于用计算机绘制上述图形，非常方便，所以得到广泛应用。现都采用MATLAB软件，在计算机绘制根轨迹图和伯特图（对数坐标图）或奈奎斯特图（极坐标图）

，直观并且便捷。

二、系统的稳定性系统在给定输入或外界干扰作用下其过渡过程分为以下4类：发散震荡、等幅震荡、衰减震荡和非周期衰减；控制系统必须满足衰减震荡和非周期衰减，才是稳定的。判断系统的稳定性有以下方法：（1）Z平面中，极点必须在单位圆内系统才稳定。（2）Juli稳定判据根据特征方程构造Juli阵列进行稳定性判别。（3）Routh稳定判据先进行Z-W变换，根据特征方程构造Routh行列表，再对系统的稳定性进行判别。（一）Z平面中极点对系统的影响

1、实轴上的极点

2、脉冲传递函数的极点为一对共轭复根ABCDEFRe

ImA：B：C：D：E：F：3、趋势分析看出当极点越靠近原点，收敛越快；极点的幅角越大，震荡频率越高。A CA1 C1BB1A-A1：B-B1：C-C1：

（二）劳斯判据在连续系统中判断特征方程（多项式）的根是否在S域的左平面，即可知系统是否稳定。对离散系统：由于得到的不是S多项式，不能用直接用劳斯判据，为解决上述问题，引入双线性变换。

1、双线性变换

其中

（1）若σ＜0，分子<分母，左半平面→Z单位圆内（2）若σ=0，分子=分母虚轴→Z单位圆上（3）若σ＞0，分子>分母右半平面→Z单位圆外

2、劳斯稳定判据在离散系统中的应用若已知离散系统的特征方程用双线性变换

代入展开化简，其中T为采样周期，b0、b1、…，bn为常数例1：已知离散系统的特征方程采样周期T=1s，用劳斯判据确定系统的稳定性。解：双线性变换，化简后代入T

劳斯判据

S平面右半部有2个极点，映射到Z平面单位圆外系统不稳定。

例2

离散系统如图，采样周期T=1s，确定系统稳定时的增益k。解：

闭环传递函数特征方程：双线性变换T带入劳斯判据系统若稳定，劳斯表中第一列各元素均为正。得到系统增益：0＜K＜2.39

三、离散系统的误差误差特性是自动控制系统的重要性能指标。控制系统在输入信号作用下，时间响应的瞬态分量可以反映系统的动态特性，对于一个稳定的系统，当过渡过程结束，输出将趋于一个稳态值，即稳态分量。由于系统的结构和参数不同，输入信号不同，同时由外界干扰的作用，会使系统的稳态值偏离输入值，产生误差。稳态误差反映系统的精度和抗干扰能力。1、系统的结构、参数和输入形式与误差的关系

设系统的结构如图所示，它的误差Z变换为

是由输入引起的误差Z传递函数用长除法将E(Z)分解

其中的系数为时刻的误差采样值，可以分析系统在某种输入形式时动态特性。可看到，系统的误差与系统的结构，环节的参数和系统的输入形式有关。稳定误差是系统稳态性能的重要指标，用于衡量控制系统精度。稳定误差定义为： 由终值定理，对单位反馈离散系统

连续系统中系统的稳定误差取决与开环传递函数G0(S)的形式，若系统的开环传递函数为：式中q为开环系统在S平面坐标原点上的重极点数，对稳定误差有重要影响，q=0、1、2时系统称为0、I、II型。