数理统计基本概念

作出精确而可信的结论。数理统计可以分为两大类：一类是如何科学地安排试验，-------描述统计学，如：试验设计、抽样方法。另一类是研究如何分析所获得的随机数据，对所研究的问题进行科学的、合理的估计和推断，尽可能的为采取一定的决策提供依据，-------推断统计学，如：参数估计、假设检验等。以获取有效的随机数据。第二章数理统计的基本概念100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：例：某厂生产一型号的合金材料，用随机的方法选取1、估计这批合金材料的强度均值是多少?(参数的点估计问题）2、强度均值在什么范围内？(参数的区间估计问题）3、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这批材料是否合格？(参数的假设检验问题）4、这批合金的强度是否服从正态分布？5、若这批材料是由两种不同工艺生产的，那么不同的工艺对合金强度有否影响？若有影响，哪一种工艺生产的强度较好？(分布检验问题）(方差分析问题）6、若这批合金由几种原料用不同的比例合成，那么如何表达这批合金的强度与原料比例之间的关系？(回归分析问题）我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验、方差分析、回归分析。下面引入一些数理统计中的术语。二、统计量一、总体与样本抽样和抽样分布三、几个常用的分布四、正态总体统计量的分布1.总体研究对象的某项数量指标值全体称为总体(母体)。个体——总体中每个成员（元素）。2.样本一、总体和样本对总体做n次重复独立观测，称为简单随机抽样。抽样得到的个体称为样本。(2)独立同分布性要求抽取的样本满足下面两点:(1)代表性：简单随机抽样每一个分量Xk与所考察的总体有相同的分布。个体被抽到的可能性相同。从总体中抽取样本的每一个分量Xk

是随机的,是相互独立的随机变量。（若不特别说明，均指简单随机样本）简单随机样本可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量若总体X的分布函数为联合分布函数为若总体X的分布密度函数为表示。则其简单随机样本的则其简单随机样本的联合密度函数为离散总体则样本的分布律我们只能观察到随机变量取的值,而见不到随机变量.3.总体、样本、样本值的关系

事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本.因而可以由样本值去推断总体.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，去推断总体的情况--总体分布F(x)的性质.样本是联系二者的桥梁。统计是从手中已有的资料--样本值，4.样本的分布1）样本的频数分布将n个样本值按从小到大排列，把相同的数合并，并指出其频数（样本中各数出现的次数）x频数频率2）样本的经验分布函数样本值:样本值小于或等于x的个数，作－－－样本的经验分布函数给出了在n次独立重复试验中，事件出现的频率，具有分布函数的一切性质。如：非降，右连续；由频数分布知---n次独立重复试验中，事件发生的频率。根据伯努利大数定律，这就是我们可以由样本推断总体的基本理论依据.格列汶科进一步证明了：当n→∞时，Fn(x)以概率1关于x一致收敛于F(x)，即（格列汶科定理）定理告诉我们，当样本容量n足够大时，对所有的x,

Fn(x)与F(x)之差的绝对值都很小，这件事发生的概率为1.定义：设是来自总体X的一个样本，为一实值连续函数，其不包含任何未知参数，则称为一个统计量。为的观测值。注：是变量的函数，仍为随机变量。是一个数。二、统计量1.统计量

2.几个常见的统计量样本均值样本方差是来自总体X的一个样本，样本标准差证明：左边＝样本k

阶原点矩样本k阶中心矩常见统计量的性质统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”

.

三、抽样分布(1)标准正态分布X的上α

(0<α<1)分位点记为设相互独立,都服从正态分布N(0,1),

则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.

对于给定的正数称满足条件为分位点.分布的上的点

分布的分位点上分位点双侧分位点一般的分布表只列到n=45,n>45时，由记为T～t(n).服从自由度为n的t分布，(3)t分布设X～N(0,1),Y～则称变量,且X与Y相互独立，当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。

t分布的密度函数关于x=0对称性质

t分布的分位点

对于给定的正数称满足条件的点为分位点”。分布的“上(4)F

分布的F分布，n1称为第一自由度，设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为称为第二自由度，记作由定义可得性质F

分布的分位点对于给定的正数称满足条件为分布的的点上分位点表中所给的都是很小的数，如0.01，0.05等当表中查不出，由性质（2）较大时，如0.95，四.正态总体抽样分布定理的样本,则有

定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn

是来自正态总体定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn

是取自正态总体样本,分别为样本均值和样本方差.则有的和相互独立。

分别是这两个样本的均值,且X与Y独立,是取自X的样本,样本,分别是这两个样本的样本方差,则有是取自Y的定理3(两总体样本均值差的分布)二、估计量的评选标准一、点估计第三章参数估计三、区间估计四、正态总体均值与方差的区间估计

参数估计是统计推断的基本问题之一，问题中，并不一定要求密度函数，而只要知道参数在许多实际取值就可以了。考察灯泡厂生产的灯泡质量，由于种种随机易知灯泡使用寿命是随机变量，记为且

问题：如何估计和？引例:因素的影响，知道了参数μ，σ2的值，那么寿命X的分布就完全确定了.参数估计要解决问题:总体分布函数的形式为已知,需要确定未知参数。但其中参数未知时，这类问题称为参数估计问题。对于未知参数，如何应用样本所提供的信息去对其一个或多个未知参数进行估计。对未知参数估计的两种方法：通过样本1、点估计2、区间估计一、点估计点估计问题：故可用样本矩来估计总体矩。这个估计方法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。基本原理：总体矩是反映总体分布的最简单的数字特征，当总体含有待估计参数时，总体矩是待估计参数的函数。样本取自总体，即样本矩在一定程度上可以逼近总体矩，（一）矩估计法其中是待估参数为来自的样本,存在.设总体的k阶矩则样本的k阶矩(大数定律)令从中解得k个方程组即为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值。设总体X的分布函数为矩估计的步骤：连续型离散型例1

设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从

例2设总体在上服从均匀分布，解：由矩法,解得在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.（二）极大似然法

选择一个参数使得试验结果具有最大概率—极大似然法的基本思想.基本思想:若事件发生了,则认为事件中出现的概率最大。最大似然估计就是在一次抽样中,若得到观测值则选取若一试验有n个可能结果现做一试验,在这n个可能结果作为的估计值，使得当时,样本出现的概率最大。最大似然估计法:是的一个样本值(离散型)(1)设事件发生的概率为

的函数，形式已知，X的分布律为：

样本的似然函数即取使得：与有关,记为称为参数的最大似然估计值。称为参数的最大似然估计量.达到最大的参数作为的估计值，现从中挑选使概率样本的似然函数说明：用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用极大似然原则来求.使似然函数达到最大的即的MLE。

(4)在最大值点的表达式中,用样本值代入就得参数的极大似然估计值.(1)由总体分布导出样本的联合分布律

(或联合密度);(2)把样本联合分布律(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量,

得到似然函数L();(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求ln

L()的最大值点)，即

的MLE;求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：似然函数为：

设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的极大似然估计.例3对数似然函数为解：似然函数为i=1,2,…,n求导方法无法求参数的MLE.是对故使达到最大的即的MLE，

取其它值时，是的增函数由于这时要用极大似然原则来求.由于估计量作为样本的函数是一个随机变量,对于不同的样本值,估计值也不同,因此评价一个估计量的优劣就不能仅由一个观测值来确定,而要根据估计量的统计性质来评价.通常一个好的估计量其观测值应在待估计参数的真值附近波动,且波动的幅度越小越好,即要使估计量与待估计参数在某种统计意义下非常“接近”.

常用的几条标准1．无偏性2．有效性3．相合性二、估计量的评选标准而它的期望值等于未知参数的真值.则称为的无偏估计.设是未知参数的估计量，若1．无偏性

估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，定义:无偏性的意义是：用来估计