方程的根与函数的零

3.3.1方程的根与函数的零点教学目标：

1.知识与技能：

2.过程与方法：3.情感态度与价值观：

结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握函数零点存在的判定定理。培养学生自主发现、探究实践的能力。让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程思想在解决数学问题时的意义与价值；培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。教学重点：

教学难点：

零点的概念及零点存在性的判定。

探究发现函数零点的存在性。一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系？一、新课引入思考

方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3方程x2－2x－3=0判别式>00<0

y=ax2+bx+c

的图象ax2+bx+c=0

的根ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有如下关系：xyx1x20xy0x1xy0{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}ΦΦR函数的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)没有交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根两个不相等的实数根x1、x2

对于函数y=f(x),叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点1.函数的零点定义：等价关系使f(x)=0的实数x零点的求法

代数法图像法二、新知探究函数的零点是（）A.（-1，0）、（3，0）B.x=-1C.x=3D.-1和3练一练D总结零点不是点，是一个实数.甲原来在河的北岸,现在在河的南岸,能断定甲过河了吗?过了几趟?乙原来在河的北岸现在还在河的北岸,乙有没有过河?过了几趟?问题

甲甲乙乙观察与探究

甲

甲甲

甲观察函数的图象并填空:①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上______(有/无)零点；②在区间(b,c)上f(b)·f(c)_____

0(“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上______(有/无)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)_____

0(“＜”或”＞”)．在区间(c,d)上______(有/无)零点；有<有<有<xyOabcd零点存在性的探究：思考：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。2、函数零点存在性定理：xyOxyObaabcc加强定理的结论:若在区间[a，b]上连续函数f（x）满足f(a)f(b)<0,是否意味着函数f(x)在[a,b]上恰有一个零点?

将定理反过来:若连续函数f(x)在[a,b]上有一个零点,是否一定有f(a)f(b)<0?

不是，至少一个零点。不一定，如二次函数时。思考观察下面函数图象思考:虽然函数f(x)满足了f(-1)f(1)<0,但它在区间(-1,1)上却没有零点,为什么?观察与探究练习：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内存在零点，则有f(a)·f(b)<0

（）（4）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （）abOxyabOxyabOxy画图象举反例：函数零点存在定理的三个注意点：

1函数是连续的。

2定理不可逆。

3至少存在一个零点，不排除更多。3.判断零点的方法：(1)定义法：解方程f(x)=0，得出函数的零点。(2)图象法：画出y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。(3)定理法：函数零点存在性定理。典例分析例1求函数的零点个数．解：作出x、f(x)的对应值表．x12345f(x)由表格可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．思考：你能判断函数的单调性，并给出相应的证明吗？由于函数f(x)，在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．

变式:方程在下列哪个区间上有根()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)C解法一:C解法二:21-1-21240yx3

变式:方程在下列哪个区间上有零点()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)练习1:下列函数在区间[1，2]上有零点的是()(A)f(x)=3x2-4x+5(B)f(x)=x³-5x-5(C)f(x)=lnx-3x+6(D)f(x)=ex+3x-6

练习2:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有零点()A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)DB1.求下列函数的零点:三、精彩一练2.对于定义在R上的连续函数y=f(x),若f(a).f(b)<0

(a,b∈R,且a<b),则函数y=f(x)在(a,b)内（）A.只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.

无法确定有无零点3.如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A.m>