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第八章第七节一、方向导数

机动目录上页下页返回结束二、梯度三、物理意义方向导数与梯度实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,沿不同方向金属板温度变化的快慢怎么衡量？一、问题的提出1.方向导数的定义

设有二元函数沿任何方向的变化率．

考虑函数在某点射线是指有方向的半直线,即二、方向导数概念与计算公式定义如果极限存在,则将这个极限值称为函数在点记为即注方向导数是函数沿半直线方向的变化率.2.方向导数的几何意义的几何意义为曲面,当限制自变量沿方向变化时,对应的空间点形成过的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点M有一条记此半切线与方向的夹角为则由方向导数的半切线,定义得ρ一定为正!是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数

分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.注事实上,的方向导数存在,事实上,同理,的方向导数存在,存在时,????问:反之,存在时,是否一定存在?例如,函数沿方向的方向导数但不存在.即z在(0,0)点的偏导数不存在.证由于函数可微,得到3.关于方向导数的存在及计算公式

充分条件定理可微,则函数且则增量可表示为两边同除以故有方向导数注即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.在定点的方向导数为(3)(4)关系方向导数存在偏导数存在可微解解由方向导数的计算公式知故推广可得三元函数方向导数的定义解令故方向余弦为故三、梯度的概念结论在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量等高线概念等高线的画法播放梯度与等高线的关系：类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数解由梯度计算公式得故1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）四、小结思考题思考题解答练习题练习题答案

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