第七章线性变换

第七章向量空间

§7.1线性映射

§7.2线性变换的运算§7.3线性变换和矩阵

§7.4不变子空间§7.5本征值和本征向量§7.6可以对角化的矩阵

例1设F是一个数域,V和W是F上向量空间.设σ是V到W的一个映射,如果下列条件被满足,就称σ是V到W的一个线性映射:(1)

ξ,ηV,σ(ξ+η)=σ(ξ)+σ(η);(2)F,ξV,σ(αξ)=ασ(ξ)。线性映射的定义定义1对于R2的每一向量ξ=(X1,X2)定义:

σ(ξ)=(X1,X1-X2,X1+X2)

R3，σ是R2到R3的一个映射，我们证明，σ是一个线性映射.（i）设ξ=(x1,x2),η=(y1,y2)是R2的任意两个向量.我们有σ(ξ+η)=σ((x1+y1,x2+y2))=

(x1+y1,(x1+y1)-(x2+y2),(x1+y1)+(x2+y2))=σ(ξ)+σ(η)=

(x1+y1,(x1-x2)+(y1-y2),(x1+x2)+(y1+y2))=

(

x1,x1-x2，x1+x2)+(y1，y1-y2，y1+y2)(ii)设σ∈R，ξ=（x1,x2）∈R2，我们有σ(αξ)=σ((αx1,αx2))=

(αx1,αx1-αx2,αx1+αx2)=

α(x1,x1-x2,x1+x2)=ασ(ξ)因此σ是R2到R3的一个线性映射。命题7.1.1设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线性映射.那么V的任意子空间在σ之下的像是W的一个子空间,而W的任意子空间在σ之下的原像是V的一个子空间.命题7.1.2

设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线性映射,那么

(Ⅰ)σ是满射Im(σ)=W.(Ⅱ)σ是单射Ker(σ)=|0|.

令V是数域F上一个向量空间.V到自身的一个线性映射叫做V的一个线性变换.定义1线性变换的运算

L(V)对于加法和数与线性变换的乘法来说作成数域F上一个向量空间.定理7.2.1我们用L(V)表示向量空间V的一切线性变换所成的集合.对于任意ρ,σ,τ∈L(V),以下等式成立:

⑴σ+τ=τ+σ;⑵(ρ+σ)+τ=ρ+(σ+τ);⑶θ+σ=σ;⑷σ+(-σ)=θ;⑸k(σ+τ)=kσ+kτ;⑹(k+l)σ=kσ+lτ;⑺(kl)σ=k(lσ);⑻lσ=σ;⑼ρ(σ+τ)=ρσ+ρτ;⑽(σ+τ)ρ=σρ+τρ;⑾(kσ)τ=σ(kτ)=k(στ).线性变换和矩阵设V是数域F上一个n维向量空间,令σ是V的一个线性变换,取定V的一个基α1,α2,,…,αn,令σ(ξ)仍是V的一个向量.考虑V中任意一个向量ξ=x1α1+x2α2+…+xnαn定义1A=a11a12….a1n

…………….a21a22….a2nan1an2….ann矩阵A叫做线性变换σ关于的{α1,α2,,…,αn

}矩阵.命题7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换,而σ关于V的一个基本{α1,α2,,…,αn

}的矩阵是A=a11a12….a1na21a22….a2n

…………….an1an2….ann如果V中向量ξ关于这个基的坐标是(x1,x2,…,xn),而σ(ξ)的坐标是(y1,y2,…yn),那么y1x1

y2x2

┆┆yn

xn

=A

例1令V是数域F上的一个n维向量空间,σ:ξkξ是V的一个位似,那么σ关于V的任意基的矩阵是k0特别V的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵,关于任意基的矩阵是零矩阵.k..0k.命题7.3.3

设数域F上的向量空间V的一个线性变换σ关于V的一个取定的基的矩阵是A,那么σ可逆必要且只要A可逆,并且σ-1关于这个基的矩阵就是A-1.命题7.3.2设V是数域F上一个n维向量空间,{α1,α2,…,αn

}是V的一个基,那么对于V中任意n个向量β1,β2,…βn,恰有V的一个线性变换σ使得σ(αi)=βi,i=1,2,…,n.V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变(或稳定),如果.例题1V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变.定义不变子空间如果子空间W在σ之下不变,那么W就叫做σ的一个不变子空间.例2

令σ是V的一个线性变换,那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不变.

V的任意子空间在任意位似变换之下不变.

令σ是V3中以某一过原点直线L为轴,旋转一个角θ的旋转.那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间,而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间.例3例4设λ是F中一个数,如果存在V中非零向量ξ,使得(1)σ(ξ)=λξ.那么λ就叫做σ的一个本征值,而ξ叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量.本征值和本征向量定义1显然,如果ξ是σ的属于本征值λ的一个本征向量.那么对于任意α∈F,都有σ(αξ)=ασ(ξ)=αλξ=λ(αξ)例1令H是V3的一个过原点的平面,而σ是把V3的每一向量变成这个向量在H上的正射影的线性变换.那么H中每个非零向量都是σ的属于本征值1的本征向量,而过原点与平面H垂直的直线上每一个非零向量都是σ的属于本征值0的本征向量.例2令D表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的向量空间,δ:f(x)f’(x)是求导数运算.δ是D的一个线性变换.对于每一个实数λ,我们有δ(eλx)=λeλx所以任何实数λ都是δ的本征值，而eλx是属于λ的一个本征向量.设A=(aij)是数域F上一个n阶矩阵,行列式:fA(x)=det(xI-A)=叫做矩阵A的特征多项式.定义2

x-a11-a12…-a1n

-a21x-a22…-a2n

…………

-an1-an2…x-ann命题7.5.1

设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换.λ∈F是σ的一个本征值必要且只要λ是σ的特征多项式fσ(x)的一个根.设fA(x)=例3A=abcd,那么x-a-b

-cx-b

=x2-(a+d)x+(cd-bc)=x2-trAx+detA.可以对角化的矩阵设σ是数域F上n(n≥1)维向量空间V的一个线性变换.如果存在V的一个基,使得σ关于这个基的矩阵具有对角形式λ100…0那么就说,σ可以对角化.定义0λ20…0000…λn

…………推论7.6.2

设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换,λ1,…,λt是σ的互不相同的本征值,又设ξi1,…,ξisi是属于本征值λi的线性无关的本征向量,i=1,…,t,那么向量ξ11,…,ξ1s1,…,ξt1,…,ξtst线性无关.命题7.6.1

令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果ξ1,ξ2,…,ξn分别是σ的属于互不相同的本征值λ1,λ2,…,λn的本征向量,那么ξ1,ξ2,…,ξn线性无关.推论7.6.4

令A是数域F上一个n阶矩阵.如果A的特征多项式fA(x)在F内有n个单根,那么存在一个n阶可逆矩阵T,使推论7.6.3

令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换.如果σ的特征多项式fσ(x)在F内有n个单根,那么存在V的一个基,使σ关于这个基的矩阵是对角形式.T-1AT=λ1

00…00λ20…0

…………000…λn推论7.6.6

设A是数域F上的一个n阶矩阵.A可以对角化的充分必要条件是命题7.6.5

令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换,σ可以对角化的充分且必要的条件是⑴σ的特征多项式的根都F内:⑵对于σ的特征多项式的每一个根λ,本征子空间Vλ的维数等于λ的重数.⑴A的特征根都在F内;⑵对于A的每一特征根λ,秩(λI-A)=n–s,这里s是λ的重数.例1矩阵不能对角化,因为A的特征根1是二重根,而秩(I-A)=1.如果一个n阶矩阵A可以对角化,那么存在可逆矩阵T使A=1101T-1AT=λ1

00…00λ20…0

…………000…λn最后等表明,矩阵T的第i列就是A的属于特征根λi的一个特征向量.因此,我们不仅可以写出与A相似的对角形矩阵,而且还可以具体的求出矩阵T.

我们把这种化法归结为以下步骤:1.先求出矩阵A的全部特征根