第6章边界层流动

第6章边界层流动

6.1边界层基本概念

6.1.1边界层流态

6.1.2边界层各特征厚度

6.2二维平面边界层流动

6.3二维曲面边界层流动

6.4二维圆柱滑动轴承润滑

6.5圆柱和圆球绕流阻力6.1边界层基本概念实际流体绕任何形状物体的大雷诺数流动都会在物面附近形成边界层。图6-1所示为空气绕某一翼型的流动，整个流场可分为边界层、边界层脱离翼型物面以后形成的尾流、以及边界层和尾流以外的势流。边界层流动图6-1翼型绕流6.1边界层基本概念6.1.1边界层流态

边界层流动可以是层流或湍流。实际中更一般地是混合边界层，即边界层前缘为层流，经过一过渡区(称为转捩区)后转变为湍流；在湍流区，紧挨物面附近还有一层流底层。图6-2所示为一均匀来流绕过平板一侧所形成的边界层流动。边界层流动图6-2平板边界层流动6.1边界层基本概念在湍流区，若平板表面粗糙度D大于层流底层的厚度dl，则称之为粗糙(表面)平板；否则称为光滑(表面)平板。当层流区的范围很小时，可近似地把整个边界层看成为湍流边界层。为了便于判断边界层的流态，通常假定由层流到湍流的转捩是在某一截面突变完成的，并称此截面为临界截面，它离边界层前缘的距离称为临界长度x*，临界截面边界层的厚度称为临界厚度d*。（图6-2）

边界层流态用临界雷诺数Re*来判断，Re*有两种形式：Rex*=U∞x*/u和Red*=U∞d*/u，对于平板绕流，Rex*=5105~3106，Red*

2800。边界层流态6.1边界层基本概念6.1.2边界层各特征厚度

边界层厚度边界层理论将大雷诺数流动的流场分为粘性区和无粘区两部分，分别称为边界层和主流区，它们的交界面称为边界层(外)边界，并人为地规定边界层边界上流速为主流区的99％(或99.5%),

边界层边界到物面的距离称为边界层厚度d，用数学式表示即有边界层流动边界层未脱离物面的情况下，边界层厚度沿流程是增加的，即在迎流的前缘点为零，然后沿流动方向逐渐增加，到送流的后缘点达到最大。6.1边界层基本概念

边界层位移厚度也称边界层排挤厚度。在边界层内，流速受到壁面的阻滞作用而减小，使通过边界层内的流量比理想流动时减少，这相当于固体壁面沿其法线方向朝流场内移动了一个距离d1后理想流动所通过的流量，这个d1就是边界层位移厚度，如图6-3所示。根据位移厚度d1的定义，对不可压流动有边界层各特征厚度图6-3边界层位移厚度即6.1边界层基本概念

边界层动量厚度与理想流动相比，边界层内流速降低一方面使通过的流体质量减少，另一方面也使通过的流体动量减少。这种动量减小也可以看成是相当于将固体壁面向流场内移动了一个距离d2：

称d2为动量损失厚度，简称动量厚度。边界层的位移厚度与动量厚度之比称为边界层形状因子：

H=d1/d2。即边界层各特征厚度6.1边界层基本概念

边界层能量厚度即边界层能量损失厚度。与理想流体的流动相比，边界层内流速的降低还使流体的动能通量减少。类似于动量厚度，可以定义不可压流动的边界层能量厚度d3：以上定义式表示边界层实际的流量具有的理想流动动能与实际流动动能之差。容易证明，在边界层任一截面，恒有：d>d1>d3>d2。即边界层各特征厚度第6章边界层流动

6.1边界层基本概念

6.2二维平面边界层流动

6.2.1微分方程及其精确解

6.2.2积分方程及其近似解

6.3二维曲面边界层流动

6.4二维圆柱滑动轴承润滑

6.5圆柱和圆球绕流阻力6.2二维平面边界层流动二维平面不可压边界层流动是最简单的一类粘性流动，即便如此也只有极少数情况能通过边界层微分方程求得精确解，大多数情况只能通过边界层积分方程求近似解。6.2.1微分方程及其精确解微分方程在直角坐标系，定常、不可压、不计重力的二维流动N-S方程为边界层流动6.2二维平面边界层流动

根据小粘度二维平面边界层流动的特点——d

<<L以及uy<<ux——对N-S方程中各变量和参数作数量级估计，有量级1的量： dx,dx2;ux,dux,d2ux;p,dp;r

量级e<<1的量：dy;uy,duy,d2uy

量级e

2的量：dy2;u依照以上量级对N-S方程进行简化分析，可得微分方程及其精确解6.2二维平面边界层流动

以上就是二维平面边界层流动的微分方程，由普朗特在1904年首次提出。虽然普朗特边界层微分方程相对N-S方程大为简化，但仍然是非线性的，只能对特殊情况下的某些层流边界层求得精确解。求解边界层微分方程时，首先要得到边界层外部势流的速度，使压强p成为已知量，这样未知量只有ux和uy，由边界层微分方程x分式和连续方程一起构成封闭的求解系。注意：普朗特边界层微分方程不适用于d/x<<1条件得不到满足的边界层前缘部分，该部分对应的雷诺数范围一般为Rex≤25。微分方程及其精确解6.2二维平面边界层流动

微分方程的精确解

应用边界层微分方程解决粘性流动问题的一个最简单的例子，是流体绕顺流放置平板的层流边界层流动，即均匀来流绕过沿平行于流动方向放置的一块薄平板(其厚度假设为零)并在平板一侧附近所产生的流动。微分方程及其精确解图6-4平板层流边界层6.2二维平面边界层流动

微分方程的精确解

如图6-4所示，取平板前缘为直角坐标系的原点，则平板前方未受扰动的均匀来流速度U∞与平板平行。由伯努利方程知，在绕平板流动的势流部分，U=

U∞、dp/dx

=0；而由边界层微分方程知，在边界层中压强沿y方向是均匀分布的，即边界层内任一点处的压强都与同x坐标处边界层外势流的压强相等。微分方程及其精确解图6-4平板层流边界层6.2二维平面边界层流动

在边界层微分方程和连续方程中引入流函数y，则由流函数定义有:∂y/∂x=-uy，∂y/∂y

=ux，连续方程∂ux/∂x

+∂uy/∂y

=0自动满足，边界层微分方程成为微分方程及其精确解图6-4平板层流边界层6.2二维平面边界层流动因为d<<L，相对于边界层厚度而言，平板就是无限长的这样而在边界层流动问题中就找不到一个x方向的特征长度；因此可以设想在任一x断面流速分布都是相似的并可作以下变换微分方程及其精确解将边界层微分方程简化为边界条件h=0:f(h)=f'(h)=0;h=∞:f'(∞)=1。

上式是一个非线性三阶常微分方程，有对应于边界条件的确定解；它由布拉休斯在1908年首次得出并采用幂级数和渐近方法获得精确解。6.2二维平面边界层流动

将f(h)在h

=0处用幂级数展开，有微分方程及其精确解利用内边界条件，上式可简化为一个随h3变化的新级数，即C0=C1=1,C2=11,C3=375,C4=27897,...。

以上随h3变化的幂级数方程仅在h

=0~3区间收敛；在h→∞时不收敛，不能应用边界条件h

=∞：f

’=1来确定幂级数方程的系数A2。6.2二维平面边界层流动

另一方面，设f(h)在h

=∞处的渐近式为f=f1+f2+f3+

(f1>>f2>>f3>>)上式第一个(即一阶)渐近解就是势流解，即f1=h

+bb为积分常数。令f(h)的二阶渐近解为f=f1+f2并代入原常微分方程2f’’’+f’’f=0积分，得微分方程及其精确解g为另一积分常数。

类似还可得三阶渐近解f=f1+f2+f3甚至更高阶渐近解，本问题中仅考虑到二阶。6.2二维平面边界层流动

级数解由边界层靠近壁面向外求解，渐进解则由边界层外的势流向内求解，两种解在边界层内某一点必须匹配，即两种解在这一点的f、f’、f’’值都相等，由此得到A2=0.332,b

=1.72,g

=0.231整个流动问题得解。继布拉休斯之后，其他学者也对二维平面层流边界层流动即方程2f’’’+f’’f=0进行了数值求解，其中霍华斯在1938年得到的结果对照实验具有更好的准确度。根据霍华斯的结果，在h

=5.0处ux

/U

=u

/U

=f’=0.99155，将它作为边界层边界，通过积分可得平板层流边界层各特征量如下——微分方程及其精确解6.2二维平面边界层流动微分方程及其精确解边界层厚度：边界层位移厚度：边界层动量厚度：壁面切应力系数：摩擦阻力系数：t0为壁面切应力、FDf为整个平板受到的力，即6.2二维平面边界层流动以上结果得到试验的证实。图6-5表示顺流放置平板层流边界层的布拉休斯精确解，以及据此绘制的边界层厚度的沿程变化和流速分布。微分方程及其精确解图6-5顺流放置平板层流边界层流动6.2二维平面边界层流动

对于非顺流放置平板的绕流流动，理论指出，只要势流流速U与x坐标(沿平板表面)成幂指数关系：U=C

xm

(C为常数、m为有理数)，边界层微分方程微分方程及其精确解就存在相似性解，这时流速u(x,y)的分布具有这样的性质：如果把任意断面x上的流速分布图形u-y的u和y坐标分别用有关尺度因子变换为量纲一的坐标u0和y0

，则在任何x断面上u0-y0的分布图形都相同。顺流放置平板绕流的精确解只是边界层微分方程相似性解中的一个特例，对应于m=0。6.2二维平面边界层流动6.2.2积分方程及其近似解

积分方程

对定常不可压二维平面边界层流动，取控制体122'1'进行分析，如图6-8所示。在截面1-1'和2-2'上，流体参数分别为边界层流动图6-8平板边界层流动6.2二维平面边界层流动控制体流体在x方向受到的总作用力为整理并忽略高阶小量后，简化为通过控制面进入和离开控制体的流体在x方向的动量分别为1-1'截面：2-2'截面：1'-2'截面：积分方程及其近似解6.2二维平面边界层流动将以上4个式子代入动量方程x分式，就得在上式中代入以下边界条件并整理得由于ux

u，上式两个积分项分别为位移厚度和动量厚度，所以边界层动量积分方程为积分方程及其近似解6.2二维平面边界层流动上式由卡门在1921年根据动量定理首次导出，故又称为卡门动量积分方程，其边界条件为边界层动量积分方程对层流和湍流都适用，对于顺流放置平板的边界层流动则简化为边界层动量积分方程还可由边界层微分方程在边界层内对y进行积分获得。此外，用流速u乘以边界层微分方程中的每一项并对y进行积分，还可得到边界层能量积分方程。积分方程及其近似解6.2二维平面边界层流动

积分方程的近似解边界层动量积分方程中包含壁面切应力t0，边界层位移厚度d1和动量厚度d2三个未知量；由d1和d2的定义式以及壁面边界条件还可以补充三个方程，但又出现另外两个未知量(流速u和边界层厚度d)，因此边界层动量积分方程在数学上是不封闭的，只宜采用近似方法求解。通常的做法是，首先假定某种速度分布，据此算得d1(d)、d2(d)和t0(d)，然后将它们代入边界层动量积分方程，最后通过积分求得边界层厚度d及阻力系数CDf等特征量。上述做法的特点:只在物面及边界层外缘满足边界层微分方程；假设的边界层内流速分布与实际不一定吻合。积分方程及其近似解6.2二维平面边界层流动

1)二维平面层流边界层的近似解

设边界层内流速分布u/U=sin(py/2d)，则有积分方程及其近似解将以上的d2和t0代入边界层动量积分方程，得由上式解得边界层厚度d，并计算其他特征厚度和系数得——6.2二维平面边界层流动微分方程及其精确解边界层厚度：边界层位移厚度：边界层动量厚度：壁面切应力系数：摩擦阻力系数：假设不同的边界层流速分布，得到的边界层各特征厚度和系数也不相同。6.2二维平面边界层流动

2)二维平面湍流边界层的近似解

应用水力光滑圆管湍流的实验成果，可设光滑壁面平板湍流边界层流速分布、壁面切应力分别为积分方程及其近似解就有积分并利用平板前缘点条件x=0:

d

=0，得光滑平板湍流边界层各特征厚度和系数如下——将d2和t0代入边界层动量积分方程，得6.2二维平面边界层流动边界层厚度：边界层位移厚度：边界层动量厚度：壁面切应力系数：摩擦阻力系数：根据试验数据，上面的摩擦阻力系数应修正为积分方程及其近似解6.2二维平面边界层流动在实际中，靠近平板前缘总有一部分是层流边界层，因此摩擦阻力系数计算式须作进一步修正。如图6-9所示，假定层流向湍流的转捩在某一断面突然发生并完成，这样整个平板的阻力就只需将转捩断面之前的那部分湍流阻力代之以层流阻力、其余部分湍流阻力则保持不变。积分方程及其近似解图6-9平板混合边界层6.2二维平面边界层流动

转捩断面前湍流阻力与层流阻力之差为积分方程及其近似解相应摩擦阻力系数之差为所以光滑平板湍流边界层的实际阻力系数为式中的A值与临界雷诺数Re*的对应关系如下表第6章边界层流动

6.1边界层基本概念

6.2二维平面边界层流动

6.3二维曲面边界层流动

6.3.1边界层方程

6.3.2边界层分离

6.3.3层流边界层的卡门-波尔毫森解法

6.3.4湍流边界层的海特近似解法

6.4二维圆柱滑动轴承润滑

6.5圆柱和圆球绕流阻力6.3二维曲面边界层流动

流体绕曲面物体流动时，边界层外势流流速将随曲面曲率的变化而改变，压强也随之变化。分析弯曲壁面附近的边界层流动通常采用随体坐标系，或边界层坐标系。这是一种特殊的正交曲线坐标系，它以壁面前驻点O为原点、以沿壁面指向下游为x坐标、自壁面算起沿壁面外法线为y坐标，图6-11和图6-12分别表示二维曲面和轴对称曲面的随体坐标系。

边界层内任一点的坐标为x=OP0，y=P0P；若Q为P的邻点并且PQ=ds(图6-11)，则ds在过P点的x和y坐标上的投影分别为边界层流动式中，h1、h2分别为坐标x,y的拉梅系数。以R(x)表示曲面在P0点的曲率半径，df表示点P0和Q0处曲率半径间的夹角，则有边界层流动若为轴对称曲面边界层，则R(x)是子午面内壁轮廓线的曲率半径，r(x)为边界层内任意点到对称轴的距离、即回转半径，r0(x)为轴对称曲面上任意点的回转半径。6.3二维曲面边界层流动

边界层流动图6-11二维曲面随体坐标6.3二维曲面边界层流动

边界层流动图6-12轴对称曲面随体坐标

6.3二维曲面边界层流动

6.3.1边界层方程

微分方程

对于定常不可压二维曲面和轴对称曲面边界层流动，采用类似于二维平面边界层流动的量级分析方法，可得相应的微分方程，即边界层流动式中k=0(二维曲面)或k=1(轴对称曲面)。6.3二维曲面边界层流动

二维曲面和轴对称曲面边界层微分方程的边界条件为y=0：u=0；y=∞：u=U边界层外部势流的速度U由理想流体绕同一物面流动的欧拉方程解确定，然后利用伯努利方程得到压强梯度。和二维平面边界层微分方程类似，二维曲面和轴对称曲面边界层微分方程必须满足限制条件uy

/

ux

<<1，δ/L<<1。除此外，还要求R(x)~L、r0

(x)~L，即曲面的曲率半径、回转半径与流动方向的曲面总长度为相同量级。边界层方程6.3二维曲面边界层流动

积分方程

对于二维任意形状物体的绕流，采用边界层坐标后，只要uy/ux

<<1的条件得以满足，就仍可使用卡门动量积分方程：边界层方程二维曲面或轴对称曲面边界层外势流的流速和压强不再是常数，导致在逆压梯度(压强沿流动方向增大)的地方有可能发生边界层分离，这时边界层内的流体在曲面的某些部位脱离曲面，使这部分曲面不再起“导流”作用，引起受粘性影响的流场范围和流动阻力迅速增大。6.3二维曲面边界层流动

6.3.2边界层分离

分离现象

实际流体在绕曲面流动途中，边界层内流体有可能在外部势流区逆压梯度的作用下从曲面某个部位开始脱离曲面，使部分曲面不再起导流作用，这种现象称为边界层分离。边界层从壁面分离后，如果外部势流区的压强梯度改善为顺压梯度或零梯度，则边界层可重回壁面附近，称之为边界层重新附着；例如流体绕顺流放置平板上的一个阶梯流动时，边界层在阶梯后缘发生分离，在经过阶梯后一段距离将重新回附在平板附近。边界层分离将导致受粘性影响的流场范围和流动阻力迅速增大，在实际中通常需要避免边界层发生分离。边界层流动6.3二维曲面边界层流动

图6-13表示实际的二维圆柱绕流流场。如果整个流场均为无粘势流，则流体从圆柱的前缘D至顶点E是加速的、从顶点E至后缘F是减速的。由伯努利方程知，在DE流段压强沿流动方向逐渐减小(dp/dx<0)，称为顺压梯度；在EF流段压强沿流动方向逐渐增大(dp/dx>0)，称为逆压梯度；在圆柱后缘点F压强恢复到前缘点D的数值，即恢复到驻点压强：rU2/2(表压)。实际流动中，圆柱附近为边界层，其中流体因粘性作用而损耗能量，导致在DE流段压能的降低一部分转化为动能，其余则克服粘性阻力而消耗掉；在EF流段，流体动能的降低一部分转化为压能，其余用于克服粘性阻力。边界层分离6.3二维曲面边界层流动

边界层分离图6-13二维圆柱绕流流场示意图

6.3二维曲面边界层流动

在圆柱后缘点F，压强不能恢复到前缘点D的数值，而是在EF流段的某点S处，物面附近的流体动能被消耗怡尽、流速降为零；在S点的下游，外部势流的压强较高，导致流体在逆压梯度的作用下发生回流，将边界层内的来流挤向主流而使边界层脱离壁面、造成分离。S点称为边界层分离点，在分离点下游形成受粘性影响的回流和尾流区，其间满布了大大小小的旋涡，造成较大的能量损失。尾流中压强比无粘流动时低，因此钝形物体绕流形成的压差阻力远大于细长的流线形物体。飞机机翼是典型的流线型物体，其尾部逆压梯度很小，使得分离点很靠近尾部而减小阻力。

边界层分离6.3二维曲面边界层流动

边界层分离前后流速分布

在分离点上游，dp/dx<0、所有u-y图形中u均为正值，且在y=0处有∂u/∂y>0，∂2u/∂y2<0；在分离点下游，dp/dx>0、壁面附近产生流速为负值的回流区，且在y=0处有∂u/∂y<0，∂2u/∂y2>0；在分离点S，壁面上(y=0)有∂u/∂y=0，实际中常根据这一条件(即速度的法向导数在物面为零)来确定分离点位置。分离点处流线与物面形成的角度a与雷诺数有关。分离点下游的粘性流场范围迅速增大，破坏了边界层方程的限制条件：d

<<L，使边界层方程在分离区不再适用。边界层分离后也使粘性流动外势流流场大大偏离了不分离的势流流动。边界层分离6.3二维曲面边界层流动

边界层分离6.3二维曲面边界层流动

图6-14二维曲面边界层分离点上下游的流速分布

边界层分离控制边界层快速增长和分离导致绕流物体的阻力急遽增大，因此实际中需对边界层分离施以控制，常见的工程控制方法包括：

流线型外形设计

飞机机体及机翼、船体、潜艇、车辆、透平叶片等为典型例子。

边界层吸除例如在风洞试验段壁面开设微孔并应用抽吸机将边界层流体吸除。

边界层吹除例如燃气轮机透平的初级叶片一般都采用从叶片内向壁面顺流吹入较冷空气的方法冷却叶片表面、控制边界层增长和分离。另一种边界层吹除方法是在物体上切向开缝，如开缝机翼、多段式风帆。

边界层分离6.3二维曲面边界层流动

壁面冷却对于超声速流动，在一定马赫数范围内使用壁面冷却可以稳定边界层，避免或推迟边界层分离。不管采用哪种边界层控制方法，目的都是防止边界层过度增长和分离，使边界层外的主流更贴近物面而减小压差阻力。层流边界层只能承受很小的正压梯度，紊流边界层可承受大一些的正压梯度。边界层分离6.3二维曲面边界层流动

6.3.3层流边界层的卡门-波尔豪森近似解法

对于流体绕任意二维形状物体运动的层流边界层，微分方程一般不存在相似解，工程上以往采用边界层积分方程求解，如卡门-波尔豪森法，该方法假定边界层流速为四次多项式分布，即

边界层流动式中h=y/d(x),0≤h

≤1。边界条件为

6.3二维曲面边界层流动

应用边界条件确定多项式各系数，并作以下量纲一参数变换卡门

波尔豪森解法得层流边界流速多项式分布的具体形式为L=L(x)为速度分布形状因子，反映压差相对于粘性力的大小。对选定的x断面，L为常数。L和dU/dx的变化主要取决于物面形状。L=0表示平面边界层流动，或者是任意形状二维物体绕流的势流速度达到了最大或最小值断面。6.3二维曲面边界层流动

分析表明，L=-12时，二维曲面定常绕流层流边界层出现分离，边界层积分方程在分离区不再适用；当L>12时，出现u/U>1，显然这是不允许的。因此，L的界限为-12≤L≤12。

在速度分布多项式中引入形状因子L并未增加新的变量，L中的未知量d最终由边界层积分方程的求解而确定。将速度分布多项式代入边界层位移厚度、动量厚度、壁面切应力定义式后进行积分或运算，同时对速度分布形状因子L进行微分，最后应用边界层动量积分方程，就得到二维曲面绕流层流边界层的求解方程组，即卡门波尔豪森解法6.3二维曲面边界层流动

卡门

波尔豪森解法初始截面条件为x

=

0：d

=

0,L=

0(尖前缘)；或x

=

0：U

=

0,L

=

7.052(钝前缘)。6.3二维曲面边界层流动

求解时，首先解得二维曲面物体的势流速度分布U(x)及其一阶导数U’和二阶导数U’’，然后对速度分布因子L的微分方程进行数值求解得到L(x)，再由L的定义式解得d、由L代入速度分布多项式解得u/U，最后由简化后的边界层动量积分方程、边界层的位移厚度式和动量厚度式解得d1、d2和t0，并由限制条件t0=

0(或L=

-12)得到边界层分离点位置xs，至此，整个层流边界层问题得解。卡门波尔豪森解法6.3二维曲面边界层流动

6.3.4湍流边界层的海特近似解法流体绕二维曲面湍流边界层的近似解法属半经验方法，涉及的经验公式多且在不断完善。

海特卷吸法以边界层动量积分方程和卷吸积分式为基本方程。因这2个基本方程是不封闭的，故采用壁面切应力经验公式Cf

=

Cf

(H,Red2)作为补充方程，同时还进一步假定一个卷吸速度分布，其中的也由经验公式给出。以上基本方程和经验公式一起构成数学上封闭的方程组，在给定初值后就能进行数值求解。边界层流动6.3二维曲面边界层流动

卷吸积分关系式

卷吸速度UE是单位时间内通过边界层边界的单位面积从外部势流进入边界层的体积流量，如图6-15所示，图中虚线部分为控制体。由质量守恒易得海特近似解法上式称为卷吸(流量)积分关系式。海特应用的卷吸速度分布以及湍流边界层形状参数的经验公式分别为6.3二维曲面边界层流动

海特近似解法

图6-15湍流边界层的卷吸速度

当地阻力系数经验公式

海特建议采用的当地阻力系数经验公式为6.3二维曲面边界层流动

求解方法

将边界层动量积分方程和卷吸关系式改写成海特近似解法然后进行数值求解。具体步骤为，先求解边界层外部势流得到U(x)，再由给出的初始截面(通常为转捩截面)上的d2和H值开始进行数值积分(例如采用常用的龙格-库塔积分方法进行)，求解，直至Cf

=0、得到分离点位置为止。实际计算表明，分离点出现的位置对应的H值位于1.8和2.8之间。6.3二维曲面边界层流动

第6章边界层流动

6.1边界层基本概念

6.2二维平面边界层流动

6.3二维曲面边界层流动

6.4二维圆柱滑动轴承润滑

6.4.1雷诺润滑方程

6.4.2二维圆柱滑动轴承润滑

6.5圆柱和圆球绕流阻力流体力学6.4二维圆柱滑动轴承润滑

直接接触的固体壁面作相对运动时，因壁面粗糙部分的碰撞及不同壁面材料间的粘合而产生较大摩擦阻力，若不采取润滑措施减小摩擦将引起壁面过快磨损或高温损毁。轴与轴承之间普遍采用润滑来减少摩擦，其中滚动轴承一般采用表面润滑，轴与轴承在运行时仍保持接触；滑动轴承则采用液力润滑，轴与轴承在正常运行时不直接接触。润滑流体同时起减小摩擦和散热的作用。滑动壁面间的液力润滑是依靠流动流体在被润滑面锲形缝隙间产生较大的压强来隔开壁面而实现的，如图6-16所示。边界层流动6.4.1雷诺润滑方程

滑动轴承与轴的壁面形成小角度锲形，当轴的壁面相对于轴承壁面作切向运动时，不断地将润滑油“挤入”收缩的锲形缝隙、产生流体支撑力。如图6-16所示建立二维滑动液力润滑坐标系，并作以下假定——

1)油膜厚度很小：h<<l，因此可不考虑壁面的曲率，周向速度可视为平面速度；2)压强沿油膜厚度方向y不变化、沿纵向x和横向z的变化与y无关，即∂p/∂y=0，∂p/∂x=f1(x,z)，∂p/∂z=f2(x,z)；边界层流动6.4二维圆柱滑动轴承润滑

3)惯性力远小于粘性力，即润滑油膜内为层流，除粘性力和流体压力外不受其他力作用；

4)润滑壁面与油膜之间无滑动；

5)油膜内流速u沿x和z方向的变化很小，即

：∂u/∂x<<∂u/∂y、∂u/∂z<<∂u/∂y；并且uy

0。雷诺润滑方程图6-16锲形缝隙内流体流动6.4二维圆柱滑动轴承润滑

雷诺润滑方程对图6-16所示的锲形缝隙内油膜流动，根据以上假定简化N-S方程，有积分两次并利用边界条件y=0:ux

=U1,uz=W1

和y=h:ux=U2,uz=W2得流速分布为油膜内ux和p沿x方向的变化如图6-17所示。ux由线性和抛物线两部分合成；p先增后减。6.4二维圆柱滑动轴承润滑

雷诺润滑方程图6-17锲形缝隙内ux和p沿x方向的变化6.4二维圆柱滑动轴承润滑

雷诺润滑方程对连续方程沿油膜厚度即y方向积分，有将前面两个流速分布式分别代入上式的积分项并进行积分，就得上式就是雷诺润滑方程，它给出了作相对运动的两个物面形成的锲形小缝隙内流体流动应满足的动力学条件。在给定物面相对运动规律、锲形缝隙高度变化、流体粘度，以及边界条件压强的情况下，可以进行理论求解。6.4二维圆柱滑动轴承润滑

6.4.2二维圆柱滑动轴承润滑图6-18a表示二维圆柱滑动轴承及轴的一个切面。轴以角速度w绕轴心线转动，润滑油在轴与轴承的缝隙中连续流动。轴受载转动时，轴心与轴承中心不重合，二者存在一偏心距e(0≤e≤d)。轴与轴承间缝隙的高度各处不同，转轴不断地把润滑油从缝隙宽的一端“挤入”窄的一端，在此过程产生较大的流体压强“托住”转轴、支承轴的负载。因轴与轴承之间的缝隙高度h远小于轴的直径d，故可把沿圆周方向变化的径向缝隙转换成沿展开平面平行方向的变化，如图6-18b所示。边界层流动6.4二维圆柱滑动轴承润滑

二维圆柱滑动轴承润滑图6-18二维圆柱滑动轴承及轴的切面及展开图6-18b中，下边界代表转轴周线的平面展开、以匀速向右作平移运动，上边界代表轴承周线、静止不动，二边界之间的间隙高度h(x)可从图6-18a中求得，即6.4二维圆柱滑动轴承润滑

忽略滑油流速和压强沿z方向的变化及粘度随温度的变化，并令ux=u,∂p/∂x=dp/dx,U1=U,U2=0，则润滑油膜内流速分布和雷诺润滑公式分别简化为将油膜高度h(x)式代入上式后积分两次就得到二维滑动轴承与轴的缝隙内压强分布，即6.4二维圆柱滑动轴承润滑

二维圆柱滑动轴承润滑雷诺在1886年首先得到二维滑动轴承润滑方程的级数解，后来萨莫费尔德在1904年得到以下被广泛应用的解析解对上式沿周向积分可计算单位轴向长度上由压强产生的承载力F(参数符号见图6-19)可见，滑动轴承与轴的设计参数一定时，其承载力F随润滑油粘度m和转轴周向速度U的增加而增大，其代价则是消耗更大的摩擦功。6.4二维圆柱滑动轴承润滑

二维圆柱滑动轴承润滑图6-19轴表面压力和摩擦力对轴承与轴缝隙内流速分布式进行微分，得作用于轴表面的切应力：6.4二维圆柱滑动轴承润滑

二维圆柱滑动轴承润滑若将摩阻力矩写成干摩擦定律形式，即Mf=f

F

r则润滑摩擦阻力的摩阻系数f为可见f仅与滑动轴承与轴的设计参数有关。对t0沿周向积分就得到作用于单位轴向长度上的摩擦阻力力矩，其大小为6.4二维圆柱滑动轴承润滑

二维圆柱滑动轴承润滑第6章边界层流动

6.1边界层基本概念

6.2二维平面边界层流动

6.3二维曲面边界层流动

6.4二维圆柱滑动轴承润滑

6.5圆柱和圆球绕流阻力

6.5.1圆柱绕流

6.5.2圆球绕流

6.5圆柱和圆球绕流阻力

物体在流体中运动时要受到阻力，通常将这种阻力分为摩擦阻力和压差阻力。前者与流体粘性直接相关，后者与粘性也常有脱不开的关系。此外，物体在流体中作非定常运动时会受到流体惯性引起的非定常阻力；物体在液体中运动时会引起表面波而受到兴波阻力；物体在气体中作超声速运动时会产生气体激波而引起激波阻力；有限翼展机翼在运动时由于端面脱落涡的产生而引起诱导阻力。边界层流动6.5圆柱和圆球绕流