Ch5非线性振动分析

第五讲非线性振动分析非线性系统的定性分析方法的局限性包括相平面法在内的一类非线性系统的分析方法是定性分析方法；定性分析方法一般只能针对自治系统进行分析；定性分析方法不能揭示动态特性参数(频率、振幅)与系统运动之间的关系。非线性系统的定量解析分析方法平均法多尺度法渐近法谐波平衡法摄动法林滋泰德—庞卡莱法定量解析分析方法的局限性研究对象通常为弱非线性系统；非线性项为小量，可视为线性系统的某种摄动，从而基于线性系统解寻求非线性系统的近似解；通常只能针对单自由度系统进行分析求解。平均法常数变易法；参数变易法；慢变振幅法

参考书：J.ASanders，Averagingmethodsinnonlineardynamicalsystems,Springer-Verlag,New-York,1986.1.摄动问题的标准型

(perturbationprobleminthestandardform)摄动问题：无摄动问题：假设该无摄动问题有解析解，且该解与初值有关。因此有定义变换（参数变易法、常数变易法）进行微分得到：对解假设矩阵是满秩的，则有该式被称为“摄动问题的标准型”。由于该式针对的问题过于一般，在应用上并不方便。因此基于这种参数变易法的思想研究一些特殊问题，更具有工程价值。2.伪线性系统的标准型

(Thestandardforminquasi-linearcase)考虑伪线性系统，其中。其无摄动系统可写为且有满维独立解构成的基础矩阵(fundamentalmatrix)为简便起见，选择基础矩阵利用标准的常数变易过程，设我们能得到若矩阵为定常矩阵，则我们有基础矩阵则标准型变为例5.1（慢变振幅法）考虑非线性振动系统其无摄动系统为该无摄动系统的解为则常数变易变换为则该系统的标准摄动方程为例5.2相-幅变换法例5.3（vander

Pol）方程利用相幅变换：，该系统的摄动方程变为其平均矢量场为：则其近似系统为可见通过平均方法，把原来的时变系统分析问题转化为了定常系统的分析问题。例5.4具体研究系统：其平均近似系统为显然，，是两个稳态解。初值为时，系统的解为系统原点；初值为时，为周期解，一般地，该系统的解为系统的解例5.5例5.6反例5.2自激振动徐铭陶，肖明葵，《工程动力学——振动与控制》，机械工业出版社，2004.（4.7节非线性自主振动系统）

海盗船水车蒸汽机车机械表擒纵机构自激振动：

自主地从定常能源汲取能量，以系统状态为调节器，控制能量的交变输入，当输入的能量与耗散的能量达到平衡时，系统维持等副振动，称为自激振动。自激振动的三特征：耗散的振动系统；外部定常能源；状态反馈调节器。自激振动系统的定性与定量分析其平均近似系统为一般地，该系统的解为传输带干摩擦自激振动系统斜波上的被动步行腿式机器人5.3参数振动徐铭陶，肖明葵，《工程动力学——振动与控制》，机械工业出版社，2004.（4.8节线性参数振动系统）参数振动：存在外激励的条件下，由于系统内部参数的周期变化而引起的系统振动。参变系统的一般方程其中，为周期函数。——W.Hill方程，1877年Hill在研究月球运动时建立的.进一步，很多系统可表示为——E.Mathieu方程，1868年研究椭圆薄膜振动时建立的。在某些实际情况下，该方程可简化为参数振动系统的特征：参数振动系统中存在能量的输入与耗散，是非保守系统；参数振动系统为非自治系统(时变系统)；参数振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互作用关系。例：基座振动的倒置单摆

设单摆的长度为，支撑的振动规律