【教案】余弦定理、正弦定理第1课时教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7/7§6.4.3余弦定理、正弦定理(第1课时）一、内容和内容解析内容：余弦定理．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第一章第4节的内容．本节课在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方那么第三边所对的角是锐角.由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”,还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解，求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系，教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析目标：（1）掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，培养数学抽象的核心素养．（2）会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养数学运算的核心素养．（3）借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养．目标解析：（1）用向量的数量积证明余弦定理，充分体现了向量的优势．（2）结合余弦定理的结构特点可以发现余弦定理具有轮换性，因此公式的选择既分散又统一，这也为利用余弦定理解决问题增加了难度．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在余弦定理的教学中，从特殊的三角形的边角特点即勾股定理归纳概括一般三角形的特点是进行数学抽象教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握余弦定理及其推论．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：怎样证明余弦定理是本节课的第一个教学问题．是本节课的重点．解决方案：将用三角形的两边及夹角表示第三边问题用向量表示出来，利用数量积运算得到余弦定理的内容．2．教学问题二：利用余弦定理解决解三角形的问题是本节的第二个教学问题．是本节的难点．解决方案：抓住余弦定理的边角特点，从方程的角度解决问题．基于上述情况，本节课的教学难点定为：掌握余弦定理的综合应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到余弦定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过学生分组探究，合作交流的教学方式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视余弦定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝eq\r(3)km，AC＝1km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.如何计算山脚BC的长度？ 通过实际问题，激发学生的研究兴趣探索交流获得结论[问题1]已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？[问题2]在△ABC中，如果已知边a，b和角C，那么从向量的角度考虑，边c的长度可视为什么？向量eq\o(AB,\s\up6(→))如何用已知边所对应的向量表示？如何求出|eq\o(AB,\s\up6(→))|？[问题3]在△ABC中，已知三条边，如何求出其三个内角？教师1：提出问题1．学生1：根据三角形全等的判断方法可知，这个三角形的大小、形状是完全确定的．教师2：提出问题2．学生2：，所以.同理可证：教师3：总结余弦定理：文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.教师4：提出问题3．学生3：可将余弦定理中的三个公式变形为cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).教师5：总结余弦定理推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).教师6：解三角形定义：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.通过探究，由向量证明余弦定理，提高学生分析问题、概括能力.通过思考，推导余弦定理的推论，提高学生解决问题的能力.典例分析巩固落实1.已知两边及一角解三角形例1.在△ABC中，a＝3eq\r(3)，b＝3，B＝30°，解这个三角形.2.已知三边解三角形例2.在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角.3.判断三角形形状例3.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，试判断△ABC的形状.[课堂练习]1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.2.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于()A．90°B．60°C．120°D．150°教师7：完成例1．学生4：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacosB，即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.当c＝3时，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；当c＝6时，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.教师8：完成例2．学生5：由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).因此c是最大边，其所对角C为最大内角.由余弦定理推论得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9k2＋25k2－49k2,2·3k·5k)＝－eq\f(1,2)，∵0°<C<180°，∴C＝120°，即最大内角为120°.教师9：完成例3．学生6：(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝eq\r(3)，∴(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2eq\r(3)，与①联立，解得bc＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝eq\r(3)，于是a＝b＝c＝eq\r(3)，即△ABC为等边三角形.教师10：布置课堂练习1、2．学生7：完成课堂练习，并核对答案．通过例题的讲解，让学生进一步理解余弦定理，提高学生解决与分析问题的能力.课堂小结升华认知[问题4]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°3．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．4．在△ABC中，内角A