工程流体力学02

第2章流体静力学§2.1作用在流体上的力§2.2

流体平衡微分方程式§2.3

流体静力学基本方程式§2.4

液柱式测压计§2.5

流体在非惯性坐标系中的相对平衡§2.6

静止流体对壁面的压力返回目录研究流体平衡的条件及压强分布规律研究流体与固体间的相互作用及其工程应用静止或平衡状态：相对静止或相对平衡平衡状态：流体相对于地球没有运动流体相对于非惯性坐标系没有运动流体静力学研究的是流体平衡的规律在研究流体平衡时，通常将地球选作惯性坐标系由于处在（相对）静止状态的流体流层之间没有相对运动，因而粘性作用反映不出，故流体静力学所讨论的内容，不论对理想流体，还是实际流体都是适用的。§2.1

作用在流体上的力为了研究流场中流体平衡和运动的规律，必须分析作用在流体上的力。作用在流体上的力按其性质（作用方式）的不同，可分为：表面力：流体分离体以外的物体作用在分离体上的力质量力：某种力场作用在全部质点上的力1.

表面力tnFFtFnA作用在单位面积上的表面力称为应力为：法向应力和切向应力分别为：pn与n的方位不一致，其大小和点的坐标、时间以及作用面的方位有关，即：pn=f(x,y,z,n,t)作用在流体表面上，与作用面的表面面积大小成正比。（压强）（粘滞力）——静止流体或理想流体不存在粘滞力。§2.1

作用在流体上的力2.

质量力常见的质量力有：单位质量力某种力场作用在单位质量流体上的质量力。注意：惯性力是根据达朗贝尔原理虚加在做加速运动物理上的力重力惯性力xyza对于如图所示竖直向下做加速运动的容器，单位质量力三个坐标轴方向的质量力分布为：作用在流体的每一个质点上，与流体质点的质量大小成正比。质量力常以单位质量力来度量的。归纳两点：1、平衡流体内不存在切向应力，表面力即为法向应力（即静压强）；2、绝对平衡流体所受质量力只有重力，相对平衡流体可能受各种质量力的作用。§2.1

作用在流体上的力§2.1作用在流体上的力3.

流体静压强当流体处于静止或相对静止状态时，作用在流体上的力只有法向应力，没有切向应力。此时的法向应力就是沿作用面内法线方向的静压强。用符号p表示，单位为Pa。4.

流体静压强的特性特性一：流体静压强的方向总是垂直指向作用面（沿作用面的内法线方向）证明：依据静止流体的特点，反证法。∴静止流体对容器的静压强恒垂直于器壁。(器壁对流体的压强沿器壁的内法线方向)特性二：静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关，是点的坐标的连续可微函数xyzpxpzpypnxyzABCD如图所示，在静止流体中的点A取一微元四面体，与坐标轴相重合的边长分别为x、y、z，三角形BCD的面积设为S，各微小平面中心点上的压强分别为px、py、pz，单位质量力在三个坐标轴方向上的投影分别为fx、fy、fz。由于流体静止，则作用在四面体上的力平衡，即：§2.1作用在流体上的力证明：微元体法以x坐标轴方向为例，作用在四面体上的力在x方向上的平衡方程为：因为：故上式简化为：让四面体无限缩小到点A，上式第二项为无穷小，可以略去，故得：同理：即：可见，在静止流体中任一点上任意方向的压强相等，是空间坐标的连续函数，即：§2.1作用在流体上的力xyzpxpzpypnxyzABCD§2.2

流体平衡微分方程式1.

流体平衡微分方程式在静止流体中取一边长分别为x、y、z的微小立方体，中心点为a（x,y,z），该点的密度为，静压强为p。作用在立方体上的力在x方向的平衡方程为:——微元体法axzyxyzbcfx§2.2

流体平衡微分方程式以微小立方体的质量xyz除以上式，得a点在x方向的平衡方程：写成矢量形式：上式即为流体平衡微分方程，又称为欧拉平衡微分方程。该式的物理意义为：在静止流体内的任一点上，作用在单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。该方程对不可压缩流体和可压缩流体的静止和相对静止状态都适用，是流体力学的基本方程。密度一定的流体，在已知单位质量力沿各坐标方向的分力，即可获得静压强的分布规律。静压强的全微分此式便于积分。对于各种不同质量力作用下流体内的压强分布规律，均可由它积分得到。得：则：——欧拉平衡微分方程的综合表达式将平衡微分方程的三个表达式分别乘以dx、dy、dz

然后相加§2.2

流体平衡微分方程式2.

综合表达式压强差公式，表明流体静压强的增量取决于单位质量力和坐标增量。对于不可压缩流体，=常数。则有:fx=-(p/x)，fy=-(p/y),

fz=-(p/z)

由于坐标函数-p(x,y,z)与质量力之间存在着上述关系，则称函数-p为质量力的势函数，这样的质量力称为有势质量力。§2.2

流体平衡微分方程式3.

质量力的势函数令p/=-p，因p=p(x,y,z)，则:-p

=-p(x,y,z)则：d(p/)=d（-p）又由综合式有：d（-p）=fxdx+fydy+fzdz写成矢量式有：§2.2

流体平衡微分方程式4.

等压面等压面在流场中压强相等的点组成的面，dp=0，p(x,y,z)=const。等压面的微分方程，表明在静止的流体中作用于任一点的质量力垂直于经过该点的等压面。写成矢量形式：又由综合式则有:例重力场：单位质量力三个分量为——由：

fx=-(p/x)，fy=-(p/y),

fz=-(p/z)

而：

积分有：

——重力场中势函数为单位质量流体具有的重力势能

——等压面的微分方程式

等压面性质：

2.等压面即是等势面；1.等压面与质量力矢量垂直，在重力场中，等压面是水平面；3.两种不相混的平衡液体的分界面必然是等压面。§2.2

流体平衡微分方程式由：等压面的微分方程式：有：积分有：§2.3

流体静力学基本方程式

作用在流体上的质量力与流体所受力场的作用有关，若流体仅受重力场的作用，则作用在流体上的质量力仅为重力，自然界或工程实际中经常遇到的是此类情况。1.

流体静力学基本方程式xyzz2z1p1p212p0o在重力场中，单位质量力只有重力，即：

代入平衡微分方程的综合表达式：方程两边同除以g，得：流体静力学基本方程式，适用于重力作用下静止的不可压缩均质流体。得：

积分得：

*2.

流体静力学基本方程式的物理意义p/(g)

——压强高度或压强水头xzzhpapp0hob如图所示，玻璃管上端抽真空，对于a点和b点，流体力学基本方程式为：§2.3

流体静力学基本方程式z——液体观测点距基准面的高度，称为：位置高度或位置水头。z——又称为单位重量流体的位置势能。由与一段液体柱高度相当p/(g)

——单位重量流体的压强势能即a点与真空的压强差对单位重量流体做的功代表一种能z+p/(g)

——单位重量流体的总势能

方程的物理意义是：在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变。xzzhpapp0hob§2.3

流体静力学基本方程式也称为静能（水）头流体静力学基本方程式：计示静水头线§2.3

重力场中流体的平衡3.

流体静力学基本方程式的几何意义z——位置水头p/(g)——压强水头z+p/(g)——静水头z1z2AA1p1p22p0z1z2A’A’1p1p22p0pa完全真空静水头线积分常数根据自由表面上的边界条件确定：

4.

重力作用下静止液体内的静压力分布xyzz0zp0oh所以任意坐标z处的压强为：在重力作用下静止有自由表面的不可压缩流体中，静压强由两部分组成：自由表面上的压强p0淹没深度为h、密度为的流体柱产生的压强gh帕斯卡原理：自由液面上的压强将以同样的大小传递到液体内部的任意点上§2.3

重力场中流体的平衡静力学基本方程式变形：

——反映压强分布规律

上面两式均称为流体静力学的基本方程式。总结：适用于平衡状态下的不可压缩匀质重力流体。对于可压缩流体是不适用的。§2.3

重力场中流体的平衡若流场中的温度处处相等（例大气等温层），积分上式§2.3

重力场中流体的平衡5.

可压缩流体中的压强分布可压缩流体的密度将随着压力、温度的变化而变化，对完全气体，其变化规律符合状态方程，即：在重力场中，单位质量力只有重力，即：

上两式代入平衡微分方程的综合表达式：则可得：且取z=z0时，p=p0——等温可压缩流体的压强分布规律。大气对流层的流场不等温，其温度梯度为T=Ta-βz§2.3

重力场中流体的平衡则：在重力场中，单位质量力只有重力，即：

上两式代入平衡微分方程的综合表达式：从海平面至任意高度z积分,得：1.

绝对压强、计示压强、真空和真空度绝对压强以完全真空为基准计量的压强，如p=pa+gh

中的p。计示压强（相对压强，表压强）以当地大气压强为基准计量的压强，如pe=p-pa=gh

中的pe。真空当流体的绝对压强低于大气压强时，该区域处于真空。计示压强为负值时，负计示压强用真空度表示，即：pv=-pe=pa-p真空度ppepvpp=0papp<pap>pa§2.4

液柱式测压计

物理学中一般用绝对压强去计量压强。工程技术中大都用相对压强去计量压强。这是由于工程技术中用以测量压强的仪表，都与大气相通，（如U形管测压计），因而实际测量的就是绝对压强与大气压强之差。2.

液柱式测压计测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上端开口与大气相通。测压管hp0ppahpap§2.4

液柱式测压计都为相对压强U形管测压计这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的U形玻璃管。测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大气相通，U形管内装有密度ρ2大于被测流体密度ρ1的液体工作介质，如酒精、水、四氯化碳和水银等。一定要注意，工作介质不能与被测流体相互掺混。h1h2pap1122由于1和2点在同一流体的等压面上，故：故有：其中：被测液体的压强高于大气压强§2.4

液柱式测压计被测液体的压强低于大气压强h1h2pap1122§2.4

液柱式测压计当被测流体是气体时，气体的ρ1很小，ρ1gh1这一项可忽略不计U形管压差计hh2h1B11A212由于1、2两点在同一等压面上，故有：A、B两点的压强差为：若被测流体为气体，由于气体的密度很小，1gh可以忽略不计。§2.4

液柱式测压计倾斜式微压计用于测量气体的压强，测量精度较高，可测较微小的压强和压强差。A2A1paphhl00两液面的高度差为：所测的压强差为：§2.4

液柱式测压计例题1h1h2h3h4h511223344BBA1123已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，1=1000kg/m3，2=800kg/m3，3=13598kg/m3，求A、B两点的压强差。解：图中1-1、2-2、3-3均为等压面，可以逐个写出有关点的静压强为：联立求解得：A、B两点的压强差为：§2.4

液柱式测压计F2F1hped1d2aa例题2两圆筒用管子连接，内充水银。第一个圆筒直径d1=45cm，活塞上受力F1=3197N，密封气体的计示压强pe=9810Pa；第二圆筒直径d2=30cm，活塞上受力F2=4945.5N，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时两活塞的高度差h。（已知水银密度=13600kg/m3)。解：在F1、F2作用下，活塞底面产生的压强分别为：图中a-a为等压面第一圆筒上部是计示压强，第二圆筒上部的大气压强不必计入，故有：§2.4

液柱式测压计如图，有一直径d=12cm的圆柱体，其重量W=520N，在力F=588N的作用下，当淹深h=0.5m处于静止状态，求测压管中水柱的高度H。§2.4

液柱式测压计例题3解：圆柱体底面上各点上所受的压强：而则练习1如图所示的测压装置，假设容器A中水面上的表压强pg=2.45×104N/m2,h1=200mm，h2=100mm，h3=300mm,水的密度ρ1=1000kg/m3,乙醇的密度ρ2=800kg/m3，水银的密度ρ3=13612kg/m3。试求B容器中空气的压强p(h=500mm)§2.4

液柱式测压计§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡静止或平衡状态流体压强分布规律流体静力学基本方程式作用在流体上的力表面力质量力静止或平衡状态流体(静止或平衡状态流体:)流体平衡微分方程式压强分布及等压面形状§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡1.等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡单位质量液体上的质量力沿坐标轴的分量为：积分上式得：根据边界条件：x=0，y=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有：水平等加速直线运动容器中液体静压强的分布规律流体静压强的分布规律ayz

p0xg-afo代入平衡微分方程的综合表达式：得：等加速水平直线运动容器中液体等压面积分上式得：等压面方程，不同的积分常数C1代表不同的等压面。等压面与水平面之间的夹角为：§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡将dp=0代入得：以（xs，ys，zs）表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：ayz

p0xoh等加速直线运动容器中，液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为的液柱产生的压强gh之和。有：如果y坐标都相同，对于液面内任意一点，即,由,将上式代入静压强分布规律，得：等加速水平直线运动容器中液体的压强分布表述二：表述一：——表述二§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡2.

等角速旋转容器中液体的相对平衡作用在半径为r处的液体质点上的单位质量力沿坐标轴的分量为：流体静压强的分布规律得：积分上式得：yxyoo2r2y2xhzp0r§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡代入平衡微分方程的综合表达式：根据边界条件：r=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有：等角速旋转容器中液体静压强的分布规律等角速旋转容器中液体的等压面积分上式得：等压面方程，是以z轴为旋转轴的旋转抛物面方程，不同的积分常数C1代表不同的等压面。§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡yxyoo2r2y2xhzp0r将dp=0代入得：以下标s表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律

可得自由液面的方程为：§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡yxyoo2r2y2xhzp0r如果考察的是相同半径r处的情况，液面下任一点处，即r=rs，将上式代入静压强分布规律表述一得：上式表明，等角速旋转容器中液体相对平衡时，液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为的液柱产生的压强gh之和。§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡等角速旋转容器中液体的压强分布表述二：表述一：由:有:yxyoo2r2y2xhzp0r3.

两个特例特例一：顶盖中心开口的旋转容器得：根据边界条件：r=0，z=0时p=pa，代入上式得积分常数C=pa，故有：作用在顶盖上的计示压强为：§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡代入平衡微分方程的综合表达式：zoRpa特例二：顶盖边缘开口的旋转容器得：根据边界条件：r=R，z=0时p=pa，代入上式得C=pa-2R2/2，故有：作用在顶盖上的真空度（计示压强）为：zoRpa代入平衡微分方程的综合表达式：§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡例题1h2h1Lazyo汽车上有一与水平运动方向平行放置的内充液体的U形管，已知L=0.5m，加速度a=0.5m/s2，试求U形管外侧的液面高度差。解：质量力在坐标轴方向的分量为：在y=0，z=0处，p=pa求得C=pa，即：在y=-L，z=h1-h2处，p=pa，代入上式得：即：§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡代入

并积分得：例题1汽车上有一与水平运动方向平行放置的内充液体的U形管，已知L=0.5m，加速度a=0.5m/s2，试求U形管外侧的液面高度差。§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡解二：由：有：h2h1Laoa水车沿直线等加速行驶，长3m，宽1.5m，高1.8m。盛水深度1.2m，问试使水不溢出，加速度a允许值是多少？解：由自由液面方程所以：§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡例题2例题2圆筒形容器的直径d=300mm，高H=500mm，容器内水深h1=300mm，容器绕中心轴等角速旋转，试确定（1）水正好不溢出时的转速n1；（2）旋转抛物面的顶点恰好触及底部时的转速n2；（3）容器停止旋转后静水的深度。dh1Hz解：设坐标原点始终位于凹液面的最低点。当水恰好触及容器口时，自由液面所包容的体积等于原来无水部分的体积，即：其中：所以：§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡当自由液面形成的抛物面恰好触及容器底部时，抛物面所包容的体积正好为容器体积的一半，此时：当容器停止转动时容器中水的高度为：§2.5

液体在非惯性坐标系中的相对平衡dh2Hz§2.6

静止流体对壁面的压力1.

作用在倾斜平面上的总压力液体作用在平面上的总压力是作用于平面各点上的平行力系的合力。通常情况下要研究的工程设备都处于大气环境中，壁面两侧都受到大气压强的作用，因此只需按静止液体的计示压强去计算总压力。xypaohhChDdFpdFxxCxDdACDA总压力的大小和方向在平面上取一微元面积dA，其中心的淹没深度为h，到oy轴的距离为x，液体作用在该微元面积上的微元总压力为：在平面上积分上式，可得液体作用在平面上的总压力：上式中，为平面对oy轴的面积矩，xc为平面形心的x坐标，故：液体作用在平面上的总压力等于以该平面为底、平面形心的淹没深度为高的柱体内液体的重量，并垂直指向平面。四个容器底面上的总压力相等§2.6

静止流体对壁面的压力总压力的作用点总压力P对ox轴的力矩等于各微元总压力对ox轴的力矩的代数和，即：式中，为面积A对ox轴的惯性矩，故有：根据惯性矩平行移轴定理Ix=Icx+yc2A(Icx为面积A对通过其形心并平行于ox轴的坐标轴的惯性矩），代入上式，得：§2.6

静止流体对壁面的压力PDyDdPhdAy由于Icx/(ycA)恒为正值，故yD>yc,即压力中心永远在平面形心的下方。结论平面上静水总压力大小等于作用面（平面图形）形心C处的压强pC

乘上作用面的面积A

.2.平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静

压强分布是不均匀的，浸没在液面下越深处压强越大，所以总压力作用点位于作用面形心以下且与受压面倾角q无关。§2.6

静止流体对壁面的压力例题1一矩形闸门宽度为b，两侧均受到密度为的液体的作用，两侧液体深度分别为h1、h2，试求作用在闸门上的液体总压力和压力中心。h1h2xDxD1xD2F2F1Foyxb解：对于闸门左侧同理，对于闸门右侧§2.6

静止流体对壁面的压力两侧总压力的合力为：方向向右。设合力F的作用点的淹没深度为xD，根据合力矩定理，对oy轴取矩，有：合力作用点的y坐标为b/2。§2.6

静止流体对壁面的压力压力大小：

特例受压平面为矩形，且有一对边平行于液面时流体静压力分析§2.6

静止流体对壁面的压力压力中心离底边的距离为矩形闸门b×h＝1m×0.5m，h0＝2m，开启闸门的锁链与水面成45°角。求开启闸门所需拉力T为多大？压力中心D距B点的距离为由例题2§2.6

静止流体对壁面的压力解：一块矩形平板闸门可绕轴A转动，如图。已知θ=60˚，H=6m,h=2m,h1=1.5m,不计闸门自重以及摩擦力，求开启单位宽度的闸门所需的提升力FT。练习§2.6

静止流体对壁面的压力2.

静止液体作用在曲面上的总压力总压力的大小作用在曲面不同点的静压强的大小和方向都不同，组成一空间力系。在静止液体中有一二维曲面，面积为A，它的母线与oy轴平行，它在oxz平面上的投影为曲线ab。在淹没深度为h的地方取一微元面积dA，则液体作用在该微元面积上的微元总压力为：abdAAxAzxzhcxhopadFpdFpxdFpdFpzdAdAxdAz微元总压力在坐标轴上的投影为：§2.6

静止流体对壁面的压力总压力的水平分力令式中，Ax是曲面A沿x轴对oyz平面的投影面积，hcx为Ax的形心淹没深度。故上式成为：静止液体作用在曲面上的总压力沿x方向的水平分力等于液体作用在该曲面的投影面积Ax上的总压力，作用点在Ax的压力中心。hnPxAxxzyA§2.6

静止流体对壁面的压力总压力的垂直分力令Vp为曲面上的液体体积，称为压力体。静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于曲面上压力体的液体重量，其作用线通过压力体的中心故上式成为：§2.6

静止流体对壁面的压力总压力与垂线之间的夹角为：并指向曲面。总压力的水平分力Fpx的作用线通过Ax的压力中心指向受压面，垂直分力Fpz的作用线通过压力体的重心指向受压面，故总压力的作用线一定通过这两条作用线的交点并与垂线成角。§2.6

静止流体对壁面的压力总压力的大小总压力的作用方向总压力的作用点3.压力体由受压曲面、曲面边缘向自由液面所作的垂直面以及自由液面或自由液面的延长面所组成的封闭体。实压力体液体在曲面上面，压力体充满液体，垂直分力方向向下。虚压力体液体在曲面下面，压力体是空的，垂直分力方向向上。FpzFpzFpz§2.6

静止流体对壁面的压力

压力体是一个纯数学的概念，是一个由积分式所确定的纯几何体，与这个