正余弦定理知识点及题型归纳

解三角形正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1)a=2RsinA(2)b=2RsinB(3)c=2RsinC2.(1)sinA=a/2R(2)sinB=b/2R(3)sinC=c/2R3.a：b：c=sinA：sinB:sinC二．余弦定理：1.a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA2.b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB3.c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1.cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)2.cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)3.cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c）余弦定理和正弦定理的面积公式S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）推断三角形的形态有两种途径：将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a,b和B.（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b=√6，A=45°，求边长C（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求角A，角C和边a.例四：在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积是

例五.推断三角形的形态（1）正弦定理推断在△ABC中，若a2tanB＝b2tanA，试推断△ABC的形态．（2）余弦定理推断在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试推断三角形的形态．例六推断解得个数不解三角形，推断下列三角形的解的个数：

（1）a=5,b=4,A=120度（2）a=7,b=14,A=150度

（3）a=9,b=10,A=60度

（4）c=50,b=72,C=135度考试类型一,求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线,角平分线,中线)及周长等基本问题．1,中，，BC＝3，则的周长为（）A．B．C．D．2,在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．3,在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定4,在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（A）（B）（C）（D）5,在中，a=15,b=10,A=60°，则=A－BC－D6,在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。7, 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.8,在锐角中，则的值等于，的取值范围为.9,△中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.二,推断三角形的形态：给出三角形中的三角关系式，推断此三角形的形态．1,在中，已知，则肯定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形2,18.若△的三个内角满意，则△（A）肯定是锐角三角形.（B）肯定是直角三角形.（C）肯定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.三,解决与面积有关问题：主要是利用正,余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1,在中，若，，，则的面积S＝_________四,求值问题1,在中，所对的边长分别为，设满意条件和，求和的值．2,在锐角三角形ABC，A,B,C的对边分别为a,b,c，，则=_________。3,在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.五,正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量,航海,几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：图1AB图1ABCD1,如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A,B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。（二.）遇险问题西北南东ABC30西北南东ABC30°15°图2图3A