第四章随机变量的数字特征1

第四章随机变量的数字特征

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度

平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.

由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数

r.v.的平均取值——数学期望

r.v.取值平均偏离均值的情况

——方差描述两r.v.间的某种关系的数

——协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写1、概念的引入：我们先看一个实例.引例

某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？我们先观察小张100天的生产情况§4.1随机变量的数学期望若统计100天,

32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？（假定小张每天至多出现三件废品）可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)

一般来说,若统计n天,这是以频率为权的加权平均

当N很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X

的平均值.设X为离散r.v.,分布律为若无穷级数数学期望的定义绝对收敛,则称其和为X的离散型数学期望,记作E(X),即§4.1随机变量的数学期望数学期望的本质——加权平均它是一个数不再是r.v.例1设r.vX的分布律如下表,求E(X)

.XP-13解甲乙两人赌博，甲赢的概率为，输的概率为，甲每赢一次可从乙处得3元，而每输一次，要给乙1元，则甲平均每次可赢元。期望：每个赌徒参加赌博时，心中要盘算的数字§4.1随机变量的数学期望到站时刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/52/52/5一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.例2

按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：

X1030507090

连续型随机变量的数学期望

设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0<x1<x2<…,则X落在小区间[xi,xi+1)的概率是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为

由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.这正是的渐近和式.近似,因此X与以概率取值xi的离散型r.v

该离散型r.v的数学期望是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为设连续r.v.X的d.f.为.若广义积分数学期望，记作E(X),即连续型绝对收敛,则称此积分为X的§4.1随机变量的数学期望例3设X的概率密度为：求E(X).解:注意不是所有的r.v.都存在数学期望例如：设r.v.X的密度函数为因发散故它的数学期望不存在!柯西(Cauchy)分布柯西

Augustin-LouisCauchy1789-1857法国数学家§4.1随机变量的数学期望设离散

r.v.X

的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则设连续

r.v.的d.f.为f(x)绝对收敛,则若广义积分r.v.函数Y=g(X)的数学期望§4.1随机变量的数学期望例4 设离散型随机向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期望.X0

−11

E(Z)=g(0)0.5+g(-1)0.25+g(1)0.25解:=0.5注:这里的

例5

设X~

U[0,],Y=sinX,求E(Y).解:X的概率密度为所以设离散r.v.(X,Y)的概率分布为Z=g(X,Y),绝对收敛,则若级数设连续r.v.(X,Y)的联合d.f.为f(x,y)

，绝对收敛,则若广义积分Z=g(X,Y),§4.1随机变量的数学期望例6

设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:=4.25注:这里的例7例7

E(C)=C

E(aX

)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).数学期望的性质常数§4.1随机变量的数学期望

E(C)=C

E(aX

)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).数学期望的性质常数性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y

不一定独立注§4.1随机变量的数学期望反例XYpij-101-1010p•jpi•XY

P

-101§4.1随机变量的数学期望例8性质2和3性质4 设E(X)=10，E(Y

)

=3，且X与Y相互独立，求E(3X＋2XY－Y＋5).解：五、数学期望性质的应用例9一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立)按题意

本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.例10

设二维r.v.(X,Y)的d.f.为求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X).解

§4.1随机变量的数学期望由数学期望性质X,Y独立§4.1随机变量的数学期望r.v.函数Y=g(X)的数学期望Z=g(X,Y),小结

E(C)=C

E(aX

)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).数学期望的性质常数性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y

不一定独立注§4.1随机变量的数学期望例8性质2和3性质4 设E(X)=10，E(Y

)

=3，且X与Y相互独立，求E(3X＋2XY－Y＋5).解：五、数学期望性质的应用例9一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立)按题意

本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.思考将4个不同色的球随机放入4个盒子中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的数学期望.解一设X为空盒子数,则X的概率分布为XP0123§4.1随机变量的数学期望解二

引入

Xi,i=1,2,3,4Xi

P10一个随机变量分解为多个随机变量的和§4.1随机变量的数学期望例10

设二维r.v.(X,Y)的d.f.为求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X).解

§4.1随机变量的数学期望由数学期望性质X,Y独立§4.1随机变量的数学期望设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)~N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：问平均直径

为何值时,销售一个零件的平均利润最大？(P.122习题四15题)应用应用4解即可以验证，零件的平均利润最大.故时,销售一个几个重要的r.v.函数的数学期望—X的k阶原点矩—X的k阶绝对原点矩—X的k阶中心矩—X的方差[附录]—X,Y的k+l阶混合原点矩—X,Y的k+l阶混合中心矩—X,Y的二阶原点矩—X,Y的二阶混合中心矩

X,Y的协方差—X,Y的相关系数§4.1随机变量的数学期望柯西Augustin-Louis

Cauchy

1789-1857柯西法国数学家柯西简介法国数学家27岁当选法国科学院院士早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这一直是几何学中一个精彩的结果.在概率论中他给出了有名的柯西分布.然而他一生中最重要的数学贡献在另外三个领域：微积分学、复变函数和微分方程.柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础.在这三个领域中我们常常能见到以柯西名字命名的定理、公式和方程等:柯西积分定理;柯西积分公式;柯西-黎曼方程;柯西判别法则;柯西不等式;柯西初值问题《微积分在几何上的应用》1826年柯西的著作大多是急就章，但都朴实无华，有思想,有创见.他所发现和创立的定理和公式,往往是一些最简单、最基本的事实.因而，他的数学成就影响广泛，意义深远.柯西是一位多产的数学家，一生共发表论文800余篇，著书7本.《柯西全集》共有27卷，其中最重要的为：《分析教程》1821年《无穷小分析教程概论》1823年若

X服从柯西(Cauchy)分布,其p.d.f.为简记

X~C()分布,§4.2方差

方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.引例有两批灯泡,其平均寿命都是

E(X)=1000小时.

概念的引入引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？解

首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.3有五个不同数有四个不同数再比较稳定程度甲：乙：§4.2方差

进一步比较平均偏离平均值的程度甲乙

E[X-E(X)]2乙比甲技术稳定，故乙技术较好.§4.2方差

若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机变量X称为X的均方差或标准差.

方差概念定义

即D(X)=E[X-E(X)]2

的方差,记为D(X)或Var(X)

两者量纲相同

§4.2方差

方差D(X)是一个非负实数，常用来体现随机变量X取值分散程度的量,它反映了X偏离其数学期望的程度.

如果D(X)值大,表示X取值越分散,以E(X)作为随机变量的代表性差;

(小)(集中)(好).

方差的意义

方差的计算r.v.函数Y=g(X)的数学期望若X为连续型r.v.，概率密度为f(x)§4.2方差

若X为离散型r.v.，分布律为

方差的计算(1)利用定义计算

(2)利用公式计算

证解例1于是练习：(1)设r.vX的分布律如下表,求D(X)

.XP-13(2)设随机变量X的密度函数为求D(X).证(1)设C是常数,则有(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有证

方差的性质(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证推广(4)

D(X)=0的充要条件是X依概率1取常数。例3

已知随机变量X的数学期望E(X)=2.4,方差

D(X)=1.44,则X2的数学期望E(X2)=()7.2例4已知随机变量X的数学期望和方差均为2，求随机变量Z=3X-2的期望和方差E(Z),D(Z).解：E(Z)=3E(X)-2=4D(Z)=9D(X)=18练习解求例5对此题，有事实上，一般地，若X与Y相互独立，则证明请同学们自己完成.注切比谢夫不等式

契比雪夫不等式或得证明取连续型随机变量的情况来证明.切比谢夫不等式的意义：1º给出了在X的分布未知的情形下，估计概率的方法；2º说明了D(X)的确刻划了X对E(X)的偏离程度，由可知：D(X)越小(X偏离E(X)程度越小)，这表明：X取值越集中在E(X)附近.3º它是大数定理的理论基础.注已知正常男性成人血液中，每一毫升所含白细胞数的平均数是7300，均方差是700，试利用切比谢夫不等式估计：每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率p.解设X:每毫升血液中含白细胞数.依题意，有例5若X为连续型r.v.，概率密度为f(x)§4.2方差

若X为离散型r.v.，分布律为

方差的计算(1)利用定义计算

小结：(2)利用公式计算

方差的性质(1)设C是常数,则有(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则(4)

D(X)=0的充要条件是X依概率1取常数。PafnutyChebyshevBorn:16May1821inOkatovo,Russia

Died:8Dec1894inStPetersburg,Russia契比雪夫资料复习1.方差定义2.方差的计算公式3.方差的性质4.契比雪夫不等式已知随机变量X的分布律为则有1.两点分布§4.3常见分布的期望与方差则有设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为2.二项分布则有3.泊松分布所以则有4.均匀分布结论

均匀分布的数学期望位于区间的中点.则有5.正态分布xyOxyO则有6.指数分布若

X

服从指数分布，其密度函数为>0为常数指数分布的期望和方差分别为重要概率分布的方差——表格分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布几何分布与标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为X的标准化随机变量.显然，仅知r.v.的期望与方差并不能确定其分布P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025例如有相同的期望方差但是分布却不相同§4.2方差

例12已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,

Y=1–2X,求Y的密度函数.解在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.§4.2方差

1、引入背景二维随机变量(X,Y)的相互关系如何描述？n维变量间的关系举例：（1）不同地区气温间的关系；（2）人的身高、体重间的关系；（3）不同股票收益率间的关系；（4）公司经营业绩与资本结构间的关系。协方差§4.4协方差和相关系数回忆设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证协方差

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y)，即

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义协方差⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.简单性质⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数3.协方差的计算Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

若(X,Y)为离散型，若(X,Y)为连续型，

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即4.随机变量和(差)的方差与协方差的关系D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)求cov(X,Y)10pqXP10pqYP例1已知X,Y的联合分布为XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP§4.4协方差和相关系数分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布几何分布复习X的标准化随机变量§4.2方差

复习复习Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.简单性质⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数Cov(X,X)=D(X)4.随机变量和(差)的方差与协方差的关系D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)3.协方差的计算

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

从协方差的定义可以看出，它是X的偏差“X-E(X)”与Y的偏差“Y-E(Y)”乘积的数学期望。由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可为0.

Cov(X,Y)>0时，两个偏差“X-E(X)”与“Y-E(Y)”同时增加或同时减小，即X与Y同时增加或同时减小；

Cov(X,Y)<0时，X增加Y减小或X增加Y减小；Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}协方差的数值虽然在一定程度上反映了X