线性代数-课程学习必备教材

线性代数专题课一、重点和难点行列式的性质及其计算矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩阵相似对角化n维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量组的极大线性无关组齐次、非齐次线性方程组解的结构用正交变换化二次型为标准型二、行列式1

n阶行列式的定义或其中为排列的逆序数.2

n阶行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.即.性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零.性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质4

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．3行列式按行和列展开余子式与代数余子式记作.划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，在阶行列式中，把元素所在的第行和第列叫做元素的代数余子式．记关于代数余子式的重要性质当当当当当当4Cramer法则在线性方程组中若常数项不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组；若常数项全为零，则称此方程组为齐次线性方程组.如果线性方程组的系数行列式则线性方程组一定有解,且解是唯一的.如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.5行列式的求法1）、定义法2）、展开法3）、加边法4）、拆分法5）、递推法6）、三角法7）、Laplace展开定理9）、综合法8）、Vandermonde行列式10）、降阶法（略）11）、定义证明证明12）、数学归纳法三、矩阵1、矩阵的定义定义）排成的行列的矩形数表，称为数域由数域中的个数（记作：中的一个矩阵.F注：实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、ｎ阶方阵、方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等.2、几种特殊的矩阵零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、行最简形矩阵、标准形3、矩阵的运算1）、加法注意:只有同型矩阵才能进行加法运算.若规定2）、数乘若规定3）、乘法若规定其中4）、幂规定若注：1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.2、ｋ只能是正整数.

把矩阵Ａ的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做Ａ的转置矩阵，记作.5）、转置设Ａ为ｎ阶方阵，若，即，那么Ａ称为对称矩阵.设Ａ为ｎ阶方阵，若，即，那么Ａ称为反对称矩阵.行列式的各个元素的代数余子式所构成矩阵的转置.７）、伴随矩阵记作８)、共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.6）、方阵的行列式行列式（各元素的位置不变）叫做方阵Ａ的行列式.记作由ｎ阶方阵Ａ的元素所构成的4、逆矩阵的概念和性质使得的逆矩阵记作1)、定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，则称矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.定理1若矩阵可逆，则定理2矩阵可逆的充要条件是，且其中为矩阵的伴随矩阵.2)、性质5、矩阵的分块及运算规则对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.分块对角矩阵都是方阵.1）2）3）若则有若，则有分块对角矩阵的性质：4）若则均为可逆方阵.5）若则6、矩阵的初等变换（ElementaryTransformation）1）、定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换.（1）互换两行：（2）数乘某行：（3）倍加某行：同理，把换成可定义矩阵的初等列变换.ERTECT定义矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换．ET定义经过有限次初等变换变成矩阵，如果矩阵就称矩阵，记作等价关系的性质：反身性、对称性、传递性.2）、初等矩阵的概念相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵.定义就称为初等矩阵.１、对调２、数乘３、倍加7、矩阵的秩定义（1）（2）则称为矩阵的最高阶非零子式.记为或.最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，，则称定义阶方阵，为满秩阵.定义，则称为行满秩阵；，则称为列满秩阵；，则称为降秩阵.定义所有与Ａ等价的矩阵的集合称为一个等价类.8、初等矩阵的应用1）、求逆2）、求方程矩阵方程解9、方阵的特征值与特征向量定义Ａ为ｎ阶方阵，λ为数，为ｎ维非零向量，若则λ称为Ａ的特征值，称为Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组①特征向量，特征值问题只针对于方阵；有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．定义称以λ为未知数的一元ｎ次方程为Ａ的特征方程．定义称以λ为变量的一元ｎ次多项式为Ａ的特征多项式．定理设ｎ阶方阵的特征值为则Ａ的特征值与特征向量的求法(1)由特征方程求出矩阵Ａ的全部特征值1,2,…,n，其中r重根对应Ａ的r个数值相同的特征根。(2)把特征值代入(I-Ａ)X=0，求其特征向量。10、矩阵相似对角化1）

定义设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，使得则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵Ａ与Ｂ相似．称为对Ａ进行相似变换，对Ａ进行运算可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．记作：Ａ∽Ｂ．2）

矩阵相似对角化若能寻得相似变换矩阵Ｐ使对ｎ阶方阵Ａ，称之为把方阵Ａ对角化．Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值；是Ａ的ｎ个线性无关的特征向量。四、ｎ维向量空间１）、定义ｎ个数组成的有序数组称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量（坐标）.记作ｎ维向量写成一行称为行向量，记作ｎ维向量写成一列称为列向量，２）、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.３）、矩阵与向量的关系１、ｎ维向量

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．５）、向量组６）、向量空间设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称集合Ｖ为向量空间.４）、向量的运算向量的运算采用与矩阵相同的运算规律.2、向量的线性相关性1）、基本概念定义Ⅰ

给定向量组，对于任何一组数，称向量为向量组的一个线性组合（LinearCombination）.为组合的组合系数(CombinationCoefficient).定义Ⅱ

设向量组及向量β有关系则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ线性表示（LinearExpression）.称为β在该线性组合下的组合系数.定义Ⅲ设两向量组若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示，则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示.若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.定义Ⅳ

设ｎ维向量组为零的数，使得则称向量组，如果存在不全线性相关(LinearDependent).反之，若当且仅当，才有则称向量组线性无关(LinearIndependent).即存在矩阵3、向量组的秩１)、极大线性无关组②线性相关.若满足：设是一个向量组，它的某一个部分组２)、向量组的秩向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩．记作：Ｒ(Ａ)

或①线性无关；则称为Ａ的一个极大线性无关组.３)、向量组的秩与矩阵的秩的关系定义矩阵Ａ的列向量组的秩称为列秩，记为：Ａ的行向量组的秩称为行秩，记为：定理结论①，则所在行（列）向量组线性无关.②，则Ａ的任ｒ行（列）向量组线性相关.③，且含有的，则.定理有相同的线性关系.相同的线性关系是指：已知ｎ维列向量组若对Ａ施行初等行变换把Ａ化为则向量组①线性表示，且表达式的系数对应相同.②线性表示，对应的③极大无关组相对应.4、向量空间1)定义②线性相关.若满足：设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，记作：dimＶ.①线性无关；则称为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数.且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.2)向量空间的坐标设为向量空间Ｖ的一个基，则任取Ｖ，可唯一地表示为=x11+x22+…+xrr=[1,2,…,r]x1

x2

xr

...则X=[x1,x2,…,xr]T称为关于基{1,2,…,r}的坐标向量简称坐标。3）

坐标变换[1

2…

r]X=对任意向量V，设在两组基下坐标分别为X和Y，即=[1

2…

r]Y则=[1

2…

r]CY=[1

2…

r]YX=CY定理3.9设向量空间V的一组基{1,2,…,

r}到另一组基{1,

2,…,

r}的过渡矩阵为C。且V中一个向量在两组基下的坐标分别为X和Y，则X=CY坐标变换公示5、欧式空间Rn1）、内积设ｎ维实向量称实数为向量α与β的内积，记作2）、长度令为ｎ维向量α的长度（模或范数）.3)、夹角设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹角的余弦为因此α与β的夹角为4)、正交向量组当，称α与β正交.5)、施密特（Schmidt）正交化法向量空间的基标准正交化.设为ｎ维向量组，下面命题等价①线性无关.②满足的数当且仅当全为零.③④都不可由其余向量线性表示.⑤⑥向量组的极大线性无关组是其本身.⑦设则矩阵Ａ的秩为ｒ.⑧向量方程只有零解.⑨设则方程Ａｘ＝０只有零解.⑩不线性相关.设为ｎ维向量组，下面命题等价①线性相关.②满足的数至少有组不为零.③④可由其余向量线性表示.⑤⑥向量组的极大线性无关组是真子集.⑦设矩阵Ａ的秩小于ｒ.⑧向量方程有非零解.⑨设则方程Ａｘ＝０有非零解.⑩不线性无关.设为ｎ维向量组，下面命题等价①线性表示.④非奇次线性方程Ａｘ＝β有解.③⑤

向量组的极大线性无关组也是②向量方程有解.的极大线性无关组.向量组Ａ可由Ｂ线性表示，则②

若ｒ＞ｓ，则Ａ线性相关.③

Ａ线性无关，则ｒ≤ｓ.④

Ｒ(Ａ)

≤Ｒ(Ｂ).⑤

等价向量组必有同秩．（反之则不然）①

存在矩阵定理如果向量组线性相关，则β可由Ａ唯一线性表示.线性无关，而向量组定理设向量组若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关.定理设向量组若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关.其中设ｎ元线性方程组的系数矩阵为Ａ，增广１）线性方程组有唯一解矩阵为Ｂ，则２）线性方程组有无穷解３）线性方程组无解五、线性方程组1、线性方程组的解定义4.2对线性方程组施行的下列三种变换(1)交换两个方程的位置(2)用一个非零数乘某一个方程(3)把某个方程的若干倍加到另外一个方程上。称为线性方程组的初等变换。

用三种初等变换将一个线性方程组化成增广矩阵是阶梯型的线性方程组的过程称为Gauss消元法。[A|b][C|d](行阶梯型或行标准型)行初等变换2、Gauss消元法3、齐次线性方程组的解1）、基础解系基础解系，则方程组的通解可表示为：方程组的解空间中，它的某一个部分组②线性相关.①线性无关；则称为齐次线性方程组的一组基础解系.满足：如果为齐次线性方程组的其中为任意实数.定理ｎ元齐次线性方程组的全体解所构成的集合Ｓ是一个向量空间，当系数矩阵的秩为ｒ时，解空间Ｓ的维数为ｎ-ｒ.当时，线性方程组必有含ｎ-ｒ个向量的基解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间）当时，线性方程组只有零解，故没有基础础解系，此时线性方程组的解可以表示为其中为任意实数，解空间可以表示为2）、基础解系的求法１、对系数矩阵Ａ进行初等变换，将其化为最简形２、得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有ｎ－ｒ个线性无关的解向量．故为齐次线性方程组的一个基础解系.就为方程组的通解.其中为其导出组的通解，4、非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解为为非齐次线性方程组的任意一个特解.线性方程组有解，则以下命题等价：向量ｂ可由向量组线性表示.向量组等价.与向量组六、ｎ元二次型1、二次型定义的二次齐次多项式含有ｎ个变量①称为二次型．或记为２、二次型的矩阵表示③2n

则二次型．其中矩阵Ａ为对称矩阵.对称矩阵Ａ向量

X定义1只含有平方项的二次型称为二次型的标准形或法式．定义2特别地，称为二次型的规范形．3、二次型的标准形a11a22ann...11......-1-100...4、矩阵的合同1）定义设Ａ,Ｂ为ｎ阶方阵，若存在ｎ阶可逆阵Ｐ，使得则称Ａ合同于Ｂ,记为①反身性②对称性③传递性2）

性质④合同矩阵具有相同的秩.⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.等价A

B5、化二次型为标准形的方法有拉格朗日配方法行列对称初等变换正交变换法