高二数学：数系的扩充与复数的引入教案

《数系的扩充与复数的引入》教案1教材背景分析“数系的扩充与复数的引入”是高中数学课程中的基础知识，数系扩充过程体现了数学的发现和创造过程，也满足数学发展的客观需求。在课标中将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用。课标对选修课程内容确定的原则：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。在教学过程中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系、数学与日常生活的联系、数学与其他学科的联系。感受人类理性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。1.1教材内容分析复数的引入实现了中学阶段数的概念的最后一次扩充。学生在问题情境中了解数系扩充的过程，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用。这部分的学习有助于建立创新的数学思想，发展学生善于钻研和创造能力。本节是在学生已经学习了实数以及实数有关的运算，知道方程𝑥²+1=0没有实数解。为解决这个问题，有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。教材通过设置问题情境：“方程𝑥²+1=0没有实数解，对于这个无法解决的问题，怎样设想方法，使其变得可以解决？”引出数系扩充的必要性，进而引入虚数、复数的概念。教材在本节内容设置了“思考”探究，让学生通过具体实例、借助类比思想来经历数系扩充的数学探究活动过程，有助于培养学生的科学精神和思想素质，以及激发学生学习数学的激情，体现了《课标》以学生为主体的教育理念。1.2教学内容的地位与作用数系的扩充内容起到承上启下作用。承上是指通过回忆数系扩充的过程，使学生对数的概念有一个初步完整的认识，从而体会到虚数引入的必要性和合理性；启下是指理解复数相关概念，掌握复数相等的充要条件，为后继学习相关复数理论奠定基础。1.3学情分析在学习本节之前，学生已经掌握了自然数、整数、有理数、实数这些概念，但知识是零碎、分散的，知识体系还未形成。学生对数的分类主要依靠的是简单记忆，而对数系扩充的过程以及扩充的必然性不甚了解，也缺少严谨、深入的思维习惯。1.4教学目标设计(一)知识与技能目标：了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，了解复数的代数法表示，理解虚数单位，理解复数相等的充要条件。(二)过程与方法目标：经历从已有知识出发，探究数系扩充的必要性，通过观察、比较、推导，由特殊到一般，引进虚数单位𝑖的推导过程；在知识的运用过程中，体会类比和化归的思想方法。(三)情感态度与价值观：体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。1.5教学重难点设计重点：引进虚数单位𝑖的必要性，对𝑖的规定，复数的有关概念。难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解。2教法分析启发式教学法创设情境，提出问题——探究特例，猜想引进——形成概念，深化认知-——学以致用，举一反三-——归纳总结，提炼升华3教学过程设计3.1创设情境，提出问题问题1：（1）在自然数集𝑁中，方程𝑥+4=1有解吗？（2）在整数集𝑍中，方程3𝑥−2=0有解吗？（3）在有理数集𝑄中，方程𝑥²−2=有解吗？师生活动:学生独立思考，小组交流，最后师生共同总结。活动成果：发现在自然数集中，方程𝑥+4=1无解，由此引入负整数（𝑁扩充到𝑍）；在整数集𝑍中，方程3𝑥−2=0无解，由此引入分数（𝑍扩充到𝑄）；在有理数集𝑄中，方程𝑥²−2=0无解，由此引入无理数（𝑄扩充到𝑅）。数集的每一次扩充，都解决了在原有数集中某种运算无法实施的矛盾。问题2：从自然数集𝑁扩充到实数集𝑅，每次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？师生活动：学生独立思考，小组讨论，师生共同归纳总结。活动成果：扩充是为了引入新数，从而解决遇到的实际问题。每次扩充都引入了新数，原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。【设计意图】帮助学生回顾从自然数集𝑁扩充到实数集𝑅的过程，这是本节课的生长点，同时也培养了学生的归纳、概括与表达能力。帮助学生认识到为满足实际问题以及数学发展的需要，数系的扩充是必然的。让学生明白为推动历史的发展，我们需要不断的思考与创造。由此，突破本节课的难点。3.2探究特例，猜想引进问题3：请类比引进√2，就可以解决𝑥²−2=0在有理数集中无解的问题；那么引入一个什么样的新数，使方程𝑥²+1=0可解？师生活动：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成。学情预测：学生讨论可能没有结果，也可能无法准确描述。活动成果：老师引领提出问题，解决本质问题:-1的开平方问题，即一个什么样的数，它的平方会等于-1。引入一个新数𝑖，叫做虚数单位，𝑖²=-1。并规定：实数可以与𝑖进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。问题4：同学们设想，实数a与新数𝑖相加，实数b与新数𝑖想乘，结果如何表示？实数a与实数b和新数𝑖相乘的结果相加，如何表示？师生活动：学生动手操作，尝试写出新数与实数相加和相乘的运算，老师引导，更正不正确的写法。活动成果：𝑎+𝑖,𝑏𝑖,𝑎+𝑏𝑖.【设计意图】引领学生学会运用类比猜想这一方法，从而引出虚数单位𝑖。问题4是为了统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫。3.3形成概念，深化认知问题5：形如𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)的数，包括所有实数吗？包括这节课学习的新数吗？师生活动：学生积极思考，同桌讨论，再师生共同探究，得出复数的概念。活动成果：形如𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)的数，包括所有实数，也包括新数𝑏𝑖和𝑎+𝑏𝑖，实数𝑎和新数𝑖可以看作是𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)这样数的特殊形式，即𝑎=𝑎+0𝑖，𝑖=0+𝑖。实数系经过上述扩充后，得到的新数集𝐂={𝑎+𝑏𝑖|𝑎,𝑏∈𝑹}。我们可以总结出复数的概念：我们把集合𝐂={𝑎+𝑏𝑖|𝑎,𝑏∈𝑹}中的数，即形如𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑹)的数叫做复数，其中𝑖叫做虚数单位，全体复数所成的集合𝐂，叫做复数集。复数通常用字母𝑧表示，即𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)，这是复数的代数形式。𝑎叫做复数𝑧的实部，𝑏叫做复数𝑧的虚部。【设计意图】让学生自己添加上新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道复数的概念及代数形式。领悟研究问题的基本思路与方法，体会类比和化归的数学思想。问题6：满足什么条件才能使两个复数相等？师生活动：在教师的引导下，学生自主思考与小组讨论当𝑎+𝑏𝑖=c+𝑑𝑖时，实部与虚部所需满足的条件，教师补充。活动成果：在复数集中任取两个数𝑎+𝑏𝑖,c+𝑑𝑖(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈𝑅)，我们规定：𝑎+𝑏𝑖与c+𝑑𝑖相等的充要条件是𝑎=𝑐,𝑏=𝑑。问题7：当且仅当𝑎，𝑏满足什么条件时，复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)为实数，为实数0，为虚数，为纯虚数？（注：讲到当𝑎=0且𝑏≠0，请大家思考，像𝑏𝑖这样的形式叫什么。由此引入纯虚数这一名词。）师生活动：学生积极思考并讨论，教师补充。活动成果：当𝑎=0且𝑏=0时,𝑧=0（实数）当𝑏=0时,则𝑧为实数当𝑏≠0时,则𝑧为虚数当𝑎=0且𝑏≠0时,则𝑧为纯虚数【设计意图】问题6是为了理解复数相等的概念，通过关于实数的方程组，求得𝑎，𝑏的值。问题7为了理解复数的代数形式认知复数𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)为实数、为实数0、为虚数、为纯虚数的充要条件，同时体会由特殊到一般的归纳过程。问题9：实数集𝑅与复数集𝐂有怎样的关系？你能类比实数的分类，对复数进行合理的分类吗？师生活动：小组讨论，学生尝试分类，老师提出韦恩图，引导学生归纳。活动成果：实数集R是复数集C的真子集。复数z实数(复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系图如下：【设计意图】引导学生理解数系扩充后复数的分类，掌握复数系的结构特征，明确各数集之间的包含关系。问题10：任意两个复数能够比较大小吗？师生活动：学生思考并发言，教师点拨。学情预测：学生可能不知所云，无法下结论。也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大小。活动成果：若两个复数都是实数，可以比较大小；否则不能比较大小。一般来说，两个复数只能说是否相等，而不能比较其大小。3.4学以致用，举一反三例1：判断下列命题真假若𝑎=0,则𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)为纯虚数。（假）若𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)为纯虚数，则𝑎=0。（真）思路分析：依据纯虚数的概念进行判断。【点评】归纳总结得出𝑎=0是𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)为纯虚数的必要不充分条件。例2：指出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数、纯虚数。（1）2－3𝑖；（2）0；（3）﹣½＋¾𝑖；（4）6𝑖；（5）𝑖²思路分析：依据复数的代数形式找出实部与虚部，根据实数、虚数、纯虚数的概念进行判断。解：(1)的实部为2,虚部为3,是虚数(2)的实部为0,虚部为0,是实数(3)的实部为﹣½,虚部为¾,是虚数(4)的实部为0,虚部为6,是纯虚数(5)的实部为0,虚部为1,是虚数【点评】对于复数𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)，其中𝑎叫做复数𝑧的实部，𝑏叫做复数𝑧的虚部。注意：𝑏连同它的符号叫做复数的虚部。例3：思考：(𝑥+𝑦)+(𝑦－1)𝑖=(2𝑥+3𝑦)+(2𝑦+1)𝑖，求实数𝑥,𝑦的值思路分析：应用两个复数相等的充要条件解答。解：𝑥+𝑦=2𝑥+3𝑦，𝑦－1=2𝑦+1，联立方程组，得𝑥=4，𝑦=-2。【点评】此题考察复数相等的条件，要求在变化中认知复数的代数形式，明确复数的实部和虚部。3.5归纳总结，提炼升华提出问题：本节课你学到了什么？收获了什么？师生活动：给学生2分钟的时间来回顾与归纳本节主