人教版九年级数学下册全册教案-(2)可编辑打印

111111第二十六章反比例函数本章内容属于“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界中存在各种函数，掌握如何应用函数知识解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础．本章的主要内容是反比例函数，教材中从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识．第一节的内容是反比例函数的概念以及反比例函数的图象和性质．反比例函数y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象分布在两个象限，当k>0时，图象分布在第一、三象限，y随x的增大(减小)而减小(增大)；当k<0时，图象分布在第二、四象限，y随x的增大(减小)而增大(减小)．第二节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界中的实际问题以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象．教学中要注重数学思想的渗透，注意做好与已学内容的衔接，还要加强反比例函数与正比例函数的对比．本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具．教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通．本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力．1．理解并掌握反比例函数的概念．2．掌握反比例函数的图象和性质．3．能灵活运用反比例函数知识解决实际问题．本章教学约需4课时，具体分配如下：26．1反比例函数3课时26．2实际问题与反比例函数1课时26．1反比例函数26．1.1反比例函数知识与技能1．使学生理解并掌握反比例函数的概念．2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式．过程与方法能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的建模思想．情感、态度与价值观经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，体会数学学习的重要性，培养学生学习数学的兴趣．重点理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．难点理解反比例函数的概念．一、创设情境，讲授新课活动1.问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化；(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化而变化；(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S(单位：平方千米/人)随全市人口n(单位：人)的变化而变化．解：(1)t＝eq\f(1463,v)；(2)y＝eq\f(1000,x)；(3)S＝eq\f(1.68×104,n).其中，v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，S是n的函数．上面的函数关系式，都具有y＝eq\f(k,x)的形式，其中k是非零常数．活动2.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？(1)一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间t随注水速度v的变化而变化；(2)某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化．解：(1)t＝eq\f(2000,v)；(2)h＝eq\f(1000,S).概念：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝eq\f(k,x)的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零．活动3.问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？y＝4x，eq\f(y,x)＝3，y＝6x＋1，xy＝123.问题2：已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝6.写出y关于x的函数关系式．求当x＝4时，y的值．师生行为：学生独立思考，然后小组合作交流．教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导．1．解：只有xy＝123是反比例函数．2．分析：因为y是x的反比例函数，所以可设y＝eq\f(k,x)，再把x＝2和y＝6代入上式就可求出常数k的值．解：设y＝eq\f(k,x)，因为x＝2时，y＝6，所以有6＝eq\f(k,2)，解得k＝12，因此y＝eq\f(12,x)，把x＝4代入y＝eq\f(12,x)，得y＝eq\f(12,4)＝3.二、例题讲解例1下列等式中，哪些是反比例函数？(1)y＝eq\f(x,3)；(2)y＝－eq\f(\r(2),x)；(3)xy＝21；(4)y＝eq\f(5,x＋2)；(5)y＝－eq\f(3,2x)；(6)y＝eq\f(1,x)＋3；(7)y＝x－4.解：(2)(3)(5)是反比例函数．例2函数y＝－eq\f(1,x＋2)中，自变量x的取值范围是________．解：x≠－2.例3当m取什么值时，函数y＝(m－2)x3－m2是反比例函数？分析：反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的另一种表达式是y＝kx－1(k≠0)，这种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误．解：由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2≠0，,3－m2＝－1，))解得m＝－2.三、巩固练习1．已知y是x的反比例函数，并且当x＝3时，y＝－8.(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)当y＝2时，求x的值．答案(1)y＝－eq\f(24,x)(2)x＝－12四、课堂小结反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量之间的关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，从感性认识提升到理性认识，建立概念，摆脱其原型成为数学对象．反比例函数具有丰富的数学含义．通过举例、说理、讨论等活动用数学眼光审视某些实际现象．例题非常简单，在例题的处理上注重培养学生形成写出规范的解题步骤的能力，同时拓宽学生的思路．在题目的设计和教学设计上注重了由浅入深的梯度，同时充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用．26．1.2反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质(1)知识与技能1．会用描点法画反比例函数的图象．2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质．过程与方法体会分类讨论思想、数形结合思想的运用．情感、态度与价值观1．体会函数的表示方法，领会数形结合的思想方法．2．在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯．重点理解并掌握反比例函数的图象和性质．难点正确画出图象，通过观察、分析归纳出反比例函数的性质．一、复习回顾，引入新课1．画出函数y＝3x＋1的图象．2．求函数y＝3x＋1的图象与x轴、y轴的交点的坐标．这个过程由学生独立思考、操作、交流、回答，教师可与学生讨论交流，提问学生．问：什么叫做反比例函数？学生：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝eq\f(k,x)(k为常数，且k≠0)的形式，那么y是x的反比例函数．反比例函数的自变量x不能为零．让学生猜想反比例函数的图象是什么样的，让学生自己尝试作反比例函数y＝eq\f(6,x)，y＝eq\f(4,x)，y＝－eq\f(6,x)，y＝－eq\f(4,x)的图象．二、例题讲解例1画出反比例函数y＝eq\f(6,x)与y＝－eq\f(6,x)的图象．反比例函数是我们第一次遇到的非直线函数图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成的，我们从描出的点的变化趋势可以看出，切记不能用直线连接．师生共析：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出的点连接起来，就可得到下图．问：观察画出的图象，思考y＝eq\f(6,x)与y＝－eq\f(6,x)的图象有什么共同的特征？它们之间有什么关系？(教师在学生思考、回答后指出反比例函数的图象是双曲线，是轴对称图形，各有两条对称轴，它们都不会经过原点)反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象是由两支曲线组成的，当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限．例2已知反比例函数y＝(m－1)xm2－3的图象在第二、四象限，求m的值，并指出在每个象限内y随x的变化情况．分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y＝kx－1(k≠0)中自变量x的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，不要忽视这个条件．解：∵y＝(m－1)xm2－3是反比例函数，∴m2－3＝－1，且m－1≠0.又∵图象在第二、四象限，∴m－1＜0.解得m＝±eq\r(2)，且m＜1，则m＝－eq\r(2).在每个象限内，y随x的增大而增大．反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象，当k＞0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大．例3如图，过反比例函数y＝eq\f(1,x)(x＞0)的图象上任意两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1，S2，比较它们的大小，可得()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．大小关系不能确定分析：从反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上任一点P(x，y)分别向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积S＝|xy|＝|k|，由此可得S1＝S2＝eq\f(1,2)|k|，故选B.三、巩固练习1．若函数y＝(2m－1)x与y＝eq\f(3－m,x)的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是________．答案eq\f(1,2)＜m＜32．反比例函数y＝－eq\f(2,x)，当x＝－2时，y＝________；当x＜－2时，y的取值范围是________；当－2＜x＜0时，y的取值范围是________．答案1y＜1y＞1四、课堂小结师：你对本节知识有哪些认识？教师可让学生随意说出一个反比例函数，然后由一个学生说出它的性质．在活动中，教师应重点关注：1．不同层次的学生对本节课知识的认识程度．2．学生独立面对困难和克服困难的能力．“反比例函数的图象与性质”是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用．在本节课的教学中，有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比．借助计算机的动态演示比较两函数的图象，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别，从而使学生加深对两函数性质的理解．观察反比例函数的图象，获取函数相关性质的信息有较大空间，考查学生能否对信息做出灵敏反应，应用时，能否善于分析和决策，灵活运用知识有效地解决问题，关注并追踪这些活动所引起的学生的持久变化．第2课时反比例函数的图象和性质(2)知识与技能1．使学生进一步理解并掌握反比例函数的图象与性质．2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题．过程与方法体会函数不同表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的性质．情感、态度与价值观体会分类讨论思想、数形结合思想的运用，在动手作图的过程中体会其中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯．重点理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题．难点学会从图象上分析、解决问题．一、复习导入首先复习上节课所学的内容：1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？3．作函数图象的步骤：列表、描点、连线．4．反比例函数的图象和性质：(1)反比例函数的图象是由两支曲线组成的(通常称为双曲线)；(2)当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内；(3)反比例函数的图象与坐标轴不相交，它们都不过原点；(4)反比例函数的图象关于原点对称，是中心对称图形，也是轴对称图形．(5)反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象，当k＞0时，在每一个象限内，y的值随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，y的值随x的增大而增大．二、例题讲解例1已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．(1)这个函数的图象分布在哪些象限？随自变量的增大如何变化？(2)点B(3，4)，C(－2eq\f(1,2)，－4eq\f(4,5))和D(2，5)是否在这个函数的图象上？解：(1)设这个反比例函数的解析式为y＝eq\f(k,x)，因为它经过点A，把点A的坐标(2，6)代入函数解析式，得6＝eq\f(k,2)，解得k＝12，即这个反比例函数的表达式为y＝eq\f(12,x).因为k>0，所以这个函数的图象在第一、三象限内，y随x的增大而减小．(2)把点B，C和D的坐标代入y＝eq\f(12,x)，可知点B、点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、点C在函数y＝eq\f(12,x)的图象上，点D不在该函数的图象上．例2如图是反比例函数y＝eq\f(m－5,x)的图象的一支．根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？(2)在上图的图象上任取点A(a，b)和点B(a′，b′)，如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？师生活动：让学生先观察图象，然后结合反比例函数的图象完成此题．教师应给学生提供充分的交流时间和空间．解：(1)反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限或者分布在第二、四象限，这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以m－5>0，解得m>5.(2)由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而减小，因为a>a′，所以b＜b′.三、巩固练习1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数y＝eq\f(kb,x)的图象在()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第一、二象限答案B2．已知点(－1，y1)，(2，y2)，(π，y3)在双曲线y＝－eq\f(k2＋1,x)上，则下列关系式正确的是()A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2答案B四、课堂小结1．进一步掌握了反比例函数的作图方法．2．学会了利用反比例函数的性质画出反比例函数的图象．本节课通过学习情境的创设改变了学生的学习方法，学生的学习能力、思维品质、探究意识及其态度、情感价值观等有了不同的发展．在这节课的教学中，我比较成功地实施了诱思探究教学，学生的积极性得到充分的调动．在教学过程中，注意引导学生仔细观察反比例函数图象的特征，根据其对称性列表、描点、连线，作图就会画得又快又美观，注意控制时间，充分理解教学意图，敢于放手．26．2实际问题与反比例函数知识与技能1．能灵活运用反比例函数解决一些实际问题．2．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．过程与方法会用反比例函数知识分析、解决实际问题．情感、态度与价值观渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．重点会用反比例函数知识分析、解决实际问题．难点分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．一、复习导入，教授新课问题：市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深？(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要？(保留两位小数)我们知道圆柱的容积是底面积×高，而现在容积一定为104m3，所以S·d＝104.变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系式，即S＝eq\f(104,d)，所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．根据函数S＝eq\f(104,d)，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值．根据S＝eq\f(104,d)，得500＝eq\f(104,d)，解得d＝20，即施工队施工时应该向下挖进20米．根据S＝eq\f(104,d)，把d＝15代入此式，得S＝eq\f(104,15)≈666.67(m2)．当储存室的深为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要．二、例题讲解例1码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k＝30×8＝240，所以v关于t的函数解析式为v＝eq\f(240,t).(2)把t＝5代入v＝eq\f(240,t)，得v＝eq\f(240,5)＝48(吨)．从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．对于函数v＝eq\f(240,t)，当t>0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．例2小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？解：(1)根据“杠杆原理”，得Fl＝1200×0.5，所以F关于l的函数解析式为F＝eq\f(600,l).当l＝1.5m时，F＝eq\f(600,1.5)＝400(N)．对于函数F＝eq\f(600,l)，当l＝1.5m时，F＝400N，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需要400N的力．(2)对于函数F＝eq\f(600,l)，F随l的增大而减小．因此，只要求出F＝200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．当F＝400×eq\f(1,2)＝200时，由200＝eq\f(600,l)得l＝eq\f(600,200)＝3(m)，3－1.5＝1.5(m)．对于函数F＝eq\f(600,l)，当l>0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m.例3一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110Ω～220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示．(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？(2)这个用电器功率的范围是多少？解：(1)根据电学知识，当U＝220时，得P＝eq\f(2202,R).①(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻的最小值R＝110代入①式，得到功率的最大值P＝eq\f(2202,110)＝440(W)；把电阻的最大值R＝220代入①式，得到功率的最小值P＝eq\f(2202,220)＝220(W)．因此用电器功率的范围为220W～440W.三、巩固练习1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为________．答案t＝eq\f(658,v)2．一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数．当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3.(1)求ρ与V的函数关系式；(2)求当V＝2m3时氧气的密度ρ.答案(1)ρ＝eq\f(m,V)，当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3，所以m＝ρV＝10×1.4＝14.3，所以ρ＝eq\f(14.3,v)；(2)当V＝2m3时，ρ＝eq\f(14.3,2)＝7.15(kg/m3)．四、课堂小结本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想．本节体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想．创设问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性，让学生经历“问题情境→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生的数学应用意识，充分激发学生的潜能．

第二十七章相似本章主要学习图形的相似．首先，教材中从生活实例入手，得到相似图形的概念，进一步得到相似多边形，研究了相似多边形的定义和有关性质，为研究相似三角形做了铺垫．其次，从相似多边形引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示了相似三角形所要研究的本质就是两个三角形边、角之间的关系．本部分内容的学习，应突出一种对应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点．相似三角形的性质及其判定定理是否能正确地运用也是本节课的一个重点．教材中首先让学生选择合适的方法进行探索和归纳，然后运用相似三角形的性质，通过计算给出证明，并推导得到相似三角形的周长的比、面积的比与相似比的关系．最后，教材中介绍了图形的位似．位似的两个图形具有一种特殊的位置关系，这种关系是通过位似中心来联系的，位似中心的位置决定了两个位似图形的位置，其关键是抓住对应点的连线都经过位似中心；而相似图形只研究它们的形状和大小，与这两个图形的位置无关．本节的位似只要求学生理解位似图形，利用位似将一个图形放大或缩小．1．能够判断线段是否成比例，理解并掌握比例的几个性质以及平行线分线段成比例定理．2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例．3．了解两个相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、面积的比与相似比的关系．4．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．5．通过典型实例观察并认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．本章教学约需11课时，具体分配如下：27．1图形的相似2课时27．2相似三角形7课时27．3位似2课时27．1图形的相似第1课时图形的相似(1)知识与技能从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段，理解成比例线段的概念．过程与方法在成比例线段的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题．情感、态度与价值观在探究成比例线段的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识．重点认识成比例的线段．难点理解成比例线段的概念．一、问题引入活动1.观察图片，体会形状相同的图形．(多媒体出示)师：同学们，请观察下列几幅图片，你能发现什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？生：这些图形的形状相同，而大小不同．二、新课教授活动2.思考：如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们的形状相同吗？生：形状不同．师：我们把形状相同，大小不同的图形叫做相似图形．形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n或写成eq\f(AB,CD)＝eq\f(m,n).其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把eq\f(m,n)表示成比值k，那么eq\f(AB,CD)＝k或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的比．活动3.如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？师生活动．1．两条线段的比，就是两条线段长度的比．2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意：(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，但在计算时要注意统一单位；(2)线段的比是一个没有单位的正数；(3)四条线段a，b，c，d成比例，记作：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)或a∶b＝c∶d；(4)若四条线段满足eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，则有ad＝bc；(5)如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么eq\f(a,b)＝eq\f(c,d).三、例题讲解例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形形状相同的是()解：C例2一张桌面长a＝1.25m，宽b＝0.75m，那么长与宽的比是多少？(1)如果a＝125cm，b＝75cm，那么长与宽的比是多少？(2)如果a＝1250mm，b＝750mm，那么长与宽的比是多少？解：eq\f(a,b)＝eq\f(5,3)小结：上面分别采用m，cm，mm三种不同的长度单位，求得的eq\f(a,b)的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．四、课堂小结1．图形相似的定义：形状相同的图形叫做相似图形．2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．本节课在学习过程中应该注意从生活中形状相同的图形的实例中认识相似图形以及成比例的线段，理解成比例线段的概念．在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察——比较——猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程．以学生的自主探究为主线，让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识．教师只在关键处进行点拨，不足处进行补充．鼓励学生大胆猜测、大胆验证，让学生在研究过程中渗透数学思想，有意识地培养学生的解题能力．第2课时图形的相似(2)知识与技能知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等．掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”．过程与方法经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，感受图形世界的丰富多彩．情感、态度与价值观在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质．重点知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等．难点能运用相似图形的性质解决问题．一、问题引入1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a，b，c，d会成比例吗？2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例)二、探究新知1．观察图片，体会相似图形的性质．(1)下图(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？(2)对于图(2)中两个形状相同、大小不同的正六边形，是否也能得到类似的结论？学生细心观察，认真思考，小组讨论后回答问题，最后得出：它们的对应角相等，对应边的比相等．∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(BC,B1C1)＝eq\f(AC,A1C1).师：上图中的△ABC，△A1B1C1是形状相同的三角形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1分别相等，称为对应角，AB与A1B1，BC与B1C1，AC与A1C1的比都相等，称为对应边，各角相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．2．探究．如图(1)中是两个相似三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比是否相等？对于图(2)中两个相似四边形，它们的对应角、对应边是否也有同样的结论？师生总结：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．(2)相似多边形的对应边的比称为相似比．三、例题讲解例如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α和∠β的大小以及EH的长度x.学生通过运用相似多边形的性质正确解答出∠α和∠β的大小以及EH的长度x.解：四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应角相等．由此可得∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，在四边形ABCD中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应边成比例．由此可得eq\f(EH,AD)＝eq\f(EF,AB)，即eq\f(x,21)＝eq\f(24,18).解得x＝28cm.四、巩固练习1．在比例尺为1∶10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离．答案3000km2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？答案相似，因为它们的对应角相等，对应边的比相等．3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a，b，c，d的长度．答案a＝3，b＝eq\f(9,2)，c＝4，d＝6.五、课堂小结1．相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似．2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．本节课在前一节课学习的基础上，进一步加深对相似图形的认识．在相似图形的探究过程中，继续让学生运用“观察——比较——猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程．以学生自主探究为主线，让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识．教师只在关键处进行点拨，不足处进行补充．鼓励学生大胆猜测、大胆验证．让学生在研究过程中渗透数学思想，有意识地培养学生的解题能力．27．2相似三角形27．2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例知识与技能使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用．过程与方法通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．情感、态度与价值观通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学图形的对称美，激发学习数学的兴趣．重点平行线分线段成比例定理和推论及其应用．难点平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．一、复习导入师：什么是相似多边形？生：对应角分别相等，对应边成比例的两个多边形．教师用多媒体展示：如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k.师：这样的两个三角形有什么关系呢？生：△ABC和△A′B′C′相似．师：对，两个三角形相似记作△ABC∽△A′B′C′，“∽”读作“相似于”．师：上面的两个三角形的相似比为k，假如k＝1，这两个三角形有怎样的关系？生：当k＝1时，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，△ABC≌△A′B′C′.师：所以全等是相似的特殊情况．师：既然全等有很多种判定方法，我们可以类比全等的判定方法找到两个三角形相似的方法吗？在这之前，我们先来探究下面的问题．二、共同探究，获取新知师：我们知道两条平行线之间的距离是相等的．如果有三条直线l3∥l4∥l5，任意两直线l1和l2与它们相交且截得的线段AB＝BC.我们会得到DE＝EF，即eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)＝1.你们知道为什么吗？生：学生思考、讨论，得出结论．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．师：如果eq\f(AB,BC)≠1，那么eq\f(DE,EF)和eq\f(AB,BC)还相等吗？师：引导学生按要求画图，测量．生：操作后，讨论．可以发现，当l3∥l4∥l5时，总有eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，eq\f(BC,AB)＝eq\f(EF,DE)，eq\f(BC,AC)＝eq\f(EF,DF)等．一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．师：把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？生：思考、画图．图(1)中把l4看成平行于△ABC的边BC的直线，图(2)中把l3看成平行于△ABC的边BC的直线，可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．三、例题讲解例如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？解：(1)∵EF∥BC，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FC).∵AE＝7，EB＝5，FC＝4，∴AF＝eq\f(AE·FC,EB)＝eq\f(7×4,5)＝eq\f(28,5).(2)∵EF∥BC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC).∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，∴AC＝eq\f(AB·AF,AE)＝eq\f(10×5,6)＝eq\f(25,3)，∴FC＝AC－AF＝eq\f(25,3)－5＝eq\f(10,3).四、巩固练习1．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是()A.eq\f(AD,DF)＝eq\f(BC,CE)B.eq\f(BC,CE)＝eq\f(DF,AD)C.eq\f(CD,EF)＝eq\f(BC,BE)D.eq\f(CD,EF)＝eq\f(AD,AF)答案A2．如图，DE∥BC，AB∶DB＝3∶1，则AE∶AC＝________．答案2∶3五、课堂小结师：今天你学习了哪些定理？学生口述定理．在思考中，学生总结出当求证的两个比例式的线段不在同一基本型的时候应该怎样解题，并且掌握中间比的找法．对于添加辅助线的证明比例式问题，需要“透析”题目中的条件和证明方法．从课堂练习和作业反馈上体现出学生对知识的接受还比较理想，这堂课还是比较成功的．第2课时相似三角形的判定(1)知识与技能掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定方法；能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．过程与方法经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．情感、态度与价值观培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神．重点三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．难点三角形相似的判定方法1的运用．一、创设情境，引入新课师：根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢？今天这节课我们就一起来探索三角形相似的条件．二、探究新知问题平行于三角形一边的直线与其他两边相交所构成的三角形，与原三角形相似吗？师生活动：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).由前面的结论可得，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).而eq\f(DE,BC)中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论．但从要证的eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的边上，因此只需将DE平移到BC边上去，使得BF＝DE，再证明eq\f(AE,AC)＝eq\f(BF,BC)就可以了．只要过点E作EF∥AB，交BC于点F，BF就是平移DE所得的线段．先证明两个三角形的角分别相等．如图，在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.再证明两个三角形的边成比例．过点E作EF∥AB，交BC于点F.∵DE∥BC，EF∥AB，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，eq\f(BF,BC)＝eq\f(AE,AC).∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE＝BF，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，边成比例，所以△ADE∽△ABC，因此，我们有如下判定三角形相似的定理．三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．(定理的证明由学生独立完成)三、例题讲解例如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)，∴BC＝eq\f(AB·DE,AD)＝eq\f(7×10,5)＝14.四、课堂小结本节课学习了：三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．本节课主要是探究相似三角形的判定方法1，本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具做静态探究与应用“几何画板”等计算机软件做动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵．另外小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力．第3课时相似三角形的判定(2)知识与技能理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.过程与方法培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS和SAS与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．情感、态度与价值观让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力．重点两个三角形相似的判定方法2，3及其应用．难点探究两个三角形相似的判定方法2，3的过程．一、问题引入1．我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(三角形相似的定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似)2．全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k＝1)3．如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？(不需要)二、新课教授由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？探究1：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．学生动手画图、测量，独立研究后再小组讨论．三角形相似的判定方法2：三边成比例的两个三角形相似．探究2：利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，eq\f(AB,A′B′)和eq\f(AC,A′C′)都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B′，∠C与∠C′是否相等？改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？学生动手画图、测量，独立研究．三角形相似的判定方法3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．三、例题讲解例1根据下列条件，判断△ABC与△A1B1C1是否相似，并说明理由．(1)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A1＝120°，A1B1＝3cm，A1C1＝6cm；(2)∠B＝120°，AB＝2cm，AC＝6cm，∠B1＝120°，A1B1＝8cm，A1C1＝24cm.解：(1)eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)＝eq\f(7,3)，∠A＝∠A1＝120°⇒△ABC∽△A1B1C1；(2)eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)＝eq\f(1,4)，∠B＝∠B1＝120°，但∠B与∠B1不是AB与AC，A1B1与A1C1的夹角，所以△ABC与△A1B1C1不相似．例2如图，在△ABC和△ADE中，eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．解：∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°.四、巩固练习1．根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．(1)∠A＝40°，AB＝8cm，AC＝15cm，∠A′＝40°，A′B′＝16cm，A′C′＝30cm；(2)AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝20cm，B′C′＝16cm，A′C′＝32cm.答案(1)相似，两组对应边的比相等，且夹角相等．(2)相似，三组对应边的比相等．2．图中的两个三角形是否相似？答案(1)相似．(2)不相似．五、课堂小结师：通过本节课的学习，同学们有什么体会与收获？可以与大家分享一下吗？学生发言，说说自己的体会与收获，教师根据学生的发言予以点评．本节课主要是探究相似三角形的判定方法2和判定方法3，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定方法1，而本节课内容在探究方法上与上节课又具有一定的相似性，因此本课教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移．此外，由于判定方法3的条件“相应的夹角相等”在应用中容易被学生忽视，所以教学中教师要强调，以加深学生的印象．第4课时相似三角形的判定(3)知识与技能使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的证明方法并会运用．过程与方法1．类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解．2．通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．情感、态度与价值观通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．重点两个判定定理的应用难点了解两个判定定理的证明方法与思路一、复习引入师：判定两个三角形全等的方法有哪几种？生：SAS，ASA(AAS)，SSS，HL师：三角形相似的判定方法2和3是类比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，那我们能否类比“ASA(AAS)”，“HL”用同样的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？二、共同探究，获取新知推理证明探究1：师：由于“ASA(AAS)”中只有一条边，是不能写出对应边的比的，那么就剩下两个角了，即两角分别相等的两个三角形相似吗？教师用多媒体出示：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，为什么？教师引导学生在稿纸上按要求画图．学生动手画图、测量、独立研究．三角形相似的判定方法4：两角分别相等的两个三角形相似．探究2：师：判定两个直角三角形是否全等时，除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法，那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢？教师多媒体课件出示：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′).判断Rt△ABC与Rt△A′B′C′是否相似，为什么？师：已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例，你能判断这两个直角三角形是否相似吗？学生思考、讨论后回答．生：设eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′，根据勾股定理BC可以用含AB，AC的式子表示，进而可以用含A′B′，A′C′的式子表示，再用勾股定理就得到BC＝kB′C′，所以就得到了三边对应成比例，这两个三角形相似．师：你回答得太好了！现在请同学们写出具体的步骤，然后与课本上的对照，将不完善的地方改正．学生证明并修改．证明：设eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.∵BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(k2A′B′2－k2A′C′2)＝keq\r(A′B′2－A′C′2)＝kB′C′，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k，∴△ABC∽△A′B′C′.师：所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．三、练习新知1．如图，锐角△ABC的边AB，AC上的高CE，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．生甲：△ABF和△ACE.生乙：△EDB和△FDC.2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是边AB上的高，求证：(1)CD2＝AD·BD；(2)BC2＝AB·BD，AC2＝AB·AD.证明：(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB.∴eq\f(CD,BD)＝eq\f(AD,CD).∴CD2＝AD·BD.(2)∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠CDB，∴△ABC∽△CBD.∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(BD,BC).∴BC2＝AB·BD.同理可证△ABC∽△ACD.∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC).∴AC2＝AB·AD.四、课堂小结本节课主要学习了三角形相似的另一个判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．除了前面讲过的针对任意三角形相似的判定方法外，还有斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似这一判定定理．在做题时要灵活运用，选取合适的方法．前面已经学习了几种三角形相似的判定方法，所以这节课以学生为主导，教师加以提示、纠正、鼓励学生自己探索，讨论得出新的判定定理，培养学生的动手能力，勇于探索的精神．27．2.2相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质(1)知识与技能理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系，掌握定理的证明方法，并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质，提高分析和推理能力．过程与方法在对性质定理的探究中，学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．情感、态度与价值观1．在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律．2．通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心．重点相似三角形性质定理的探究及应用．难点综合应用相似三角形的性质与判定定理，探索相似三角形中对应线段之间的关系．一、复习回顾师：相似三角形的判定方法有哪些？学生回答．师：相似三角形有哪些性质？生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．师：三角形有哪些相关的线段？生：中线、高和角平分线．二、共同探究，获取新知教师多媒体课件出示：已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应高．求证：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.师：这个题目中已知了哪些条件？生：△ABC和△A′B′C′相似，这两个三角形的相似比是k，AD，A′D′分别是它们的高．师：我们要证的是什么？生：它们的高的比等于它们对应边的比，等于这两个三角形的相似比．师：你是怎样证明的呢？生：证明△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的对应边成比例得到eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′).师：你怎样证明△ABD和△A′B′D′相似呢？学生思考后回答：因为△ABC和△A′B′C′相似，由相似三角形的对应角相等，所以∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似．学生写出证明过程．活动1.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的中线．求证：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k.又∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，∴BD＝eq\f(1,2)BC，B′D′＝eq\f(1,2)B′C′，eq\f(BD,B′D′)＝eq\f(\f(1,2)BC,\f(1,2)B′C′)＝eq\f(BC,B′C′)＝k，∴△ABD∽△A′B′D′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.活动2.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线．求证：eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.又∵AD和A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BAC，∠B′A′D′＝eq\f(1,2)∠B′A′C′，∠BAD＝∠B′A′D′，∴△BAD∽△B′A′D′(两角对应相等的两个三角形相似)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)＝k.师：于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理．定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．三、例题讲解，应用新知例如图，AD是△ABC的高，AD＝h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR＝eq\f(1,2)BC时，求DE的长．如果SR＝eq\f(1,3)BC呢？解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC，∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C，∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(SR,BC)(相似三角形对应高的比等于相似比)，即eq\f(AD－DE,AD)＝eq\f(SR,BC).当SR＝eq\f(1,2)BC时，得eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,2)，解得DE＝eq\f(1,2)h.当SR＝eq\f(1,3)BC时，得eq\f(h－DE,h)＝eq\f(1,3)，解得DE＝eq\f(2,3)h.四、课堂小结师：今天你又学习了什么内容？学生回答．在本节课的教学过程中，先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等，对应边成比例，为后面的证明做了铺垫．在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃，尤其是让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得，做到了将课堂回归给学生，学生的主体地位得到了很好的体现．第2课时相似三角形的性质(2)知识与技能理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题．过程与方法探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想．情感、态度与价值观经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观，体验解决问题策略的多样性．重点理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．难点探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．一、复习引入1．回顾相似三角形的概念及判定方法．2．复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应角的性质．二、新课教授探究1：如果两个三角形相似，它们的周长之间是什么关系？如果是两个相似多边形呢？学生小组自由讨论、交流，达成共识．设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，那么eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(BC,B1C1)＝eq\f(CA,C1A1)＝k⇒AB＝kA1B1，BC＝kB1C1，CA＝kC1A1⇒eq\f(AB＋BC＋CA,A1B1＋B1C1＋C1A1)＝eq\f(kA1B1＋kB1C1＋kC1A1,A1B1＋B1C1＋C1A1)＝k.由此我们可以得到：相似三角形的性质2：相似三角形周长的比等于相似比．用类似的方法，还可以得出：相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．探究2：(1)如图(1)，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k1，它们的对应高的比是多少？它们的面积比是多少？通过上节课的学习，我们得到了相似三角形的性质1：相似三角形对应高的比等于相似比．∴eq\f(AD,A1D1)＝eq\f(AB,A1B1)＝k1.由上述结论，我们有：eq\f(S△ABC,S△A1B1C1)＝eq\f(\f(1,2)BC×AD,\f(1,2)B1C1×A1D1)＝eq\f(\f(1,2)k1B1C1×k1A1D1,\f(1,2)B1C1×A1D1)＝k12.相似三角形的性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)如图(2)，四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？分析：∵eq\f(S△ABC,S△A1B1C1)＝eq\f(S△ACD,S△A1C1D1)＝k22，∴eq\f(S四边形ABCD,S四边形A1B1C1D1)＝eq\f(S△ABC＋S△ACD,S△A1B1C1＋S△A1C1D1)＝k22.相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．三、例题讲解例如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是12eq\r(5)，求△DEF的周长和面积．解：△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,AC)＝eq\f(1,2).又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，相似比为eq\f(1,2).∴△DEF的周长＝eq\f(1,2)×24＝12，面积＝(eq\f(1,2))2×12eq\r(5)＝3eq\r(5).四、巩固练习填空：(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________，面积的比为________；(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________；(3)连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于________，面积比等于________；(4)两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为________cm，面积为________cm2.答案(1)eq\f(3,5)eq\f(3,5)eq\f(9,25)(2)eq\f(\r(3),\r(5))eq\f(\r(3),\r(5))(3)eq\f(1,2)eq\f(1,4)(4)14eq\f(4,3)五、课堂小结相似三角形的性质：性质2.相似三角形周长的比等于相似比．性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方让学生体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方来解决简单的问题．因此本课的教学设计突出了“相似比⇒相似三角形周长的比⇒相似多边形周长的比”，“相似比⇒相似三角形面积的比⇒相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力．

27.2.3相似三角形应用举例知识与技能进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题．过程与方法通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心．重点运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度．难点灵活运用三角形相似的知识解决实际问题，即如何把实际问题抽象为数学问题．一、新课教授例1(测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度．分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性质，根据已知条件求出金字塔的高度．解法一：∵BA∥DE，∴∠BAO＝∠EDF.又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF，∴eq\f(BO,EF)＝eq\f(AO,DF)，∴BO＝eq\f(AO·EF,DF)＝eq\f(201×2,3)＝134.答：此金字塔的高度为134m.问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等)解法二：用镜面反射．(如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形，解法略)例2(测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点R，测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m．求河的宽度PQ.分析：设河宽PQ长为xm，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有eq\f(PQ,PS)＝eq\f(QR,ST)，即eq\f(x,x＋45)＝eq\f(60,90).再解x的方程可求出河宽．解法一：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST，∴eq\f(PQ,PS)＝eq\f(QR,ST)，即eq\f(PQ,PQ＋QS)＝eq\f(QR,ST)，即eq\f(PQ,PQ＋45)＝eq\f(60,90)，∴PQ×90＝(PQ＋45)×60，解得PQ＝90，因此河的宽度PQ为90m.问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？解法二：如图，构造相似三角形．(解法略)例3(盲区问题)如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树根部的距离BD＝5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直线l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?解：如图所示，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A，C恰好在一条直线上．由题意可知，AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，∴eq\f(FH,FK)＝eq\f(AH,CK)，即eq\f(FH,FH＋5)＝eq\f(8－1.6,12－1.6)＝eq\f(6.4,10.4)，解得FH＝8.由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．二、巩固练习1．如图，身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为________．答案4.8m2．在同一时刻，物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？答案36m三、课堂小结本节课主要让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度和长度的问题．指导思想是利用相似三角形对应边的比相等，如果四条对应边中已知三条，则可求得第四条，具体研究了如何测量金字塔高度的问题、测量河宽的问题、盲区问题．通过具体事例加强有关相似三角形知识的应用．本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似的知识解决实际问题，在解决实际问题的过程中经历从实际问题到建立数学模型的过程，培养学生的抽象概括能力．因此在教学设计中突出了“审题⇒画示意图⇒明确数量关系⇒解决问题”的数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力．

27．3位似第1课时位似(1)知识与技能1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将—个图形放大或缩小．过程与方法经历位似图形的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．情感、态度与价值观培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣．重点位似图形的有关概念、性质与作图．难点利用位似将一个图形放大或缩小．一、问题引入1．生活中我们经常把照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．2．问：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2.应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？二、新课教授活动1：观察下图，图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？学生通过观察了解到有一类相似的图形，除具备相似的所有性质外，还有其他特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．每对位似对应点与位似中心共线(位似中心可在形上、形外、形内)；不经过位似中心的对应线段平行．利用位似可以将一个图形放大或缩小．活动2：把图中的四边形ABCD缩小到原来的eq\f(1,2).师生活动：教师提出问题，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过作图理解符合要求的图形不唯一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关(如位似中心O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上)，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，因此，位似中心的确定是关键．分析：把图形缩小到原来的eq\f(1,2)，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2.作法一：如图．(1)在四边形ABCD外任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得eq\f(OA′,OA)＝eq\f(OB′,OB)＝eq\f(OC′,OC)＝eq\f(OD′,OD)＝eq\f(1,2)；(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求作的图形．作法二：如图．(1)在四边形ABCD外任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使得eq\f(OA′,OA)＝eq\f(OB′,OB)＝eq\f(OC′,OC)＝eq\f(OD′,OD)＝eq\f(1,2)；(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求作的图形．作法三：如图．(1)在四边形ABCD内任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得eq\f(OA′,OA)＝eq\f(OB′,OB)＝eq\f(OC′,OC)＝eq\f(OD′,OD)＝eq\f(1,2)；(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求作的图形．三、例题讲解例1如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A，图(2)中的点P和图(4)中的点O.(图(3