高中数学人教A版本册总复习总复习 2023版第2章对数的运算

第2课时对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．[基础·初探]教材整理1对数的运算性质阅读教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列问题．对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)logaxy＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．()【解析】(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知logaxy＝logax＋logay；(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2换底公式阅读教材P65至P66“例5”以上部分，完成下列问题．对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．计算：log29·log34＝________.【解析】由换底公式可得log29·log34＝eq\f(2lg3,lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＝4.【答案】4[小组合作型]对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18;【导学号：97030098】(2)eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg＋2lg2)；(3)log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7log72；(4)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－52log53.【精彩点拨】当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．【自主解答】(1)法一原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.法二原式＝lg14－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2＋lg7－lg18＝lgeq\f(14×7,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)))2×18)＝lg1＝0.(2)原式＝eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg36－2＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,2lg2＋lg3＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,4lg2＋2lg3)＝eq\f(1,2).(3)原式＝log3eq\f(3\f(3,4),3)＋lg(25×4)＋2＝log33－eq\f(1,4)＋lg102＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[再练一题]1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.【解】(1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.对数运算的实际应用一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的eq\f(1,3)(结果保留1个有效数字)？(lg2≈0，lg3≈1)【精彩点拨】由题目可知经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．【自主解答】设物质的原有量为a，经过t年，该物质的剩余量是原来的eq\f(1,3)，由题意可得a·＝eq\f(1,3)a，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))t＝eq\f(1,3)，两边取以10为底的对数得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))t＝lgeq\f(1,3)，∴t(lg3－2lg2)＝－lg3，∴t＝eq\f(－lg3,lg3－2lg2)≈eq\f1,2×0－1)≈4(年)．解对数应用题的步骤[再练一题]2．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝eq\f(2,3)(lgE－．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为级，而2011年3月11日，日本本州岛发生级地震，那么此次地震释放的能量是级地震释放能量的________倍．【解】设级地震所释放的能量为E1,级地震所释放的能量为E2.由＝eq\f(2,3)(lgE1－，得lgE1＝eq\f(3,2)×＋＝.同理可得lgE2＝eq\f(3,2)×＋＝，从而lgE1－lgE2＝－＝6.故lgE1－lgE2＝lgeq\f(E1,E2)＝6，则eq\f(E1,E2)＝106＝1000000，即级地震释放的能量是级地震释放能量的1000000倍．[探究共研型]对数换底公式的应用探究1假设eq\f(log25,log23)＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可以得到什么结论？【提示】进一步可以得到x＝log35，即log35＝eq\f(log25,log23).探究2由探究1，你能猜测eq\f(logcb,logca)与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【提示】eq\f(logcb,logca)＝logab.假设eq\f(logcb,logca)＝x，则logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，则x＝logab，所以eq\f(logcb,logca)＝logab.(1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.【导学号：02962023】【精彩点拨】各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值．【自主解答】(1)由log1227＝a，得eq\f(3lg3,2lg2＋lg3)＝a，∴lg2＝eq\f(3－a,2a)lg3.∴log616＝eq\f(lg16,lg6)＝eq\f(4lg2,lg2＋lg3)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).(2)法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))·log52＋eq\f(log54,log525)＋eq\f(log58,log5125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))log52＋eq\f(2log52,2log55)＋eq\f(3log52,3log55)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(3log52)＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.法二原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\f(lg2,lg5)＋eq\f(lg4,lg25)＋eq\f(lg8,lg125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(lg2,lg5)))＝13.法三原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·log52＝3×eq\f(13,3)＝13.1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab·logba＝1，logab·logbc·logcd＝logad，logambn＝eq\f(n,m)logab，logaan＝n，等，将会达到事半功倍的效果．[再练一题]3.求值：log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9)＝________.【解析】原式＝log252·log32－4·log53－2＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(－4lg2,lg3)·eq\f(－2lg3,lg5)＝16.【答案】161．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是()①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.A．②④ B．①③C．①④ D．②③【解析】∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，故选B.【答案】B2．lgeq\f(25,16)－2lgeq\f(5,9)＋lgeq\f(32,81)等于()A．lg2 B．lg3C．lg4 D．lg5【解析】lgeq\f(25,16)－2lgeq\f(5,9)＋lgeq\f(32,81)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,16)÷\f(25,81)×\f(32,81)))＝lg2.故选A.【答案】A3．(2023·宝鸡高一检测)已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________.(用m，n表示)【解析】loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.【答案】m＋2n4．计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝________.【解析】原式＝(lg2)2＋lg2·(1＋lg5)＋2lg5＝lg2(1＋lg5＋lg2)＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2.【答案】25．已知log189＝a,18b＝5，求log3645.【导学号：97030099】【解】法一∵log189＝a,18b＝5，即log185＝b，于是log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log1818×2)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).法二∵log189＝a,18b＝5，