高中数学北师大版4第二章参数方程 市一等奖

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.在极坐标系中，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(π,6)))的位置，可按如下规则确定()A.作射线OP，使∠xOP＝eq\f(π,6)，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2B.作射线OP，使∠xOP＝eq\f(7π,6)，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2C.作射线OP，使∠xOP＝eq\f(7π,6)，再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM|＝2D.作射线OP，使∠xOP＝－eq\f(π,6)，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2【解析】当ρ＜0时，点M(ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延长线上取|OM|＝|ρ|，则点M就是坐标(ρ，θ)的点，故选B.【答案】B2.若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是()A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.关于过极点垂直于极轴的直线对称D.关于过极点与极轴成eq\f(π,4)角的直线对称【解析】因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)，由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称，故选A.【答案】A3.在极坐标系中，已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(2,3)π))，若P的极角满足－π<θ<π，ρ∈R，则下列点中与点P重合的是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(5,3)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(8,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(5,3)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(4,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(5,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，－\f(4,3)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，－\f(π,3)))【解析】因为－π<θ<π，故只有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，－\f(π,3)))与P点重合.【答案】D4.在极坐标系中，已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，－\f(π,6)))，则OA，OB的夹角为()\f(π,6) \f(π,3) \f(5π,6)【解析】如图所示，夹角为eq\f(π,3).【答案】C5.在极坐标系中与点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,3)))关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2π,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(4π,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5π,6)))【解析】点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,3)))关于极轴的对称点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3))).【答案】B二、填空题6.点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(5π,6)))到极轴所在直线的距离为________.【解析】依题意，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(5π,6)))到极轴所在的直线的距离为d＝6×sineq\f(5π,6)＝3.【答案】37.已知两点的极坐标是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,12)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8，\f(π,12)))，则AB中点的一个极坐标是________.【导学号：12990006】【解析】eq\f(3－8,2)＝－eq\f(5,2)，∴AB中点的极坐标可以写为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(π,12))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(π,12)))8.在极坐标系中，已知点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)π))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，则A，B两点间的距离为________.【解析】由条件可知∠AOB＝90°，即△AOB为直角三角形，所以AB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).【答案】eq\r(5)三、解答题9.在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系.(1)A(2,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)π))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,4)π))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(11,6)π))；(2)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,4)π))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,4)π))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4))).【解】(1)所有点都在以极点为圆心，以2为半径的圆上.(2)所有点都在与极轴的倾斜角为eq\f(π,4)，且过极点的直线上.10.已知A，B两点的极坐标分别是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(5π,6)))，求A，B两点间的距离和△AOB的面积.【解】求两点间的距离可用如下公式：|AB|＝eq\r(ρ\o\al(2,1)＋ρ\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cosθ1－θ2)＝eq\r(4＋16－2×2×4×cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3))))＝eq\r(20)＝2eq\r(5).S△AOB＝eq\f(1,2)|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2×4×sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)×2×4＝4.能力提升]1.在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4)))，那么可能是顶点C的坐标的是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3π,4))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(3π,4)))C.(2eq\r(3)，π) D.(3，π)【解析】如图，由题设，可知A，B两点关于极点O对称，即O是AB的中点.又|AB|＝4，△ABC为正三角形，∴|OC|＝2eq\r(3)，∠AOC＝eq\f(π,2)，点C的极角θ＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,2)＝eq\f(3π,4)或eq\f(5π,4)＋eq\f(π,2)＝eq\f(7π,4)，即点C的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(3π,4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(7π,4))).【答案】B2.已知A，B的极坐标分别是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(π,12)))，则A和B之间的距离等于()\f(3\r(2)＋\r(6),2) \f(3\r(2)－\r(6),2)\f(3\r(6)＋3\r(2),2) \f(3\r(6)－3\r(2),2)【解析】A，B在极坐标中的位置，如图，则由图可知∠AOB＝eq\f(13π,12)－eq\f(π,4)＝eq\f(5π,6).在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，所以，由余弦定理，得|AB|2＝|OB|2＋|OA|2－2|OB|·|OA|·coseq\f(5π,6)＝9＋9－2×9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝18＋9eq\r(3)＝eq\f(9,2)(4＋2eq\r(3))，|AB|＝eq\f(3\r(6)＋3\r(2),2).【答案】C3.已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为______.【导学号：12990007】【解析】如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝eq\f(π,3)，在直线OM上取点P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.点P，Q都满足条件，且∠xOP＝eq\f(π,3)，∠xOQ＝eq\f(4π,3).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)π))4.在极坐标系中，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,4)π))，试判断点B，D的位置是否具有对称性，并求出B，D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈0,2π)).【解】由Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,4)))，知|OB|＝|OD|＝3，极角eq\f(π,4)与eq\f(7π,4)的终边关于极轴对称.所以点B，D关于极