第二章 直线方程、直线及平面关系

两直线共面的条件定理8.0两直线共面的充要条件是行列式形式为：推论8.2两直线相交的充要条件为设直线的一般式方程为其中系数与不成比例。对于任意常数建立三元一次方程：或3平面束由于系数与不成比例，所以对任意常数不同时为零，因此方程(3)表示一个平面。又由于满足的方程的点必满足此平面方程，因此方程(3)一定通过直线的平面。反之，通过直线的平面（除(2)外）都包含在(3)所表示的一族平面中。通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(13)称为通过直线的平面束方程。例7求过直线和点的平面方程。解法一将直线方程化为标准式所以已知直线的方向向量为且过点因此所求平面的法向量为所以所求平面方程为即解法二过已知直线的平面束方程为所求平面过点所以所求平面方程为例8求直线在平面上的投影直线方程。解所求直线在与已知平面垂直的平面上，和已知平面垂直，过已知直线且与已知平面垂直的平面方程，首先求过已知直线的平面束方程为即所求直线方程为因此点的距离为到平面

：Ax+By+Cz+D=0d机动目录上页下页返回结束到直线的距离为点d机动目录上页下页返回结束内容小结

空间平面一般式点法式截距式三点式1.空间直线与平面的方程机动目录上页下页返回结束为直线的方向向量.空间直线一般式对称式参数式为直线上一点;机动目录上页下页返回结束面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系机动目录上页下页返回结束直线线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下页返回结束平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系直线:机动目录上页下页返回结束3.相关的几个问题(1)过直线的平面束方程机动目录上页下页返回结束(2)点的距离为到平面

：Ax+By+Cz+D=0d机动目录上页下页返回结束到直线的距离为(3)

点d机动目录上页下页返回结束二、实例分析例1.

求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:

所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.机动目录上页下页返回结束例2.

求直线与平面的交点.提示:

化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.机动目录上页下页返回结束例3.

求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为①过已知点且垂直于已知直线机动目录上页下页返回结束例4.

求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程机动目录上页下页返回结束例5.

设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量机动目录上页下页返回结束所求为例6.求过直线L:且与平面夹成角的平面方程.提示:过直线L

的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使从而得所求平面方程机动目录上页下页返回结束思路:先求交点例7.求过点且与两直线都相交的直线L.提示