高中数学人教A版第三章函数的应用函数与方程 市一等奖

《用二分法求方程的近似解》教学设计天津一中张娟一、内容与内容解析本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第三章《函数的应用》《函数与方程》中第节《用二分法求方程的近似解》，属于本小节的第三课时.第一课时我们学习了“方程的根与函数零点的关系”，第二课时学习了“函数零点的存在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识.掌握了基本初等函数的图象和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成.二分法是求方程近似解的常用方法，在寻求方程近似解的过程中首先将方程解的问题转化为函数的零点问题处理，体现了函数的思想以及函数与方程的联系.然后借助函数的图象先初步确定函数零点所在的区间，再通过不断地把零点所在区间一分为二逐步缩小区间的范围，使区间的两端点逐步逼近函数的零点，进而得到零点的近似值.这一过程为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫.二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作用.因此决定了它的重要地位.本节课的教学重点：掌握用二分法求给定方程的近似解.二、目标和目标解析（一）教学目标1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，能借助计算器、计算器等工具运用二分法求方程的近似解；并能够根据这样的过程进行实际问题的解决.

2.通过学生的自主探究，初步了解逼近思想、强化函数与方程思想、数形结合的思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力.

3.通过对具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从特殊到一般的认知过程.4.通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感.并在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心.（二）教学目标解析1．本节教学内容的脉络是：先对上节课已经研究的函数的零点问题的研究结论加以回顾，并进一步提出后续问题，即“零点的值究竟是多少”，以开门见山的方式提出问题，引发学生的思考.然后对于如何解决这个问题，以一道生活中的实际问题为背景启发学生寻求解决问题的方法.这样从实际问题迁移到数学问题，调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的兴趣.通过关于方程解的问题引入主题，引导学生以这个问题为线索展开讨论，用生活中的实例作为启发，进而回到方程求解当中，进一步理解二分法的概念、原理及其适用条件，掌握运用二分法求方程近似解的方法.2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非简单复制与灌输．在探究“用二分法求方程的近似解”的方法过程中本着“四主”的教学思想，即以“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”，重点突出学生的“质疑、解疑”和教师的“启发导疑”的求知过程.通过体验求方程近似解的二分法的探究过程，启发学生利用直观想象分析问题，来培养学生的直观想象能力，加强学生对数学通性通法的学习，体验二分法的算法思想，培养学生自主探究的能力．感受方程与函数之间的联系，及数形结合思想的魅力.3.通过师生的“质疑”、“导疑”、“解疑”，最后“规范格式，归纳探究成果”的过程，让学生感受到由特殊到一般的认识规律，体会概括结论和规律的过程，培养学生认识事物的正确方法.4．在探究二分法原理的过程中，通过小组合作交流，同桌协作探究的方式，调动学生学习的积极性和主动性，培养学生的探究精神及协作意识，使学生真正体会二分法的思想，并能体验成功的喜悦.三、教学问题诊断分析学生在学习本节内容之前已经学习了方程的根与函数零点，理解了函数图象与方程的根之间的关系，并且已经具有一定的数形结合思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法比较自然.在用二分法教学时，以学生关心的“方程的解究竟是什么”这个问题为线索，通过“学生质疑—启发导疑—合作解疑”的过程实施教学，学生在学习过程中也许会提出不同意见，比如“为何要二分，四分法或黄金分法行不行”，“近似解近似到何种程度”“怎样表示近似解”，在教学中教师对于上述问题要做好预案，明确“为何二分、怎样逼近、如何终止、怎样表示近似解”几个问题.同时给学生提供充分的实践动手的机会.由于用二分法求方程的近似解是一个繁琐复杂的计算过程，学生在求解时会遇到许多困难，所以本节课借助多媒体、几何画板、计算器等信息技术手段，引导学生观察、计算、思考，理解问题的本质，从而领悟估算和二分的思想，提高数形结合的能力，同时在课程的最后启发学生可以将此繁杂的计算过程通过编程来完成，为后面算法的学习做好铺垫.本节课的教学难点：二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解.四、教法分析“问题是数学的心脏”，也是数学教学的心脏.问题教学，是适应新课改要求的一种数学教学方法，是在课堂教学条件下，创设问题情境，由教师与学生一起发现问题、提出问题，在教师的主导下，分析问题、解决问题.

本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.通过“创设情境，激发探究欲望——合作讨论，引导探究方法——规范格式，归纳探究成果——巩固练习，拓展探究成果——归纳总结，体会探究价值”几个环节来完成.课堂中注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.五、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观形象地突出重点，突破难点、调动学生的学习兴趣，以“几何画板”软件为平台，绘制函数图象，变抽象为直观，体会“数形结合”思想；同时辅之以计算器强大的计算功能，为学生的数学探究与数学思维提供支持.六、教学过程

（一）创设情境，激发探究欲望创设情境：上一节课学习中我们已经知道了函数在（2,3）这个区间内有零点，并且由于它在该区间单调递增，所以它在（2，3）这个区间有且仅有一个零点.那么这个零点究竟是什么呢？我们通过什么手段找到它呢？教师活动：给出思考题作为解决问题方法的启发.思考题:从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，应该如何检查接点？

【设计意图】1.从学生感兴趣的实际问题入手，轻松的进入课堂，不知不觉地进入数学的情境中.2.学生在解决思考问题过程中已经利用了二分法的思想将出现问题的结点的范围不断缩小，并用逼近的原理解决问题.从而有效地渗透了数学思想.3.通过思考题使同学体会数学源于生活服务于生活的本质.（二）合作讨论，引导探究新知问题1：由生活中的问题迁移到数学问题，方程的解究竟是什么？我们如何解决？刚才的思考题对你有何启发？学生活动：将全班分成小组，分组合作探究解答以上问题.问题2：对于例1研究方程的解，你有什么方法？可否利用函数思想，借助上节课所学的函数零点的知识来帮助研究方程的解？学生活动：回忆旧知，迁移到新知.【复习】1.函数的零点方程的实根函数的图象与轴交点的横坐标.2．零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在使得这个就是方程的根.问题3：能否根据思考题的启发先缩小方程的根所在的区间？学生活动：借助计算器求得方程的根.问题4：能否将此根所在区间进一步缩小？学生活动：借助计算器进一步求得方程的根.问题5：能否将此根所在区间再进一步缩小，反复操作使之无限逼近方程的根，从而求出方程的近似解？学生活动：小组互助操作，两人用计算器计算，两人记录方程的解所在的区间.并最后由小组代表总结发言.

问题6：何时终止计算，取得近似解？问题7：近似解的选取，取最后一次，还是其他的？学生活动：由学生发现终止的方法，得出方程的近似解.

预案：对比实际问题，直观的想法：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度（假设取的要求下，我们可以得到零点的近似值.

学生活动：利用计算器，小组间成员互相配合，迅速求解出结果（画表格计算）次数零点所在区间区间中点的值中点函数近似值区间长度（）1（2,3）12（,3）3（,）4（,）5,6,7,8,得出：当时，终止计算.问题8：当时，方程的近似解是多少？学生活动：近似解为或，或最后（，）中的任意实数.问题9：如果当时，方程的近似解又是多少？学生活动：近似解为或，或最后（，）中的任意实数.问题10：如何确定精确度？如何理解精确度？师生活动：只要根据实际问题需要确定精确度即可，同时对于区间满足即可.【设计意图】1.以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，有利于学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解.2.学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦.3.利用计算器运算速度快、精确度高，适合做重复性操作的特点，让学生学会使用计算器做数学，感受现代工具带来的便捷.（三）规范格式，归纳探究成果教师活动：给出二分法的定义二分法：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．学生活动：分析定义中的关键词并归纳二分法的步骤.二分法及步骤：

给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

1．确定区间，，验证·，给定精确度；2．求区间，的中点；3．计算：若，则就是函数的零点；若·<，则令=（此时零点）；若·<，则令=（此时零点）；4．判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2---4.【设计意图】1.让学生从特殊到一般得出求函数零点近似解的的常用方法，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验，这种引出方式自然而易于学生接受.2．（四）巩固练习，拓展探究知识

1.下列函数图象中，不能用二分法求零点的是

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2.用二分法求方程的近似解（精确到）学生解法预案：解:原方程化为令，由于在上是增函数，在内有唯一零点，即方程在内有唯一解，

【设计意图】本环节老师采用教师提问，学生回答的形式，利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法以求达到教学目标.（五）归纳总结，体会探究价值由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.教师活动：通过本节课的学习,谈谈你有何收获与体会?学生活动：经过思索后可能生成以下预案：1.明确二分法是一种求一元方程近似解的常用方法.2.二分法求方程的近似解的步骤，以及计算机（器）的使用，让我们感受到程序化的方法即算法的价值.3.本节课充分体现了数学中的一些数学思想，如函数与方程思想、数形结合思想及无限逼近的思想等.最后将二分法求方程近似解的方法以口诀形式加以总结，进一步提高学生的学习兴趣.口诀：定区间、找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.

周而复始怎么办?精确度上来判断.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.（六）目标检测题

1.书后练习

2.提出数学或生活中的二分法的案例,并尝试解决它.3.探究题：

(1)方程有几个解？

如果有解，全部解的和与积是多少？（精确到）（2）如果将方程改为呢？【设计意图】《用二分法求方程的近似解》教学设计点评张娟老师执教的《用二分法求方程的近似解》是在前面学习了《方程的根与函数的零点》基础上学习的，为本节课的学习奠定了理论基础.教师通过创设具有知识特点和符合认识规律的教学问题情境，使学生对二分法数学知识的产生缘由有了亲身的体验.教师由上一节课探究出的函数在区间（2，3）内仅有一个零点这一结果提出问题，如何找这个零点？教师采用启发式教学方法，引导学生利用函数思想，借助函数零点的知识来研究方程的解，通过学生主动思考、小组合作交流、师生共同探究和提炼方法，得出了二分法的定义，归纳出了用二分法求方程近似解的一般步骤，在这一过程中教师始终是课堂活动的设计者、组织者、引导者和评判者，学生积极参与教学，真正成为课堂的主体.同时以函数计算器和计算机为支撑平台，为解决教学重点、突破难点起到了辅助作用，提高了教