高中数学苏教版第二章平面向量单元测试 全国公开课

2．向量的减法上节课我们学习了向量加法的概念，并给出了求作和向量的方法．如果河水的流速为2km/n，要想船以6km/n的速度垂直驶向对岸，如何求船本身的速度和方向呢？1．与a______________的向量，叫做a的相反向量，记为________，零向量的相反向量是________．答案：长度相等、方向相反－a零向量2．－(－a)＝________，a＋(－a)＝________＝________．答案：a－a＋a03．____________________，叫做a与b的差，即a－b＝________，求两个向量差的运算，叫做________________________________．答案：向量a加向量b的相反向量a＋(－b)向量的减法运算4．向量减法的几何意义是____________________________．答案：a－b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量(a，b的起点相同)5．由向量加减法的法则知，对于所有向量a，b，则||a|－|b||，|a±b|，|a|＋|b|的大小关系是_______________________________________________________________________________________________.答案：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|向量的减法1．向量减法的定义．向量的减法是向量加法的逆运算．若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．2．向量减法运算的几何意义．如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．向量减法的三角形法则的内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AB,\s\up6(→))等于________．答案：－a－b2．已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(EF,\s\up6(→))等于________．答案：b－c3．已知向量a，b满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2,a与b的夹角为60°，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝________．答案：eq\r(3)4．已知下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；(4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)).其中结果为0的序号为________．答案：(1)，(4)5．化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CO,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)).解析：(1)原式＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).(2)原式＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→)).eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)6．已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列结论正确的为________(填序号)．①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)．②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c.③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.答案：①②③7．若a≠0，且b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．解析：如右图，由|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.又∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.8．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.解析：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD.则eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.又四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝8，由勾股定理得|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AD,\s\up6(→))|2))＝eq\r(62＋82)＝10.∴|a－b|＝10.9．如下图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(MN,\s\up6(→)).解析：连接CN，∵N是AB的中点，∴AN綊DC.∴四边形ANCD是平行四边形，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b.又eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a－b.10．O是△ABC内一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.判断O是△ABC的什么心．解析：O是△ABC的重心，如图，延长CO至点D，使|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，交AB于点M.下面证明点M为线段AB的中点．事实上，由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).根据向量加法的平行四边形法则，可知：点M为线段AB的中点．也就是说，CM为△ABC的中线．同理可证：AO、BO所在直线分别过△ABC相应边的中点．从而O是△ABC的重心．11．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，试求△ABC的内角A的度数．解析：由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，知点O为△ABC重心，又O为△ABC外接圆的圆心，即△ABC三边垂直平分线的交点，∴△ABC为等边三角形．∴A＝60°.12．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，求证；(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.解析：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CA＝CB.又因为M是斜边AB的中点，所以CM＝AM＝BM.(1)因为a－b＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，又|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|，所以|a－b|＝|a|.(2)因为M是斜边AB的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).所以a＋(a－b)＝eq\o(C