高中数学高考二轮复习 5

1.【2023湖南湘潭凤凰中学月考】下列命题正确的是（）A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台【答案】B【解析】底面是等边三角形，且各侧面全等才是正三棱锥，Ａ错；选项还要保证各侧面的公共边互相平行，Ｃ错；截面要平行底面，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，Ｄ错．2.【2023成都市第一次诊断性检测】若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由题意可得，A是正方体，B是三棱柱，C是半个圆柱，D是圆柱，C不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C.3.【2023辽宁省大连市期末】若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A.B.C. D．【答案】Ｃ【解析】可得直观图中等腰梯形的下底为，据斜二测画法规则，可知原平面图形为直角梯形，上底为１，下底为，高为２，所以其面积为4.【2023四川宜宾市第一次诊断测试】一个三棱柱的侧视图、俯视图如图所示，则三棱柱的表面积是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由正视图知：几何体是以底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的正三棱柱，所以底面积为2××22=4，侧面积为3×（2+2+2）=，所以其表面积为．5.【2023浙江省嘉兴市第一中学等五校高三上学期第一次联考】如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为()【答案】B【解析】由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体，由俯视图可得，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1，所以选B.6.【2023江西省九校联考】半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方体一底面的中心即球的球心，设球的半径为R，正方体的棱长为a，则有，得，所以半球的体积与正方体的体积之比.7.【2023一中高三上期半期考试】若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()cm44322正视图侧视图俯视图A.B.C.D.【答案】B【解析】由三视图可知此几何体是：底面半径为2，高为3得圆锥的一半，所以其体积为，故选B.8.[2023河北省衡水中学四调考试]在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足的点P的个数为 A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】若点P在棱AD上，设AP=x，则，所以，解得，同理点P可以是棱的中点，显然点P不能在另外六条棱上，故选B.9.【2023山西大学附中月考】在三棱锥中，侧棱两两垂直，，则三棱锥的外接球的表面积为【答案】14π【解析】三棱锥P-ABC的外接球即为以P-ABC为顶点的长方体的外接球，所求球的直径为，则球的表面积为.10.【2023四川石室中学“一诊”模拟考试】正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）=1\*GB3①当时，为矩形，其面积最大为1；=2\*GB3②当时，为等腰梯形；=3\*GB3③当时，为六边形；=4\*GB3④当时，设与棱的交点为，则。【答案】②④【解析】当时，为矩形，其最大面积为1，所以①错误；当时，截面如图所示，所以②正确；当时，截面如图，所以③错误；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1∩QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴④正确；综上可知正确的序号应为②④..11.【2023福建省南安第一中学期末】已知是两条异面直线，，那么与的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能相交【答案】C【解析】若c与b平行，而，据公理4则a与b平行，这与是两条异面直线矛盾，所以选C.12．【2023福建南平质检】已知命题：，为异面直线，命题：直线，不相交，则是的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，为异面直线，则，不相交；反之，若，不相交，则，可能是异面直线，也可能是平行直线.故选A.13.【2023辽宁大连市第二十高级中学期末】在空间内,可以确定一个平面的条件是（A）三条直线,它们两两相交,但不交于同一点（B）三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交（C）三个点 （D）两两相交的三条直线【答案】A【解析】对于A，交于不在一直线的三点，这三线可确定一个平面，正确；若两异面直线与第三线相交，则不能确定一个平面，B错；若三点在一直线上不能确定一平面，C错；若两两相交的直线交于一点，这三线也不一定能确定一平面，错.14．【2023郑州模拟】设，是两个不同的平面，是一条直线，给出以下命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中，正确命题的个数是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】对于①，可能还有；对于②，同样可能还有；③是正确的；对于④，直线与平面的关系：，，，与相交都有可能.因此只有命题③正确.故选A.15.【2023辽师附中期中考试】设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是()．A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【答案】B【解析】对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；

对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选B．16.【2023河北省唐山一中高三上学期12月调研考试】对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是()A．若则B．若,则C．若则D．若,则【答案】A【解析】根据线面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A错误．

B．根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面α外，所以B错误．

C．根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确．D．根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行．所以D错误．17．【2023黑龙江佳木斯市一中第三次调研】如图，E，F分别是三棱锥的棱、的中点，，，，则异面直线与所成的角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】取中点，连接，，则，，且或其补角为异面直线与所成的角，因为，所以，故其补角为异面直线与所成的角且等于，故选C.18.【2023上海市六校联考】如图所示，在直三棱柱中，，，分别为的中点，给出下列结论：①平面；②；③平面平面，其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图所示，由于为直三棱柱，，，分别为的中点，得，所以平面，①正确，又因为，且平面，所以可证得，所以②正确，由得平面平面，所以③正确，正确命题共有3个，故选D.19.【2023河南、河北、山西三省高考考前质量监测（一）】【答案】C【解析】因为AB、DE都垂直平面ACD，所以DE∥AB，所以DE平行平面ABF，①正确；当F为CE的中点时，取CD的中点G，连AG，FG，于是FG∥DE，则AB∥DE，且，所以ABFG为平行四边形，则AG∥BF，又AC=AD，所以AG垂直CD，又DE垂直平面ACD，所以AG垂直DE，所以AG垂直平面CDE，则BF垂直平面CDE,②正确；因为AC与平面CBE交于C，而BF在平面CBE内，所以直线BF与AC不可能平行，所以③错；当F为CE中点时，由②知BF垂直平面CDE，则DF垂直BF，而CD=DE，所以DF垂直CE，于是DF垂直平面CBE，则DF垂直BC,④正确.选C.20.【2023江西临川二中与考】设，，是三个平面，，是两条不同直线，有下列三个条件：①，；②，；③，.如果命题“，，且________，则”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的题号填上）．【答案】①或③【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当，时，和在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.21.【2023江西新余四中月考】如图，在正方体中，给出以下四个结论：①直线平面②直线与平面相交③直线平面④平面平面上面结论中，所有正确结论的序号为.【答案】①④.【解析】因为面平行面,所以①对；直线在平面内，②错；显然AD不垂直BD,所以AD不会垂直平面，③错；因为BC平面，所以平面平面,④对.22．【2023甘肃嘉峪关一中期末】若直线不平行于平面，且，则（）（A）内的所有直线与异面（B）内不存在与平行的直线（C）与直线至少有两个公共点（D）内的直线与都相交【答案】B【解析】据直线与平面的三种位置关系，因为，所以直线平行平面，或直线与平面相交，又直线不平行于平面，所以直线只能与平面相交，于是直线与平面只有一个公共点，所以C错.又如图，平面内的直线分别与直线相交和异面，所以A,D也错，于是选B.23．【2023云南昆明一模】如果△ABC的三个顶点到平面的距离相等且不为零，那么△ABC的()A、三边均与平行B、三边中至少有一边与平行C、三边中至多有一边与平行D、三边中至多有两边与平行【答案】B【解析】若三角形所在平面平行于平面，即三边均与平行，三顶点到平面的距离相等；若三角形的两顶点在平面一侧，另一顶点在平面另一侧，也可以满足三顶点到平面的距离相等，此时三角形存在一边平行平面，所以选B.24.【2023江西新余一中第三次段考】【答案】D25.【2023浙江省嘉兴市第一中学等五校第一次联考】已知直线，平面满足，则“”是“”的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，若，两面α、β可能平行可能相交，所以充分性不满足，若，则l⊥β,由线面垂直的性质可得，所以必要性满足，综上知选C.26.【2023四川省绵阳中学高三第五次月考】设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若则；②若则；③若，，则；④若则．其中真命题个数是（）．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】若，则可以垂直也可以平行.故①错；若，则可以相交也可以平行，只有直线相交才有故②错；若，，则；故③正确；若则，故③正确.所以正确命题有两个，故选择B．27.【2023辽宁省五校协作体高三期中考试】设l为直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是A．若,,则 B．若,,则C．若,,则 D．若,,则【答案】D【解析】若,，则,可能平行、可能相交，故A不正确；若,,则与相交都有可能,故B不正确；若,,则，故C不正确；只有D正确.所以选D.28.【2023绵阳市高中第二次诊断性考试】已知是两个不同点平面，下列条件中可以推出的是（A）存在一条直线a，；（B）存在一个平面；（C）存在两条平行直线a，b,;（D）存在两条异面直线a，b,【答案】D【解析】由a∥α，a⊥β，得到α⊥β，选项A错误；

由γ⊥α，γ⊥β可得α∥β或α与β相交，选项B错误；

由a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α可得α∥β或α与β相交，选项C错误；

对于D，如图，

a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，在β内过b上一点作c∥a，则c∥α，

则β内有两相交直线平行于α，则有α∥β．

选项D正确，

故选：D．29．【2023惠州市第三次调研考试】下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.30.【2023银川一中期末】如图，正方体ABCD－中，E，F分别为棱AB，的中点，在平面内且与平面平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条【答案】D【解析】在上取一点G，使得，连EG，DG，可证得，所以共面，于是在平面内，平行的直线均平行平面，这样的直线有无数条.31.【2023江苏省扬州中学第一学期质量检测】已知为直线，为平面，给出下列命题：①；②；③④其中正确的命题是（填写所有正确的命题的序号）【答案】②③【解析】命题①或，故不正确；命题②，由线面垂直的性质定理易知正确；命题③，由线面垂直的性质定理易知正确；命题④或m、n异面，所以不正确．故答案为②③．32.【2023武汉一模】如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．【答案】eq\f(2\r(2),3)a【解析】如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3)，∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2\r(2),3)a.33．【2023广州模拟】如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1【答案】M∈线段FH【解析】连接FH，HN，FN，由平面HNF∥平面B1BDD1知当M点满足在线段FH上时，有MN∥面B1BDD1.34.【2023梅州一模】设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.故选B.35.【2023广东揭阳一中期末】设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【答案】B【解析】对于A，还可以相交，错；对于C，有或，错；对于D，与的关系是不确定的，可任意，错.选B.36.【2023海南省文昌中学月考】下列命题中错误的是()A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误，故选D.37．【2023山东潍坊第一直中学月考】PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.A．①②B．①③C．②③D．②④【答案】A【解析】易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC，又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB，因此选A.38.【2023广东实验中学高三阶段考试（一）】已知直线平面，直线平面，则“”是“”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】直线平面，，则，又直线平面，所以；反之，若，与还可以异面，或与相交（即平面）.所以选C.39.【2023福建泉州五校高中毕业班摸底】若m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下面命题中的真命题是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，则【答案】C【解析】A中，只有当m垂直于的交线时，才有，A错；B中，可能相交，如三棱柱的三个侧面，故B错；C中，根据直线与平面垂直的定义可知C正确；D中，可能平行，也可能相交.40.【2023辽宁师大附中高三上学期期中考试试题】已知平面,则下列命题中正确的是() A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项中b可能跟斜交，B选项中可能与垂直，C选项中a可能与b不垂直，故D选项正确，故选D.41.【2023广东省广州市执信中学期末】下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确的是（）Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．③和④Ｄ．②和④【答案】D【解析】据面面垂直的判定定理知②正确，对于④，若此线垂直另一平面则一定垂直交线，显然矛盾，所以④正确.42.【2023河南省周口中英文学校第三次月考】如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】过A作AE垂直BD于E，因为平面ABD垂直平面BCD，所以AE垂直平面BCD，即AE垂直CD，又BD垂直CD，所以CD垂直平面ABD，所以CD垂直AB，又AB垂直AD，所以AB垂直平面ADC，从而平面ADC垂直平面ABC43.【2023河北故城高级中学月考】如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A1B⊥B1D1．(【答案】对角线AC与BD互相垂直【解析】当对角线AC与BD互相垂直，且,所以，易得，所以.44.【2023合肥一模】如图，在直角梯形中，，，、分别是、的中点，将三角形沿折起.下列说法正确的是．（填上所有正确的序号）①不论折至何位置（不在平面内）都有平面；②不论折至何位置都有；③不论折至何位置（不在平面内）都有；④在折起过程中，一定存在某个位置，使.【答案】①②④【解析】如图，Q，P分别为CE，DE中点，可证是矩形，所以①②正确；当平面平面时，有，④正确.故填①②④.45.【2023成都市一诊】【答案】B【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则H(4，0，3)，P(x,4,z)，F(1，4，3)，又P到平面CDD1C1的距离等于PF的长，所以有，得，所以，当x=3时，最小为22.46.【2023辽宁师大附中高三上学期期中考试试题】已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有条。（）A．0B．1C．2【答案】B【解析】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，

则D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F（2，2，1），=（2，2，-1），设，则M（2-λ，2λ，2-2λ），

设，则N（2t，2t，2-t），

∴=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t），

∵直线MN与平面ABCD垂直，∴，解得λ=t=，

∵方程组只有唯一的一组解，∴与平面ABCD垂直的直线MN有1条．故选：B．47.【2023黑龙江双鸭山一中高三数学期末试题】如图：四棱锥中，（1）证明：平面（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于，若存在，指出点位置，若不存在，请说明理由.解：(1）证明：取线段BC中点E，连结AE．因为AD＝，∠PDA=30°，所以PA=1．因为AD∥BC，∠BAD=150°所以∠B=30°．

又因为AB=AC，所以AE⊥BC，而BC＝2，所以AC＝AB＝=2，因为PC＝，所以PC2=PA2+AC2，即PA⊥AC．

因为PA⊥AD，且AD，AC⊂平面ABCD，AD∩AC=A，所以PA⊥平面ABCD．

（2）解：以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系如图所示，则P(0，0，1),B(1，,,0),处（1，,，0），D(0，,,0)，设，因为点F在线段PD上，设,可得，即，所以，设平面PBC的法向量为，则有，即，令x=1，得，因为直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于，所以，解得，所以点F是线段PD的中点．.48.【2023绵阳市第二次诊断性考试】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PD底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点，作EFPB,垂足为F,求证：平面;求二面角的余弦值解：（1）如图，连结AC、BD交于O，连结OE．由ABCD是正方形，易得O为AC的中点，从而OE为△PAC的中位线，∴EOBACPDEFOxyz2023湖北省部分重点中学期末联考】BACPDEFOxyz如图1，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=，D为边SC上的点，且AD⊥SC，现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得PA⊥AB.（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，当线段PB取得最小值时，请解答以下问题：①设点E满足，则是否存在λ，使得平面EAC与平面PDC所成的锐角是？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由；②设G是AD的中点，则在平面PBC上是否存在点F，使得FG⊥平面PBC？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由.50.【2023吉林东北师大附中第一次模拟】在四棱锥S—ABCD中，SA底面ABCD，ADAB,AD∥BC，AD=1，AB=BC=2,（I）求直线BS与平面SCD所成角的正弦值（II）求面SAB与面SCD所成二面角的正弦值解：（Ⅰ）设SA=m，∵SA2=DS2+DB2﹣2DS•DBcos＜＞，∴4+m2=1+m2+5﹣2××，解得m=2，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），B（0，2，0），=（0，﹣2，2），=（1，2，0），=（﹣1，0，2），设平面SCD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则=（2，﹣1，1），设直线BS与平面SCD所成角为θ，则sinθ===．（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，∴平面SAB的法向量为=（1，0，0），cos＜＞==，平面SAB与面SCD所成的二面角的正弦值为=．51.【2023豫东、豫北十所名校联考】如图，在四棱锥P-ABCD中，ADDB，其中三棱锥P-BCD的三视图如图所示，且(1)求证：ADPB(2)若PA与平面PCD所成角的正弦值为，求AD的长解：由三视图可知又，又。(2)由(1)可知，PD,AD,BD两两互相垂直，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系.设AD=,结合sin∠BDC=可得.所以设为平面PCD的法向量，由题意得即，令y=3,则x=4,z=0，得平面PCD的一个法向量.设PA与平面PCD所成角为，可得，解之得，即AD=6.52.【2023福建泉州五校毕业班摸底统一考试】如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。解：（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.………3分（2）由（=1\*ROMANI）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，设平面A1BC1的法向量为，则,即，令，则，，所以.………6分同理可得，平面BB1C1的法向量为,所以.由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.………8分(3)设D是直线BC1上一点，且.所以.解得，，.所以.由，即.解得.………11分因为，所