高中数学北师大版第三章概率古典概型 2023版第3章2建立概率模型

建立概率模型1．进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点)2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决．(重点、难点)[基础·初探]教材整理概率模型阅读教材P134～P137“思考交流”以上部分，完成下列问题．由概率模型认识古典概型(1)一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．(3)树状图是进行列举的一种常用方法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．()(2)树状图是进行列举的一种常用方法．()(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂．()(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．()【解析】(1)√，由古典概型的特征知(1)正确．(2)√，用树状图进行列举直观形象．(3)×，结果越多问题就越复杂．(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√[小组合作型]“有放回”与“不放回”的古典概型从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次.【导学号：63580037】(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【精彩点拨】利用列举法列举出所有可能出现的事件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．【自主解答】(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A由4个基本事件组成．因而P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝eq\f(4,9).1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．[再练一题]1．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是eq\f(1,6).(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．【解】(1)设红色球有x个，依题意得eq\f(x,24)＝eq\f(1,6)，解得x＝4，∴红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，∴P(A)＝eq\f(5,12).“有序”与“无序”问题将一颗骰子(它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，观察向上的点数．(1)求两数之积是6的倍数的概率；(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y，则logx2y＝1的概率是多少？【精彩点拨】列出一颗骰子先后抛掷两次的36种结果，然后根据题目要求找出所求事件所包含的基本事件的个数即可．【自主解答】(1)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由图①可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，即两数之积是6的倍数的概率为eq\f(5,12).6612182430365510152025304481216202433691215182246810121123456积123456①(2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“第一次，第二次抛掷向上的点数分别为x，y，且logx2y＝1”为事件B，则满足logx2y＝1的x，y有(2,1)，(4,2)，(6,3)三种情况，所以P(B)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y且满足logx2y＝1的概率是eq\f(1,12).若问题与顺序有关，则a1，a2与a2，a1为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，则a1，a2与a2，a1表示同一个基本事件.[再练一题]2．任意投掷两枚质地均匀，六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子．(1)求出现的点数相同的概率；(2)求出现的点数之和为奇数的概率．【解】(1)任意投掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，因此可以看成是等可能事件．其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)，其中点数相同的数组为(i，i)(i＝1,2，…，6)，共有6种结果，故出现点数相同的概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)法一：出现的点数之和为奇数由数组(奇，偶)、(偶，奇)组成(如(1,2)，(2,3)等)．由于每枚骰子的点数中有3个偶数，3个奇数，因此出现的点数之和为奇数的数组有3×3＋3×3＝18(个)，从而所求概率为eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).法二：由于每枚骰子的点数分奇、偶数各3个，而按第1枚、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数，奇数)、(奇数，偶数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)这四种等可能结果，因此出现的点数之和为奇数的概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).[探究共研型]建立概率模型探究1掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是多少，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？【提示】基本事件为出现1,2,3,4,5,6点，共6个基本事件，这6个基本事件出现的可能性相同．其概率都为eq\f(1,6).探究2掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是奇数还是偶数，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？【提示】基本事件为“向上的点数是奇数”和“向上的点数是偶数”，有2个基本事件，这两个基本事件是等可能性的，所以发生的概率都为.探究3在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？为什么？【提示】不一定，因为一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验的结果)是人为规定的．只要基本事件的个数是有限的，每次试验只有一个基本事件出现，且发生是等可能的，就是一个古典概型．有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．【思路点拨】用树形图表示所求事件的可能性，利用概率模型计算便可．【自主解答】将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．等可能基本事件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).eq\x(A)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(C)—\x(D),,—\x(D)—\x(C))),—\x(C)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\x(D),—\x(D)—\x(B))),—\x(D)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\x(C),—\x(C)—\x(B)))))eq\x(B)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(C)—\x(D),,—\x(D)—\x(C))),—\x(C)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(D),—\x(D)—\x(A))),—\x(D)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(C),—\x(C)—\x(A)))))a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位eq\x(C)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\x(D),,—\x(D)—\x(B))),—\x(B)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(D),—\x(D)—\x(A))),—\x(D)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(B),—\x(B)—\x(A)))))eq\x(D)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(B)—\x(C),,—\x(C)—\x(B))),—\x(B)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(C),—\x(C)—\x(A))),—\x(C)—\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(A)—\x(B),—\x(B)—\x(A)))))a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位1．解答古典概型时，要抓住问题实质，建立合适的模型，以简化运算．2．本题属于对号入座问题，情况较为复杂，所包含的基本事件较多，为清楚地列举出所有可能的基本事件，可借助于树形图处理．[再练一题]3．甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率．(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．【解】利用树状图来列举基本事件，如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁),(甲，乙，丁，丙),(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙),(甲，丁，乙，丙),(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲),(乙，丁，丙，甲),(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲),(丁，乙，丙，甲),(丁，丙，乙，甲)，故甲在边上的概率为P＝eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙),(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲),(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙),(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).1．一个家庭有两个小孩，则这两个小孩性别不同的概率为()\f(3,4) B．eq\f(1,2)\f(1,3) \f(1,4)【解析】这两个小孩的所有可能情况是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4种，其中性别不同的有两种，所以两个小孩性别不同的概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).【答案】B2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()\f(1,12) B．eq\f(5,12)\f(7,12) \f(5,6)【解析】由题意知基本事件个数有12个，满足条件的基本事件个数就一个，故所求概率为P＝eq\f(1,12).【答案】A3．甲乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是_______