2017-2018版高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE22学必求其心得，业必贵于专精PAGE6．1垂直关系的判定学习目标1。掌握直线与平面垂直的定义、判定定理。2。掌握平面与平面垂直的概念、判定定理。3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．知识点一直线与平面垂直的定义思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动,在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？梳理线面垂直的概念定义如果一条直线和一个平面内的______________直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直记法有关概念直线l叫作平面α的________，平面α叫作直线l的________,它们唯一的公共点P叫作________图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？梳理判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的______________都垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b,aα，bα，a∩b＝A⇒l⊥α图形语言知识点三二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？思考2平时，我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点？梳理(1)定义：从一条直线出发的______________所组成的图形．(2）相关概念：①这条直线叫作二面角的________．②两个半平面叫作二面角的________．(3)二面角的记法以直线AB为棱,半平面α，β为面的二面角，记作二面角α－AB－β.(4）二面角的平面角：若有①O________l；②OA______α,OB________β;③OA________l，OB________l，则二面角α－l－β的平面角是________．知识点四平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”,用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？梳理(1)平面与平面垂直的概念①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记法：________.(2)判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条________,那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l⊥α，________⇒α⊥β类型一线面垂直的判定例1如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点,求证：BC⊥平面PAC。引申探究若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.反思与感悟(1）使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．（2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．跟踪训练1如图,已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E,作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF。类型二面面垂直的判定例2如图所示，在四棱锥S－ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD,E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD。反思与感悟（1）由面面垂直的判定定理知,要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．（2）证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．跟踪训练2如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°,AC＝eq\f（1,2)AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.类型三与二面角有关的计算例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．反思与感悟(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值,其步骤为作角→证明→计算．（2）为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．跟踪训练3如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点,且PA＝AC,求二面角P－BC－A的大小．1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(）①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③ B．②C．②④ D．①②④2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有(）A．1对 B．2对C．3对 D．5对3．如图，α∩β＝l，点A,C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面 B．平行C．垂直 D．不确定4．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝eq\r(73）,AB＝10，BC＝8，CA＝6,则二面角P－AC－B的大小为________．5.如图,在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点．求证：平面EFC⊥平面BCD.1.直线和平面垂直的判定方法:（1）利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理;(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α,则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β。2．证明两个平面垂直的主要途径：（1)利用面面垂直的定义;(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的．答案精析问题导学知识点一思考不变，90°。梳理任何一条l⊥α垂线垂面垂足知识点二思考1不一定．思考2当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理两条相交直线知识点三思考1二面角．思考2二面角的平面角．梳理（1)两个半平面（2）棱面（4）∈⊥⊥∠AOB知识点四思考都是垂直．梳理(1)①直二面角③α⊥β（2)垂线lβ题型探究例1证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC。而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究证明由例1知BC⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,∴BC⊥AE。∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C,∴AE⊥平面PBC。跟踪训练1证明由引申探究知AE⊥平面PBC。∵PB平面PBC,∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A,∴PB⊥平面AEF。例2证明连接AC，与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点,E为SA的中点,∴EO∥SC。∵SC⊥平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD.又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.跟踪训练2证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1,所以DC1⊥BC。由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC。又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC。又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC。例3解取A1C1的中点O,连接B1O,BO.由题意知B1O⊥A1C1,又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝eq\f（\r(2），2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f（BB1,OB1）＝eq\f（a,\f（\r(2)，2）a)＝eq\r(2），所以二面角B－A1C1－B1的正切值为eq\r(2).跟踪训练3解由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC。∵AB是⊙O的直径,且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A,∴BC⊥平面PAC.而PC平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°。当堂训练1．A2。D3.C4．60°解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点．取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠AQO＝90°,即OQ⊥AC.又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角．∵PA＝eq\r（73），AQ＝eq\f（1,2）AC＝3，∴PQ＝8。又∵OQ＝eq\f（1，2)BC＝4,∴cos∠PQ