2017-2018版高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例学案3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9学必求其心得，业必贵于专精PAGE1。3中国古代数学中的算法案例［学习目标]1．了解割圆术中无限逼近的数学思想．2．理解更相减损术的含义，了解其执行过程．3．掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．［知识链接］1．20和30的最大公约数为10.2．已知函数f（x)＝x2＋2x－1，计算f（1）的值时用了2次乘法和2次加法运算；当函数变为f(x）＝(x＋2）x－1，求f（1）时，用了1次乘法运算和2次加法运算．[预习导引]1．更相减损术第一步,任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步,以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．2．割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步逼近圆面积,最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少,割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”．3．秦九韶算法把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：（…（（anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0,求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝v0x＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…vn＝vn－1x＋a0。这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.要点一求两个正整数的最大公约数例1用更相减损术求261和319的最大公约数．解319－261＝58，261－58＝203,203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29,29－29＝0，所以319与261的最大公约数是29.规律方法利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是:首先判断两个正整数是否都是偶数．若是,用2约简．也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．跟踪演练1用更相减损术求80和36的最大公约数．解80÷2＝4036÷2＝1840÷2＝2018÷2＝920－9＝1111－9＝29－2＝77－2＝55－2＝33－2＝12－1＝11×2×2＝4所以80与36的最大公约数为4。要点二秦九韶算法例2已知一个5次多项式为f（x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1。7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．解将f(x)改写为f（x）＝(（(（4x＋2）x＋3.5)x－2。6)x＋1。7)x－0。8，由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值：v0＝4；v1＝4×5＋2＝22;v2＝22×5＋3。5＝113.5；v3＝113.5×5－2。6＝564。9；v4＝564。9×5＋1.7＝2826。2；v5＝2826。2×5－0.8＝14130.2.∴当x＝5时,多项式的值等于14130。2.规律方法1.先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外,一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝5代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算,则可提高运算效率．2．注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·xn。跟踪演练2用秦九韶算法计算f（x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为(）A．5,4 B．5,5C．4，4 D．4，5答案D解析n次多项式需进行n次乘法;若各项均不为零,则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f（x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4。故选D。1．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是（）A．准确值 B．近似值C．循环小数 D．有理数答案B2．自然数8251和6105的最大公约数为（）A．37 B．23C．47 D．111答案A解析利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37。3．用秦九韶算法求多项式f(x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为(）A．－57 B．220C．－845 D．3392答案B解析v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79,v4＝v3x－8，∴v4＝220.4．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是（)A．2 B．3C．4 D．5答案C解析∵（294，84)→（210,84)→（126，84)→(42，84）→（42，42），∴需做4次减法．5．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为__________．答案先除以2，得到18与67解析∵36与134都是偶数，∴第一步应为：先除以2，得到18与67.1．更相减损之术求两个正整数的最大公约数时,当两个整数的差值较大时，运算次数较多．2．秦九韶算法用于计算高次多项式的值，它能把高次式的和转化成一次式的积．在使用秦九韶算法时，如果缺少某