第八章刚体的平面运动

第八章

刚体的平面运动Planemotionofarigidbody§8-1刚体平面概述Introductiontoplanemotionofarigidbody共同特点：在运动中刚体上任意一点与某固定平面始终保持相等距离。说明显然，许多作平动或作定轴转动的刚体也满足刚体作平面运动的定义。它们是平面运动的特殊情况。但是，为了不造成混淆，约定：若作平面运动的刚体满足平动或定轴转动定义，则只称其作平动或定轴转动。

平面运动问题研究的简化

平面运动的运动方程图示平面有一平面图形。Oyx可用一条直线O’M确定其位置。而直线O’M的位置可用O’点的位置和直线与x轴的夹角所确定。O’MO’O’MO’MO’MO’O’O’xO’=f

1(t)yO’=f

2(t)

=f

3(t)

平面运动的分解（1）=常量时，即平面图形的运动完全由点

O’

的运动确定，平面图形随点O’

作平动；xO’=f

1(t)yO’=f

2(t)

=f

3(t)OyxO’M（2） 点O’固定不动时，平面图形绕O’点作定轴转动。可见：平面图形的平面运动可分解为平动和转动。对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O’，称为基点。若把平面图形的运动看作绝对运动，它是由图形随过基点的动系的牵连平动和绕基点的相对转动的合成。OyxO’Mx’y’平面图形的平面运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动

Mx’y’MMx’y’车轮的平面运动随基点A的平动绕基点A'的转动=+ⅠⅡ这一运动过程可视为图形先随基点A作平动。同样，这一运动过程又可视为图形先随基点B作平动。再绕基点B’作定轴转动，转过角度为Δ’

。显然，AA’≠BB’

而Δ=Δ’上述两种运动分解方式，得到相同的结果。而实际上平动和转动是同时进行的。再绕基点A’作定轴转动，转过角度为Δ

。当Δt→0，将AA’≠BB’,Δ=Δ’

同时除以Δt并取极限

vA≠vB

A=B

与aA≠aB

A=B

平面图形的平面运动可取任意的基点分解为平动和转动，其中平动的速度和加速度与基点的选择有关；而平面图形的角速度和角加速度与基点的选择无关,一般情况下选运动情况已知的点作为基点。曲柄连杆机构AB杆作平面运动平面运动的分解§8-2求平面图形内各点速度的基点法O’MMM选基点O’，∵牵连运动为平动，

∴M点的牵连速度等于

基点O’的速度vO’而点M的相对速度就是相对O’点转动的平面图形上

M

点的速度vMO’，显然vMO’=O’M·vO’vO’vMO’vM即vM=vO’+

vMO’

一、基点法O’vO’vO’vMO’vMO’vO’vO’vMO’vM该方法称为基点法或叫作速度合成法

通常对于平面图形内的任意两点A

和B

有

vB=vA+vBA

注意：

vBA

≠vAB平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。图示机构，已知vA

水平向左，杆长AB=l。求：vB

及AB杆的角速度

。BAxy例vAvAvBAvB解：

选A点为基点，求B点的速度，运动分析

vB=vA+vBA

vAvBvBAvAvBAvBvAvBAvB解得vB=vA

cot

vBA

=vA/sin√√√方向大小？？√故图示机构，曲柄OA以角速度

=6rad/s

转动，带动直角板ABC和摇杆BD。已知OA=10cm，AC=15cm，BC=45cm，BD=40cm。图示位置OA⊥AC，BD∥AC。求该瞬时点B、C的速度，平板的角速度ABC和BD杆的角速度BD

。例OACBD1、求B点速度

vB=vA+vBAOACBDvAvAvBAvB将上式向BD投影0=vA

－vBA

cos√√√方向大小？？OA·

故向水平轴投影

vB=vBA·sin=20(cm/s)

例8-2(续3)2、求C点速度

OACBDvAvCAyxijvCvCvC

vC=vA+vCA

？√√方向大小？OA·

AC·ABCvA例：机构如图，三角块以速度v向右运动，轮（轮的半径为r

）。在块上纯滚，A、O、B在同一直线上，求图示瞬时轮心O和B点的速度。解：

1、由于轮在三角块上纯滚动，所以接触点A的速度30°AOBv以A点为基点，求O点的速度vAvOvOAvAvAvAvAvAvOvAvOvAvOvOA解得故轮的角速度为

ω

ω

ω

ω√√√方向大小？？2、以A点为基点，求B点的速度vA30°AOBvvA

ωvOAvBAvBvAvBAvB∴B点的速度为例8-3(续1)

？√√方向大小？例8-3(续2)也可以以O点为基点，求B点的速度。30ºAOByxvOvOvBOvBvBxvByvOvBO向

x

轴投影

vBx=vO

cos30°=v/2向y

轴投影

vBy=vOsin30°+vBOvOvBOvBxvByvOvOvBOvBxvBy

vBx+vBy

=vO+vBO

√√√√方向大小？？二、速度投影法将速度vB

向线段AB投影(

vB)AB=(vA

+vBA

)AB因为(vBA

)AB=0所以(vB)AB

=(vA

)ABABvAvAvBAvB同一平面上，任意两点的速度在这两点的连线上的投影相等。上面的定理正好说明刚体上任意两点间的距离保持不变。所以定理适应于刚体作其它任意的运动。在平面机构中，曲柄OA=100mm，以角速度

=2rad/s

转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB，图示瞬时A、B、E三点恰在一条水平线上，且CD⊥ED。试求此瞬时点E的速度。例60°EDBACO例8-5(续1)解:画出A、B、D

和E

点速度。60°EDBACO由速度投影定理，vE

cos30°=vD

；vB

cos30°=vA可得：vEvDvBvA由

vA

=OA·=200（mm/s)可得：vE

=0.8m/s

vDvBvAvDvBvAvEvE§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法一、速度瞬心概念

一般情况下，在每一个瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。证明：设有一个平面图形。取A点为基点。在垂直vA

的直线上一定存在一点C，其上的vCA=vvAA即vC=vA－

vCA=0vAvCACvAvCACvAvCACvAvA这一速度为零的点称为速度瞬心。若取速度瞬心C

为基点，则图形内任意一点M的速度

vM=vMC=CM·可见，平面图形归结为绕瞬心的瞬时转动问题。CMM’vMvM’注意：瞬心可以在图形内，也可以在图形外，其位置不固定，随时间变化。不同瞬时具有不同的瞬心。刚体上任意点的速度总是垂直于该点至瞬心的连线。CMM’vMCMM’vM二、几种速度瞬心的确定方法（1）在某瞬时，已知图形上A、B两点的速度方向，但速度方向不与AB连线垂直。速度瞬心即在垂直于vA的直线上，又在垂直于vB的直线上。表明速度瞬心C在无穷远点，此时AABBvBvAvAvBC点为速度瞬心C该瞬时刚体作瞬时平动AABBvBvAvAvBCCC(2)在某瞬时，已知图形上A、B两点的速度大小，而速度方向与AB连线垂直。AAABBBCC瞬时平动vAvAvAvBvBvBAAABBBvAvAvAvBvBvBvA

=vBCCCCCC(3)平面图形沿固定曲线作无滑动的滚动。因为没有相对滑动，接触点C的速度等于零，C为速度瞬心。CCCC图示机构，曲柄OA以角速度=6rad/s

转动，带动直角板ABC和摇杆BD。已知OA=10cm，AE=15cm，BE=45cm，BD=40cm。图示位置OA⊥AE，BD∥AE。用速度瞬心法求该瞬时点B、E的速度。平板的角速度A和BD杆的角速度BD

。例OAEBD例8-6(续1)解：找三角板的速度瞬心。OAEBD三角板的角速度

A=vA/AC=4/3(rad/s)vB=BC·A

=20(cm/s)vE=EC·A

=AE=15cm;EB=45cmvBvACvBvACCvBvACvA

=OA·=60cm/svEvEvE机构如图，三角块以速度v向右运动，轮在块上纯滚，A、O、B在同一直线上，试用速度瞬心法求图示瞬时轮心和B点的速度。例v30°AOB解：确定速度瞬心。CvAvBvOE由瞬心C和B点可画出速度vB

的方向并求出其大小。CvAvBvOCvAvBvO例：下列四个平面图形的速度分布情况是否可能？为什么？45°（1）不可能（2）可能（3）不可能（由速度投影定理便知）（4）不可能（正确应该是红线所画）CCCCCC1欢迎继续学习本章

第2部分

导出速度瞬心法称为平面图形的角速度。

称为平面图形的角加速度。所谓绕基点的转动，实际上是指相对于一个坐标原点铰接于基点的平动参考系的转动，故

和

是相对角速度和相对角加速度。当注意到动参考系作平动时，可见和

又是绝对角速度和绝对角加速度。这正是把

和

分别称为平面图形的角速度和平面图形的角加速度的原因。

一点注意速度、加速度对点而言，角速度、角加速度对图形或刚体而言。长为l的曲柄OA以匀角速度绕O轴转动，求图示瞬时摆杆O1B的角速度1

。例OO1AEBbOO1AEBb例8-4(续1)解：以杆EA为研究对象1、以A点为基点，

求E点的速度。

vE=vA+vEA

(1)

vE

—大小、方向

皆未知

vEA

—大小未知vAvEAvAvEA由于三个未知量，E点的速度光由式（1）还无法确定，需借助其它方程。(见后续）vAvAvEAvAvEAvAOO1AEBbvEAvA例8-4(续2)2、选滑块E为动点，动系与摆杆O1B固结。

v

a=ve+vr(2)

vA

cos

=ve

即ve

=l

cos

vrvevrvevrvevrxve因为：vE=v

a

所以

vA+vEA=ve

+v

r将上式向x轴投影例8-4(续3)若OO1AEBb你能计算出：吗？怎么计算？套筒O以角速度O

绕固定轴转动，直杆AB穿在套筒内，其A端保持沿水平直线运动，问（1）AB作什么运动？（2）AB杆瞬心在哪里？（3）AB

为何值？

例CABOO’（1）AB作平面运动（2）当选套筒的E点为动点，（3）由几何关系知

=’OACCEEE动系与AB杆固结，可知瞬心在OE延长线上。瞬心如图。

例8-8讨论例8-8告诉我们，若平面图形上的线段与某条直线之间的夹角随时间的变化规律（运动方程）在整个运动过程中可知，则将对时间t求导便可求得平面图形的角速度和角加速度。这是因为前面已经论述过：因为刚体平面运动中，随基点运动的动参考系作平动，所以，和