2022年九年级数学下册：26.2　用函数观点看一元二次方程

26.2用函数观点看一元二次方程专题一二次函数的图象与性质1．关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①b2－4ac>0；②2a+b<0；③4a－2b+c=0；④a：b：c=－1：2：3.其A.①②B.②③C.③④D.①④专题二二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系4．设一元二次方程=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞25．二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（）A．B．3C．D．96．已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．7．已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点(－1,－1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值？并求出最小值.8.【2012·珠海】如图，二次函数y=(x－2)2+m的图象与轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1,0）及点B.（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥(x－2)2+m的的取值范围.专题三利用二次函数知识解决动态问题9．一条抛物线y=QUOTE错误！未找到引用源。x2+mx+n经过点（0，QUOTE错误！未找到引用源。）与（4，QUOTE错误！未找到引用源。）．（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标．【知识要点】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的关系（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当x=时，函数的值是0，因此x=就是方程ax2＋bx＋c=0的一个根.（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数，有两个不相等的实数根.2．二次函数与一元二次不等式的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集，所以，利用画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的方法，可以直接地求得不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集．【温馨提示】1．当抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，与坐标轴有两个交点时，y＜0对应的x值有两部分，不要漏掉；当抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，与坐标轴有两个交点时，y＞0对应的x值有两部分，不要漏掉．2．一元二次方程的解是对应的二次函数与x轴交点的横坐标，而不是与x轴的交点.3．圆与坐标轴相切包括与x、y轴相切，不要漏掉某一部分.【方法技巧】1．由二次函数图象判断y＝ax2＋bx＋c解析式中字母的符号：（1）a：抛物线开口向上，则a＞0；抛物线开口向下，则a＜0；（2）b：对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴是y轴则b=0；简记“左同右异y轴b=0”（3）c：抛物线与y轴的交点在x轴上方，c＞0；抛物线与y轴的交点在x轴下方，c＜0；抛物线与y轴的交点在原点，c=0；简记“上正、下负、原点c为0”（4）b2-4ac：抛物线与x轴两个交点，b2-4ac＞0；抛物线与x轴一个交点，b2-4ac=0；抛物线与x轴没有交点，（5）判断a+b+c的符号，看当x=1时，y的值与0的关系；判断a-b+c的符号，看当x=－1时，y的值与0的关系；判断4a+2b+c的符号，看当x=2时，y的值与0的关系；判断4a-2b+c的符号，看当x=-2时，y的值与0的关系；（6）判断2a+b的符号看对称轴与直线x=1的关系；判断2a－b的符号看对称轴与直线x2．圆与x轴相切时，圆心的纵坐标的绝对值等于半径；圆与y轴相切时，圆心的横坐标的绝对值等于半径.参考答案1．D【解析】二次函数化为一般形式得，所以对称轴方程为=，因为对称轴在y轴的右侧，所以，解得．2．D【解析】∵a、b同号且a=b，c＜0，∴A、B均错误；当x=1时，由图象知y=a+b+c＜0，即2b+c＜0，故C错误；由2b+c＜0，两边加上2b得4b+c＜2b,不得式左边的b用a替换，可得4a+c＜2b,所以D正确.3．D【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，①正确；∵对称轴为直线∴=1，可得2a+b=0，②错误；∵当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，∴③错误；由x=-1时，y=a-b+c=0，2a+b=0，可得b=-2a，c=-3a，∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：24．D【解析】令m=0，则函数的图象与x轴的交点坐标分别为（1，0），（2，0），故此函数的图象为：∵m＞0，∴α＜1，β＞2．故选D．5．B【解析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0，，即.∵一元二次方程有实数根，∴△=，即，即，解得，∴m的最大值为3．6．解：（1）当x=0时，y=1．所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m综上，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．7．解：把(－1,－1)代入y=x2+px+q得p－q=2，q=p－2.设抛物线y=x2+px+q与x轴交点A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0),∴d=|x1-x2|，∴d2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1·x2=p2－4q=p2－4p+8=(p－2)2+4,当p=2时，d2有最小值，最小值是4.8．解：（1）将点A（1，0）代入y=（x－2）2+m得，（1－2）2+m=0，解得m=－1.则二次函数解析式为y=（x－2）2－1．当x=0时，y=4－1=3，故C点坐标为（0，3）.由于C和B关于对称轴对称，设B点坐标为（x，3），令y=3，有（x－2）2－1=3，解得x=4或x=0，则B点坐标为（4，3）．设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，解得则一次函数解析式为y=x－1.

（2）∵A、B坐标为（1，0）、（4，3），∴当kx+b≥（x－2）2+m时，1≤x≤4．9．解：（1）由抛物线过（0，QUOTE错误！未找到引用源。），（4，QUOTE错误！未找到引用源。）两点，得解得QUOTE错误！未找到引用源。∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+.由y=x2﹣x+QUOTE错误！未找到引用源。=QUOTE错误！未找到引用源。（x﹣2）2+QUOTE错误！未找到引用源。，得抛物线的顶点坐标为（2，QUOTE错误！未找到引用源。）.（2）设点P的坐标为（x0，y0）.①当圆P与y轴相切时，有|x0|=1，∴x0=±1.由x0=1，得y0=QUOTE错误！未找到引用源。×1﹣1+QUOTE错误！未找到引用源。=.QUOTE错误！未找到引用源。由x0=﹣1，得y0=QUOTE错误！未找到引用源。×（﹣1）2﹣（﹣1）+QUOTE错误！未找到引用源。=.QUOTE错误！未找到引用源。此时点P的坐标为P1（1，QUOTE错误！未找到引用源。），P2（﹣1，QUOTE错误！未找到引用源。）.②当圆P与x轴相切时，有|y0|=1.∵抛物线的开口向上，顶点在x轴的上方，y0＞0，∴y0=1.由y0=1，得QUOTE错误！未找到引用源。x02﹣x0+QUOTE