河南省焦作市博爱第一中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

河南省焦作市博爱第一中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数z满足（1-i）z=2i，则z= （ ）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i参考答案：A2.函数的图像可能是

(

) A

B

C

D参考答案：A略3.在公比为2的等比数列{an}中，前n项和为Sn，且S7－2S6＝1，则a1＋a5＝A.5

B.9

C.17

D.33参考答案：C4.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A.任意一个有理数，它的平方是有理数

B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

参考答案：B根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.【点评】本题考查特称命题的否定.求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是.5.已知函数，若成立，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知奇函数在时的图象如图所示,则不等式的解集为(

)

A.(1,2)

B.(－2,－1)

C.(－2,－1)∪(1,2)

D.(－1,1)参考答案：C7.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，那么A∩?UB=（）A．{3，5} B．{2，4，6} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，5，6}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，4}，∴?UB={2，3，5，6}；∴A∩?UB={3，5}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．8.若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（

）A.i B.－i C.1 D.－1参考答案：B【分析】利用已知求得，再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解。【详解】，复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，故选:B【点睛】本题主要考查了复数的对称关系，还考查了复数的除法、乘法运算，属于基础题。9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知，则的值是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A＝＝二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集为

．参考答案：（﹣5，0）∪（5，+∞）

【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=x2+4x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=x2+4x=﹣f（x），则f（x）=﹣x2﹣4x，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）＞x等价为x2﹣4x＞x即x2﹣5x＞0，得x＞5或x＜0，此时x＞5，当x＜0时，不等式f（x）＞x等价为﹣x2﹣4x＞x即x2+5x＜0，得﹣5＜x＜0，当x=0时，不等式f（x）＞x等价为0＞0不成立，综上，不等式的解为x＞5或﹣5＜x＜0，故不等式的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞），故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．12.已知曲线与曲线：，则曲线恒过定点

；若曲线与曲线有4个不同的交点，则实数的取值范围是

．参考答案：，.试题分析：由题意得，直线恒过定点，故过定点，显然直线与圆有公共点，，∴问题等价于直线与圆相交，且不过点，∴，∴实数的取值范围是，故填：，.考点：1.直线方程；2.直线与圆的位置关系.13.

设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=2，且为实数，则|α|=

．

参考答案：2解：设α=x+yi，(x，y∈R)，则|α－β|=2|y|．∴y=±．

设argα=θ，则可取θ+2θ=2π，(因为只要求|α|，故不必写出所有可能的角)．θ=π，于是x=±1．|α|=2．14.如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．这个几何体的表面积为

cm2．

参考答案：15.如右图,设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离

。参考答案：因为AB、AC、AD两两互相垂直，所以分别以AB、AC、AD为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径，所以球半径为,在正三角形中，，所以A、D两点间的球面距离为.16.下列命题正确是，（写出所有正确命题的序号）①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②若a∈（0，1），则a1+a＜a；③函数f（x）=ln是奇函数；④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．参考答案：①③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a；③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数；④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时（ax+）（ax+）=1?a=±1．【解答】解：对于①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称，故正确；对于②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a，故错；对于③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数，正确；对于④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时，（ax+）（ax+）=1?a=±1，故错．故答案为：①③17.《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？”赣州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第____天．（用整数作答）参考答案：6由题意得

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足。数列满足，为数列的前n项和。（I）求；d和；（II）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。参考答案：解：（I）在中，令得解得

……3分（II）（1）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立。

，等号在n=2时取得。

此时需满足<25.

……8分（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立.是随n的增大而增大，取得最小值－6.此时需满足<－21.

…………………10分综合（1）（2）可得<－21的取值范围是.

…………………1219.(本小题满分12分)已知在如图的多面体中，⊥底面，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．

参考答案：证明：（1）∵，∴．

………………1分又∵,是的中点，∴，

………………2分∴四边形是平行四边形，∴．

………………4分

∵平面，平面，∴平面．

………5分（2）连结，四边形是矩形，∵，⊥底面，∴平面，平面，∴．…………8分∵，∴四边形为菱形，∴，

…11分又平面，平面，∴平面．

…12分

略20.设函数.（1）证明：存在唯一实数，使；（2）定义数列对（1）中的，求证:对任意正整数都有;参考答案：(1)解：有令由所以有且只有一个实数，使；

………………5分（2）(数学归纳法)证：.证明:①;②假设由递减性得：

即又所以时命题成立

所以对成立.…………10分21.（本小题满分10分）选修4－４：已知直线经过点，倾斜角。（1）写出直线的参数方程；(4分)（2）设与圆相交于两点、，求点到、两点的距离之积（6分）参考答案：解：（1）直线的参数方程为，……………5（2）因为A、B都在直线上，所以可设它们对应的参数分别为则，。以直线的参数方程代入圆的方程整理得到

①因为是方程①的解，从而……………8所以，……………10

略22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……5分（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E