高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程双曲线 课时提升作业十六

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业十六双曲线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2023·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若MF1→A.-33,3C.-223,【解析】选A.因为F1(-3,0),F2(3,0),x022所以MF1→·MF2→=(-3-x0,-y0)·(3-x0,-y即3y02-1<0,解得-33<y02.(2023·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则这样的直线l的条数为()B.2【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.【补偿训练】过双曲线x2-y2A.一条B.两条C.三条 D.四条【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,所以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.3.(2023·泉州高二检测)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()+y=5 +y2=9C.x225+y2【解析】选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为x216-y29=1(x≥4),A:直线x+y=5过点(5,0)满足题意;B:x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C:x225+y29=1的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入4.(2023·青岛高二检测)过双曲线x2a2-y2bA.2 B.3 C.5 D.10【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标Ba2a+b,aba+b,CaAB→=又2AB→=BC→,所以【补偿训练】已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b+2 ±2C.2 D.2±1【解析】选A.因为△ABF2是直角三角形,所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|,b2所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,所以e2-2e-1=0.解得e=1±2.又e>1,所以e=1+2.5.(2023·沈阳高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为()x23y26=1 x26y23=1 【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k=-15-0-12-3=1,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=y1二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2023·济南高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)和椭圆【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标是(±7,0),离心率是74.故在双曲线中c=7,e=274=ca,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是答案:x24-7.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交双曲线C于A,B两点.若【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由y得(b2-3a2)y2+23b2cy+3b4=0,因为b2-3a2≠0,所以y1+y2=23b2c3a2由AF→=4FB→得y所以-3y2=23b2c3所以y2=2b代入-4y22=316c2=27a2-9b2,又b2=c2-a2,所以16c2=27a2-9c2+9a2,所以36a2=25c2,所以e2=3625所以e=65答案:68.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-y22=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是【解析】由x消去y得x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2答案:±1【补偿训练】双曲线x29-y216=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),所以a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又PF1⊥PF2.所以△PF1F2即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,所以2mn=m2+n2-36=64,mn=32.设点P到x轴的距离为d,S△PF1F2=12d|F1F2即12d·2c=12mn.所以d=mn2c即点P到x轴的距离为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|OA→|,|AB→|,|OB(1)求双曲线的离心率.(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设OA=m-d,AB=m,OB=m+d,双曲线方程为x2a2由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=14m,tan∠AOF=btan∠AOB=tan2∠AOF=ABOA=由倍角公式得2·ba解得ba=12,则离心率e=(2)直线AB的方程为y=-ab(x-c),与双曲线方程x2a2-y化简有154b2x2x1+x2=325b15,x1·x2设交点A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|AB|=1+ab2|x=1+将数值代入,得4=532解得b=3,故所求的双曲线方程为x236-10.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值.(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=12【解析】(1)由y=ax+1,(3-a2)x2-2ax-2=0.①依题意3即-6<a<6且a≠±3②设A(x1,y1),B(x2,y2),则x因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB.所以x1x2+y1y2=0,y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④知(a2+1)·-23-a解得a=±1且满足②.所以实数a的值为±1.(2)假设存在实数a,使A,B关于y=12则直线y=ax+1与y=12直线l的方程为y=-2x+1.将a=-2代入③得x1+x2=4.所以AB中点横坐标为2,纵坐标为y=-2×2+1=-3.但AB中点(2,-3)不在直线y=12即不存在实数a,使A,B关于直线y=12一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2023·郑州高二检测)直线y=3x与双曲线C:x2a2-y2bA.3+2 B.3+1C.2+1 2【解析】选B.由题知|MO|=|NO|=|FO|,所以△MFN为直角三角形,且∠MFN=90°,取左焦点为F0,连结NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形NFMF0为平行四边形.又因为∠MFN=90°,所以四边形NFMF0为矩形,所以|MN|=|F0F|=2c又因为直线MN的倾斜角为60°,即∠NOF=60°,所以∠NMF=30°,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=3c,由双曲线定义知|MF|-|MF0|=3c-c=2a,所以e=ca=3【补偿训练】过双曲线M:x2-y2b2=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线lA.52 B.103 C.5 【解析】选D.由题意可知A(-1,0),故直线l的方程为y=x+1.两条渐近线方程为y=±bx,由已知联立y=x+1,y=-bx,得B-11+b,b1+b,同理可得C1b-1,所以e=ca=102.(2023·黄冈高二检测)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是()①y=x+1; ②y=2; ③y=43x; A.①③ B.③④ C.②③ D.①②【解析】选D.因为|PM|-|PN|=6,所以点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即x29-对于①,联立x29-y216=1,y=x+1,消y得7x2-18x-153=0,因为Δ=(-18)2对于③,联立x29-对于④,联立x29-y2二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2023·福州高二检测)设双曲线x29-y2【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可得BF的方程为y=±43【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c=a2因为双曲线x29-y2所以直线BF的方程为y=±43①若直线BF的方程为y=43与渐近线y=-43x交于点B5此时S△AFB=12|AF|·|yB|=12×2×103②若直线BF的方程为y=-43(x-5),与渐近线y=43x交于点B此时S△AFB=12|AF|·|yB|=12×2×103因此,△AFB的面积为103答案:104.(2023·浙江高考)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是【解析】由已知a=1,b=3,c=2,则e=ca=2,设P(x,y)是双曲线上任意一点,由对称性不妨设P在右支上,则1<x<2,|PF1|=2x+1,|PF2|=2x-1∠F1PF2为锐角,则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2即(2x+1)2+(2x-1)2>42解得x>72所以72所以|PF1|+|PF2|=4x∈(27,8).答案:(27,8)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2023·南昌高二检测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足|OA(1)求证:PA→·OP→=(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范围.【解析】(1)双曲线的渐近线为y=±ba所以直线l的斜率为-ab所以直线l:y=-ab由y=-ab因为|OA→|,|OB所以xA·c=a2,所以xA=a2Aa2c,0,PA→=0FP→所以PA→·OP→=-a2b2则PA→·OP→=(2)由y=-ab2-a4b2xx1x2=-a因为点E,D分别在左右两支上,所以-a4c2b2+a2b2b2-a6.(2023·哈尔滨高二检测)已知双曲线x2a2-y2b(1)求双曲线的方程及渐近线方程.(2)若直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.【解析】(1)直线AB的方程为xa+y-b=1,即bx-ay-ab=0.又原点O到直线AB的距离|-ab|a2由ab=3所求双曲线方程为x23-y渐近线方程为y=±33(2)由(1)可知A(0,-1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由|AC|=|AD|得:x所以3+3y12+(y1+1)2=3+3y22+(y整理得:(y1-y2)[2(y1+y2)+1]=0,因为k≠0,所以y