2021-2022学年河北省衡水市枣园中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年河北省衡水市枣园中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(

)A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1参考答案：A【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．2.设向量,均为单位向量，且|＋|，则与夹角为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.复数（1+i）z=i（i为虚数单位），则=(

)A．﹣ B． C．﹣ D．i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，求得结果．【解答】解：∵复数（1+i）z=i，∴z===，故=，故选B．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．4.设常数，集合，若，则的取值范围为（

）(A) (B) (C) (D)参考答案：B5.函数y=的其中一个对称中心为(

)A．B．C．（0，0）D．参考答案：A考点：正切函数的奇偶性与对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：对于函数y=，令2x﹣=，求得x的值，可得函数的图象的对称中心．解答： 解：对于函数y=，令2x﹣=，求得x=π，k∈Z，故函数的图象的对称中心为（π，0），k∈Z，故选：A．点评：本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题．6.安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于5分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.7.已知,,，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】指数对数B6B7【答案解析】A

>1，<0，0<<1,所以,故选A.【思路点拨】先判断正负，再判断和1的关系，求出结果。8.已知函数，若,则实数的取值范围是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.参考答案：B略10.已知一组正数的方差为，则数据的平均数为：A．2

B．3

C．4

D．6参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的通项公式为,将数列中各项进行分组如下。第1组：；第2组：，；……；如果第k组的最后一个数为，那么第k+1组的（k+1）个数依次排列为：，，……，，则第10组的第一个数是___▲_____参考答案：8912.对给定的正整数，定义，其中，，则

；当时，

．参考答案：64，

13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为_____．参考答案：【分析】根据三视图还原几何体，设球心为，根据外接球的性质可知，与和正方形中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形为矩形，求得和后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设中心为，正方形中心为，外接球球心为则平面，平面，中点四边形为矩形，外接球的半径：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果.14.函数，又，，且的最小值等于，则正数的值为

▲

．参考答案：1

15.如图，三棱锥A-BCD的项点A，B，C，D都在同一球面上，BD过球心O，是边长为4的等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且，则三棱锥P-QOC体积的最大值为______．参考答案：【分析】由题证得AO⊥平面BCD，△BOC也是等腰直角三角形，设AP=CQ=x，然后利用体积公式求解即可．【详解】因为BD过球心，，所以，又△ABC是边长为4等边三角形，所以AO2+CO2=AC2，AO2+BO2=AB2，所以AO⊥CO，AO⊥BO．所以AO⊥平面BCD，且△BOC也是等腰直角三角形，设AP=CQ=x，则当且紧当时成立.故答案为：．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．16.已知,则sina+cosa=______________.参考答案：略17.下列命题中，真命题的有

。（只填写真命题的序号）①若则“”是“”成立的充分不必要条件；②当时，函数的最小值为2；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④若命题：，则：．参考答案：①③④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数．（1）求的单调区间；（2）当0<a<2时，求函数在区间上的最小值．参考答案：解：（I）定义域为．

．

………2分

令，则，所以或．

………4分

因为定义域为，所以．

令，则，所以．………6分因为定义域为，所以．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

…7分（II）

（）．．

…8分

因为0<a<2，所以，．令

可得．所以函数在上为减函数，在上为增函数．…………10分①当，即时，在区间上，在上为减函数，在上为增函数．…11分所以．

…12分

②当，即时，在区间上为减函数．所以．…13分

综上所述，当时，；当时，．

…14分略19.（本小题满分12分）为迎接2012年伦敦奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值的分布列与期望.

参考答案：【解析】（1）有茎叶图可知，甲运动员七轮比赛的得分情况为：78，81，84，85，84，85，91．所以甲每轮比赛的平均得分为，显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，分别为81，84，85，84，85，其中81分与平均得分的绝对值大于2，所求概率。………6分（2）设甲、乙两名运动员的得分分别为，则得分之差的绝对值为。显然，由茎叶图可知，的可能取值为0，1，2，3，5，6．当=0时，，故当=1时，或，故当=2时，或，故当=3时，或，故当=5时，，故当=6时，，故所以的分布列为：012356………12分20.（本题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析。（1）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少名才符合抽样要求？（2）随机抽出8名，他们的数学、物理分数对应如下表：学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395(i)若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一名同学，他的数学和物理分数均为优秀的概率是多少？(ii)根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱。如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，说明理由。参考公式：相关系数；回归直线的方程是：，其中，，是与对应的回归估计值。参考数据：，，，，，，。参考答案：解：(1)应选女生名，男生名。(2)(i)由表中可以看出，所选的8名同学中，数学和物理分数均为优秀的有3人，故所求概率是。(ii)变量y与x的相关系数是。可以看出，物理与数学成绩高度正相关。也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图（略）。从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关。设y与x的线性回归方程是，根据所给数据可以计算出，，所以y与x的线性回归方程是。21.（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体D﹣ABC中．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F﹣BCE的体积．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由题意知，AC=BC=2，从而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，从而ED⊥平面ABC，由此能证明BC⊥平面ACD．（2）取DC中点F，连结EF，BF，则EF∥AD，三棱锥F﹣BCE的高h=BC，S△BCE=S△ACD，由此能求出三棱锥F﹣BCE的体积．（1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DE平面ACD，从而ED⊥平面ABC，∴ED⊥BC又AC⊥BC，AC∩ED=E，∴BC⊥平面ACD．（2）解：取DC中点F，连结EF，BF，∵E是AC中点，∴EF∥AD，又EF平面BEF，AD平面BEF，∴AD∥平面BEF，由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，∵三棱锥F﹣BCE的高h=BC=2=，S△BCE=S△ACD=×2×2=1，所以三棱锥F﹣BCE的体积为：VF﹣BCE==×1×=．【点评】：本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．22.数列首项，前项和与之间满足

（1