2022年四川省内江市民政中学高三数学理下学期期末试题

2022年四川省内江市民政中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行右面的程序框图，如果输入的n是5，则输出的p是

（

）

A．2

B．3

C．5

D．8参考答案：C略2.设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2]B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]D．[﹣2，0]∪[2，+∞）参考答案：C考点：其他不等式的解法．

专题：计算题．分析：首先分析题目求函数使得f（x）≥1的自变量x的取值范围，因为函数是分段函数，故需要在两段分别做分析讨论，然后求它们的并集即可得到答案．解答：解：对于求分段函数，f（x）≥1自变量的取值范围．可以分段求解：当x＜1时候，f（x）=|x+1|≥1，解得x≥0或x≤﹣2．根据前提条件故0≤x≤1，x≤﹣2满足条件．当x≥1时候，f（x）=﹣x+3≥1，解得x≤2，根据前提条件故1≤x≤2满足条件．综上所述x的取值范围是x≤﹣2或0≤x≤2．故选C．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想以及分类讨论的数学思想．要求学生理解分段函数的意义，即为自变量取值不同，函数解析式不同．3.如图所示的程序框图输出的结果是S=720，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤9 D．i＞9参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．【解答】解：第一次运行，i=10，满足条件，S=10×1=10，i=9第二次运行，i=9，满足条件，S=10×9=90，i=8，第三次运行，i=8，满足条件，S=90×8=720，i=7，此时不满足条件，输出S=720，故条件应为，8，9，10满足，i=7不满足，故条件为：i＞7，故选：B．4.（5分）80﹣lg100的值为（） A． 2 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 参考答案：C考点： 对数的运算性质．专题： 计算题．分析： 根据指数幂的性质以及对数的运算性质进行计算即可．解答： 解；80﹣lg100=1﹣2=﹣1，故选：C．点评： 本题考查了对数的运算性质，是一道基础题．5.平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝600，若，且DB⊥AE，则λ的值为A.3

B.4

C.5

D.6参考答案：D6.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】将函数用三角恒等变换化简成正弦型函数，根据整体代换与正弦函数的性质，结合已知建立的不等量关系，即可求解.【详解】，在区间上是增函数，，.当时，取得最大值，而在区间上恰好取得一次最大值，，解得，综上，.故选:D.【点睛】本题考查三角函数恒等变换、正弦函数的性质，整体代换是解题的关键，属于中档题.7.若，且，则

(

)参考答案：B8.已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成60°的二面角，则其内切球（与四个面都相切）的表面积为（

）A.4π B.16 π C.36π D.64π参考答案：B如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∴为侧面与底面所成的二面角的平面角，∴=∵PD=6，∴DE=2,PE=4,AB=12,∴S△ABC=×（12）2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA==24．∴S表=108.设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵PD=6，∴VP﹣ABC=?36?6=72．则由等体积可得r==2，∴S球=4π22=16π．故选B.

9.若焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为(

)A． B．y=±2x C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由离心率可得关于m的方程，解之代入可得双曲线方程，可得渐近线方程．【解答】解：由题意可得离心率e==，解之可得m=1，故方程为，故渐近线方程为y==，故选A【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及渐近线和离心率，属中档题．10.已知点O为坐标原点，点，向量，是向量与i的夹角，则使得恒成立的实数t的最小值为(

)A. B. C.2 D.3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为数列的前项和，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为

．参考答案：12.已知椭圆的离心率，则m的取值范围为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；分类讨论；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的方程，分两种情况求出椭圆的离心率，再根据离心率的范围，求出m的取值范围．【解答】解：当m＞4时，a=，c=，椭圆的离心率为：e=∈[，），解得m∈[，）；当0＜m＜4时，a=2，c=，椭圆的离心率为：e=∈[，），解得m∈（3，]；所以m的范围为：（3，]∪[，）．故答案为：（3，]∪[，）．【点评】本题考查了椭圆的几何性质与离心率的应用问题，解题时应注意椭圆的长轴位置在x，y轴两种情况，是基础题13.等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则=______．参考答案：14.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为

；

（Ⅱ）命中环数的标准差为

.参考答案：15.若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是．参考答案：k＜﹣4考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：先将方程有四个不同的实数根问题转化为方程=|x|（x﹣1）有三个非零根，分别画出函数y=，和y=|x|（x﹣1）的图象，数形结合即可得k的范围解答：解：显然方程有一个根为0，若x≠0，则方程??=|x|（x﹣1），（若方程有4个不同根，则k≠0）分别画出函数y=，和y=|x|（x﹣1）的图象如图，只需两函数图象有三个非零交点即可，由图数形结合可得当﹣＜＜0时，即k＜﹣4时，两函数图象有三个非零交点综上所述，当k＜﹣4时，方程有四个不同的实数根故答案为k＜﹣4点评：本题主要考查了方程的根与函数图象交点间的关系，将方程的根的个数问题转化为恰当的函数图象的交点个数问题，数形结合解决问题是解决本题的关键，属中档题16.已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径

．

参考答案：略17.双曲线的渐近线方程为．参考答案：y=±3x略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）当x＞0时，求证：2﹣；（2）当函数y=ax（a＞1）与函数y=x有且仅有一个交点，求a的值；（3）讨论函数y=a|x|﹣|x|（a＞0且a≠1）y=a的零点个数．参考答案：证明：（1）令f（x）=lnx+﹣2，g（x）=lnx﹣，x＞0，f′（x）==，所以y=f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（e）=0，同理可证g（x）max=g（e）=0，故得证…（2）令h（x）=ax﹣x，x∈R，h′（x）=axlna﹣1，令h′（x）=0，则x=loga（logae），y=h（x）在（﹣∞，loga（logae））上单调递减，在（loga（logae），+∞）上单调递增，?t＞0，使ax≥，当x≥t+3时，ax=at?xx﹣t≥?x[x﹣t]=≥＞（1+（a﹣1）（a﹣t﹣1））＞2x﹣2t﹣2；ax﹣x≥x﹣2t﹣2，当x≤0时，ax﹣x≤1﹣x，∴h（loga（logae））=logae﹣（loga（logae）=0，ae=e，lnae=1，a=．（3）令k（x）=a|x|﹣|x|，x∈R，y=k（x）是偶函数，k（0）=1≠0时，k（x）=ax﹣x，由（2）知，当a=时，函数k（x）=a|x|﹣|x|，有两个零点；k′（x）=axlna﹣1，当0＜a＜1时，k′（0）=1，k（1）=a﹣1＜0，所以函数k（x）=a|x|﹣|x|，有两个零点；当1＜a＜时，k′（x）=axlna﹣1，y=k（x），在（0，loga（logae））上单调递减，在（loga（logae），+∞）上单调递增，k（loga（logae））=logae﹣loga（logae）＜0，k（0）=1＞1，当x≥y+3时，ax=at?xx﹣t≥?xx﹣t≥=≥＞＞2x﹣2t﹣2，ax﹣x≥x﹣2t﹣2，所以k（2t+3）＞1＞0，函数y=a|x|﹣|x|，有四个零点；当a＞时，y=k（x），在（0，loga（logae））上单调递减，在（loga（logae），+∞）上单调递增，且k（loga（logae））=logae﹣loga（logae）＞0，函数y=a|x|﹣|x|，没有零点．综上所述，当0＜a＜1或a=时，函数y=a|x|﹣|x|，有两个零点；当1＜a＜时，函数y=a|x|﹣|x|，有四个零点；当a＞时，函数y=a|x|﹣|x|，没有零点…19.如图，在直三棱柱中，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）已知，的面积为，为线段上一点，且三棱锥的体积为，求.参考答案：（1）证明：取的中点，连接，，∵侧面为平行四边形，∴为的中点，∴，又，∴，∴四边形为平行四边形，则.∵平面，平面，∴平面.（2）解：过作于，连接，∵平面，∴.又，∴平面，∴.设，则，，，∴的面积为，∴.设到平面的距离为，则，∴，∴与重合，.20.（本小题满分12分）已知椭圆C：经过点，离心率，直线的方程为.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。参考答案：（1）由点在椭圆上得，

①

②由①②得，故椭圆的方程为……..4分（2）假设存在常数，使得.由题意可设

③代入椭圆方程并整理得设，则有

④……………6分在方程③中，令得，，从而.又因为共线，则有，即有所以=⑤将④代入⑤得，又，所以故存在常数符合题意……………12分21.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.参考答案：22.已知抛物线，过抛物线焦点F的直线分别交抛物线与圆于A，C，D，