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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A.134 B.67 C.182 D.1082.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.3.半径为2的球内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为()A. B. C. D.4.函数()的图象的大致形状是()A. B. C. D.5.设复数满足,则()A.1 B.-1 C. D.6.设是虚数单位,复数()A. B. C. D.7.已知集合,集合,则等于()A. B.C. D.8.已知函数(其中,,)的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,则对于下列判断:①直线是函数图象的一条对称轴;②点是函数的一个对称中心;③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③9.已知双曲线:的焦点为,,且上点满足,,,则双曲线的离心率为A. B. C. D.510.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.11.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的右焦点为,若F到直线的距离为,则E的离心率为()A. B. C. D.12.已知等差数列的前n项和为,且,则()A.4 B.8 C.16 D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数z是纯虚数,则实数a=_____,|z|=_____.14.若,则=____,=___.15.函数的定义域是___________.16.某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间,有7人用时为6分钟,有14人用时7分钟,有15人用时为8分钟,还有4人用时为10分钟,则高二(4)班全体同学用餐平均用时为____分钟.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)已知外接圆半径,求的周长.18.(12分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.(12分)在中,内角所对的边分别为,已知,且.(I)求角的大小;(Ⅱ)若,求面积的取值范围.20.(12分)已知数列的各项均为正数,为其前n项和,对于任意的满足关系式.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的通项公式是,前n项和为,求证:对于任意的正数n,总有.21.(12分)已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点,点与点关于坐标原点对称.连接.求证:存在实数,使得成立.22.(10分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解:设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,

则小正方形的边长为,小正方形的面积,

则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为,

故选:B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用,求出对应的面积之比是解决本题的关键.2、D【解析】

利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】∵,∴,,,.故选:D.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小,考查不等式的性质,属于基础题.3、B【解析】

设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,利用,可得,进一步得到侧面积,再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为,底面边长与高分别为,则,在中,,化为,,,当且仅当时取等号,此时.故选:B.【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题,涉及到基本不等式求最值,考查学生的计算能力,是一道中档题.4、C【解析】

对x分类讨论,去掉绝对值,即可作出图象.【详解】故选C.【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.5、B【解析】

利用复数的四则运算即可求解.【详解】由.故选:B【点睛】本题考查了复数的四则运算,需掌握复数的运算法则,属于基础题.6、D【解析】

利用复数的除法运算,化简复数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,复数,故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.7、B【解析】

求出中不等式的解集确定出集合,之后求得.【详解】由,所以,故选:B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题,涉及到的知识点有一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题目.8、C【解析】分析:根据最低点,判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为,依次判断各选项的正确与否.详解:因为为对称中心,且最低点为,所以A=3,且由所以,将带入得,所以由此可得①错误,②正确,③当时,,所以与有6个交点,设各个交点坐标依次为,则,所以③正确所以选C点睛:本题考查了根据条件求三角函数的解析式,通过求得的解析式进一步研究函数的性质,属于中档题.9、D【解析】

根据双曲线定义可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出离心率.【详解】依题意得,,,因此该双曲线的离心率.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率,考查了运算能力.10、B【解析】

首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.11、A【解析】

由已知可得到直线的倾斜角为,有,再利用即可解决.【详解】由F到直线的距离为,得直线的倾斜角为,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题,一般求椭圆离心率的问题时,通常是构造关于的方程或不等式,本题是一道容易题.12、A【解析】

利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、11【解析】

根据复数运算法则计算复数z,根据复数的概念和模长公式计算得解.【详解】复数z,∵复数z是纯虚数,∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案为:1,1.【点睛】此题考查复数的概念和模长计算,根据复数是纯虚数建立方程求解,计算模长,关键在于熟练掌握复数的运算法则.14、12821【解析】

令,求得的值.利用展开式的通项公式,求得的值.【详解】令,得.展开式的通项公式为,当时,为,即.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查赋值法求解二项式系数有关问题,属于基础题.15、【解析】

由于偶次根式中被开方数非负,对数的真数要大于零,然后解不等式组可得答案.【详解】解:由题意得,,解得,所以,故答案为:【点睛】此题考查函数定义域的求法,属于基础题.16、7.5【解析】

分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.【详解】故答案为:7.5【点睛】此题考查求平均数,关键在于准确计算出所有数据之和,易错点在于概念辨析不清导致计算出错.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)3+3【解析】

(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周长.【详解】(1),即又(2),∵,∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴,∵c>0,所以得c=2,∴周长a+b+c=3+3.【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.18、(1),(2)【解析】

(1),所,两式相减,即可得到数列递推关系求解通项公式,由,整理得,得到,即可求解通项公式;(2)由(1)可知,,即可求得数列的前项和.【详解】(1)因为,所,两式相减,整理得,当时,,解得,所以数列是首项和公比均为的等比数列,即,因为,整理得,又因为,所以,所以,即,因为,所以数列是以首项和公差均为1的等差数列,所以;(2)由(1)可知,,,即.【点睛】此题考查求数列的通项公式,以及数列求和,关键在于对题中所给关系合理变形,发现其中的关系,裂项求和作为一类常用的求和方法,需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.19、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(I)根据,利用二倍角公式得到,再由辅助角公式得到,然后根据正弦函数的性质求解.(Ⅱ)根据(I)由余弦定理得到,再利用重要不等式得到,然后由求解.【详解】(I)因为,所以,,,或,或,因为,所以所以;(Ⅱ)由余弦定理得:,所以,所以,当且仅当取等号,又因为,所以,所以【点睛】本题主要考查二倍角公式,辅助角公式以及余弦定理,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)根据公式得到,计算得到答案.(2),根据裂项求和法计算得到,得到证明.【详解】(1)由已知得时,,故.故数列为等比数列,且公比.又当时,,..(2)..【点睛】本题考查了数列通项公式和证明数列不等式,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)由点可得,由,根据即可求解;(2)设直线的方程为,联立可得,设,由韦达定理可得,再根据直线的斜率公式求得;由点B与点Q关于原点对称,可设,可求得,则,即可求证.【详解】解:(1)由题意可知,,又,得,所以椭圆的方程为(2)证明:设直线的方程为,联立,可得,设,则有,因为,所以,又因

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