向量与空间解析几何

例设例已知由参数方程确定二阶可导函数（1）求证点x=0是y=f(x)的极大值点；（2)求曲线y=f(x)在点（0，0）处的曲率。一、内容小结

二、实例分析空间解析几何设1.向量运算一、内容小结

向量模单位向量向量的方向余弦运算性质：加减:数乘:点积:(1)交换律(2)结合律(3)分配律叉积:向量方向:且符合右手规则模:运算性质(2)分配律(3)结合律平行四边形的面积

向量关系:混合积平行六面体的体积运算性质1）具有轮换对称2）两向量积互换，混合积变号定义.一条平面曲线（1）旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:2.空间曲面思考：当曲线C

绕y

轴旋转时，方程如何？旋转过程中的特征：如图将代入将代入得方程axyoz.双曲线绕y

轴一周

单叶旋转双曲面..x0zy.绕x

轴一周

双叶旋转双曲面x0zy.

双叶旋转双曲面.绕x

轴一周y.oxz.

旋转抛物面抛物线绕z

轴一周得旋转抛物面环面yxorR绕y轴旋转所成曲面环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗？yxo..例

试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方（2）柱面引例.

分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy

面上，表示圆C,沿曲线C平行于

z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,定义.平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.z

轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)C

叫做准线,l

叫做母线.xzy0母线F(

x,y)=0z

=0准线

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S外的每一点都不满足方程表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程

一般柱面

F(x,y)=0母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面

一般柱面

F(y,z)=0abzxyo椭圆柱面zxy=0yo

双曲柱面（3）二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo椭球面yzoxa.

单叶双曲面.xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面椭圆抛物面xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面椭圆抛物面.用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法

（马鞍面）

双曲抛物面截痕法

双曲抛物面

（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面截痕法.

双曲抛物面

（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面（1）空间平面一般式点法式截距式3.空间直线与平面的方程为直线的方向向量.（2）空间直线一般式对称式参数式为直线上一点;面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:（3）线面之间的相互关系直线线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系直线:点的距离为到平面

：Ax+B

y+C

z+D

=0d(4)点到面的距离点到直线的距离为（5）点到直线的距离4、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去

z

得投影柱面则C在xoy

面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz

面上的投影曲线方程消去y得C在zox

面上的投影曲线方程例求曲线绕z

轴旋转的曲面与平面的交线在

xoy

平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy

面的投影柱面方程为此曲线在xoy

面上的投影曲线方程为,它与所给平面的例设(a×b)c=2,则[(a+b)×(b+c)](c+a)=

.及平面（A）平行于π.（B）在π上.（C）垂直于π.（D）与π斜交.例设有直线，则直线L【】例求点到平面的距离

例求过直线且垂直于平面的平面方程.例求平行于平面而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面。设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为例求过点平行于平面，且与直线相交的直线方程