2020-2021学年安徽省合肥168中学高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

32𝜋32𝜋20202021年安徽省合肥168学高一（上）期数学试卷一、单选题（本大题共12小题共60.0分

已知集则(

B.

C.

，

D.

，2，

若，

的C.

充分不必要条件充要条件

B.D.

必要不充分条件既不充分也不必要条件

中文“函数”词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数“，即函数指一个量随着另一个量的变化而变.下选项中，两个函数相同的一组(

与|

B.

与

C.

与

D.

与(

若，

，的小值为

B.

C.

D.

若奇函在区间上单调递减，则函在上C.

单调递增，且有最小单调递减，且有最小

B.D.

单调递增，且有最大单调递减，且有最大

关于x的等式

的集，不等

的集为

B.

C.

,

D.

,

已知

，

𝜋

,，则

B.

C.

D.

已知的取值范围是

，若方至有两个不相等的实根，则

B.

C.

D.

第1页，共页

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋3𝜋𝜋,𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋3𝜋𝜋,𝜋

函数𝑥𝜔|的部分图象如图所示得的图象向右平移个单长度3B.向右平移个位长度4C.向左平移个单长度3D.向左平移个单长度4

𝜋

的象将希克拉底是古希腊医学家西方尊为“医学之父”医学，他也研究数学，特别是与“月牙形”有关的问.如所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧段弧分别eq\o\ac(△,)的接圆和以AB为直径的圆的一部分，为

𝜋3

，，则该月牙形的周长

(3𝜋

B.

(3𝜋

C.

(3𝜋

D.

(3𝜋

3

3给下列命题：第象限角的集合可表示为𝜋𝜋𝜋,𝑘

；函

的调递增间+；函的图象关于直对称；函3

的零点所在区间(．其中正确命题的个数)

B.

C.

D.

函若取值范围是

且

1的323

4

B.

]4

C.

D.

二、单空题（本大题共4小题，20.0分−．，

的定______．第2页，共页

算：；2𝜃𝑐𝑜𝑠−𝑠𝑖𝑛𝜃−1𝜋已算：；2𝜃𝑐𝑜𝑠−𝑠𝑖𝑛𝜃−1𝜋

，则，定义域______．如，点半径为的圆O的径延长线上的一点，为圆上任意一点为边作等eq\o\ac(△,)则四边形OACB面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，70.0分

𝑙𝑜𝑔

7

2

13

已求22sin(4

的值．设合𝑥

，集{．若，和；设题：，题：，是q成的必要不充分条件，求实数的取值范围．已函是定义的偶函数时．求数上解析式；求等的集．第3页，共页

3030日，习近平总书记在浙江省安吉县余村首提出了“绿水青山就是金山银山”的重要理.某乡镇以两山”理念引领高质量绿色发展，努力把绿水青山持续不断地转化为人民群众的金山银.决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产单：千与肥料费单位：元2满如下关系{

此还需要投入其它成本如肥的人工费等元已这种水果的市场售价元千克，且市场需求始终供不应求记棵水果树获得的利润单：元．求的函数关系式；当入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大最大利润是多少？已函

满足且，数

且与图关于直对称．3求数解析式；若程上解，求实数m的值范围．第4页，共页

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋已函数3求数的单调递增区间；

的小正周期为．若数在,]4

上恰有两个零点，求实数的值范围．第5页，共页

32答321.【答案】【解析】解：集合{，，，，，，所以{，，，所以

．故选：A．根据集合的定义与运算性质，求，计算本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】C

的．【解析】解：当时，

，当，，

，

成立，反之当

成立时，，则立，即的要条件，故选：．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断合不等式的性质是解决本题的关键基础题．3.【答案】C【解析解：对于，

，定义域为R|，义域为R两函数的对应关系不同，不是相同函数；对于B，，定义域，

，义域为，函数的定义域不同，对应关系也不同，不是相同函数；对于

定义域为定域为R函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D义域为

域∪(+第6页，共页

44√√⋅两44√√⋅故选：．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数．本题考查了判断两个函数是否为相同函数的应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：，

，，，当且仅时取等号，所以的小值为．故选：．

44

，利用

4

4

，可求解．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析奇数的单调性在区间上得到递减由最大，最小值故选：．根据奇函数在对称区间上单调性相同的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质的应用奇函数在对称区间上单调性相同是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，不等

𝑥的集，有，且方程

𝑥的个根为和1，则有

，解得1

，，对于

𝑥，变形可得，即

，第7页，共页

3𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2𝜋𝜋，3𝜋即不等式的解集(,3𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋2𝜋𝜋，3𝜋解得：2故选：D根据题意，先由二次不等式与二次方程的关系可得方

2

的个根−3和1有

−3−2计算可得1−3

2，则不等

2

𝑥，变形可

2

3，可得x的值范围，即可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，关键是分析、、的系，属于基础题．7.【答案】【解析】解：因为,𝜋)，所以44

𝜋2

,，𝛼，45故𝛼)，445所以𝛼𝛼42445525则

，所以

𝑖𝛼

．故选：A．先利用同角三角函数关系求𝛼，后再利用两角和差公式求再利用4同角三角函数关系求𝑖，即．本题考查了三角函数的求值涉了同角三角函数关系以及两角和差公式的应用题的关键是利用角的范围确定三角函数的符号，属于中档题．8.【答案】D【解析数(画出函数图象如图，

𝑥

程至有两个不相等的实根，第8页，共页

)【解析】解：由图象知，即𝑇𝜋，)【解析】解：由图象知，即𝑇𝜋，，得sin(2sin(22𝑥，得，得𝜋当时，函数(的大为：，所以k的值范围是：故选：D画出函数的图象，求出函数时最大值，然后由图象可得k取值范围．本题考查分段函数的应用，函数的零点的判定，考查数形结合的思想方法的应用，属于中档题．9.【答案】37𝜋𝜋9𝜋2𝜋41212𝜔则(sin(2，

𝜋，得𝜔=2，由五点对应法得×

𝜋𝜋

，则(sin(2

𝜋3

，由in[2(𝑥

𝜋𝜋𝜋33

，得2

𝜋𝜋𝜋𝜋324

，即只需的象向右平移个位长度，即可，4故选：B．根据图象求出函数的解析式，利用待定系数法进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和变换据图象求出函数的解析式及用三角函数图象变换关系是解决本题的关键，是中档题．【案A【解析】第9页，共页

2𝜋2𝜋2𝜋2𝜋𝜋2𝜋3(3𝜋3，达到2𝜋2𝜋2𝜋2𝜋𝜋2𝜋3(3𝜋3，达到2𝑖𝑛(3𝑥+最大值，所以函数2时2𝑠𝑖⋅𝜋本题主要考查了正余弦定理的应用，弧长公式的应用，属于中档题．由题意，由余弦定理求出，再利用正弦定理求出内侧圆弧所在圆的半径，利用弧长公式及圆的周长公式求解．【解答】解：由，，由余弦定理可，3eq\o\ac(△,)的接圆半径为r，则

2𝑖𝑛

3

，又月牙内弧所对的圆心角为，内弧的弧长为33月牙外弧的长为𝜋，2则该月牙形的周长为𝜋．32故选：A．【案B

；【解析于据象限角的定义知四限的角满足2𝜋，，集𝜋𝜋2𝜋,，则错；2

32

𝜋2𝜋对于

2

函数的调递增区2间为，则错；对于，

𝜋𝜋𝜋𝜋的图象关于直线对，对；对于−2以数+𝑒内零，又因为(在R上格递增，所以只有一个零点，则对故选：B．求象限角即可判断用合函数法求出递增区间用值法确定对称性用函数递增且端点处函数值异号判断函数零点存在性．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的单调性和对称性及零点问题，属中档题．【案B第10页，共16页

3233𝜋𝜋𝜋𝜋33233𝜋𝜋𝜋𝜋3

𝑥的图象如图，,不妨设，则，

，3由(

，得

，21

22

，，故选：．

由题意画出图形，不妨，

，，问题转化为关于3

的二次函数求解．本题考查分段函数的应用，考查数形结合与数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．【案【解析】解：．故答案为：

𝜋

cos(3𝜋𝜋𝜋𝜋原式利用余弦函数为偶函数化简度形后利用诱导公式化简即得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【案，

【解析】解：全称命题，

，由全称命题的否定是特称命题

的定是

第11页，共16页

⋅𝐴⋅𝐴⋅𝑠⋅⋅𝐴⋅𝐴⋅𝑠⋅故答案为：，

．根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，否定结论即可得到所求．本题主要考查了命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．【案】

2

【解析】解：令

，则，𝑡

，故(

2

，，𝑡，得：，故，故(

2

，，故(的定义域是，故答案为：

2

，．令，，

，从而求出函数的解析式即可．本题考查了求函数的解析式，定义域问题，是一道基础题．【案3【解析】【分析】本题主要考查三角函数模型和余弦定理的应用，属于中档题．设，根据余弦定理，表示eq\o\ac(△,)𝐴的积eq\o\ac(△,)的积，进而表示出四边形的积并化简函数的解析式正弦型函数的形式结合正弦型函数最值的求法进行求解．【解答】解：四边形OACB的面积的积的面积，设，

⋅𝑂𝑖𝑖𝜃

，eq\o\ac(△,)面积

，的面积⋅⋅𝑖

，四边形的积−

𝑖𝜃第12页，共16页

【案】解：原31322𝜃𝜋𝜋3+√𝜃，【案】解：原31322𝜃𝜋𝜋故当时四边形OACB面积最大值3，故答案为：．)2

；原式

𝑐𝜃2𝜃cos+cos44

cos𝜃𝜃+cos

𝑡𝑎𝑛tan

．【解析本题考查了指数与对数的运算、三角函数的公式应用问题，解题的关键是掌握对数和指数的运算性质以及三角恒等式，属于基础题．直利用有理指数幂和对数的运算性质进行变形化简，即可得到答案；利二倍角公式以及两角和差公式将要求解得式子化简，然后再利用同角三角函数关系求解即可．【案】解：

，当𝑎时，则𝐵{，，若p是立的必要不充分条件，则B是的真子集，则𝑎𝑎或𝑎𝑎，得𝑎，或𝑎，综上𝑎即实数取值范围．【解析根不等式的解法求出集合的等价条件，结合集和交集定义进行计算即可．根必要不充分条件的定义转化为是真子集，进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用不等式的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键，是基础题．第13页，共16页

2可化为不等，22𝑎𝑎30；【案】解：2可化为不等，22𝑎𝑎30；所以(

2

，又函数(是义在上偶函数，所以(，则(

2

，所以(

．2不式

𝑎

3𝑎因为当时

2

为函数，且函数(是义在上偶函数，所以原不等式等价于

，即2

𝑎

，,𝑎)；所以当时不等式的解集𝑎当𝑎时不等式的解集𝑎,𝑎【解析设，，当时

2

−𝑥)，结合函数的奇偶性即可求解函解式判函的单调性，结合函数的奇偶性将不等式转化|，即2，对类讨论，即可求得不等式的解集．𝑎本题主要考查函数解析式的求法，利用函数的性质解不等式，属于中档题．【案】解：

2，由题意𝑥

当时，；𝑚𝑎当时−

⋅(．当且仅当

，即3上式取等号．故当投入的肥料费用为元时，该水果树获得的利润最大，最大利是430元．【解析直由题意写出分段函数解析式即可；对中函数分段求最值，取最大值中的最大者得结论．第14页，共16页

本题考查函数模型的选择及应用练了二次函数求最值与基本不等式求最值中档题．21.

【答案】解：根题意，函数(

2

满足，即函数(的称轴为，有

2

，，又由，(2)，，故(

2

，函数(

且与图关直线对．3则(

且与数互反函数，3则3，，根题意，函

2

2⋅

，令

，[，3，3则直线3与数

2

在间,上交点，3

2

(

2

，区,，，3必有3

，可得：