山西省吕梁市安家庄乡中学2021年高三数学理月考试题含解析

山西省吕梁市安家庄乡中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】由Sn为等比数列{an}的前n项和，由前n项和公式求得a1和q的数量关系，然后再来解答问题．【解答】解：∵数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．2.复数（是虚数单位）的虚部是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β②若m∥α，m∥β，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若m⊥α．n⊥α，则m∥n上述命题中，所有真命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线，平面间的位置关系的判定定理和性质定理，结合选项进行逐个判断即可．同时利用反例的应用．【解答】解：若m⊥α，m⊥β，则α∥β．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故①成立；若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故②不成立；若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，则③错误；由垂直与同一平面的两直线平行可知：④为真命题，故选：A．4.已知条件?p是?q的充分不必要条件，则a的取值范围是

（

）

A．a≥1

B．a≤1

C．a≥－3

D．a≤－3参考答案：答案：A5.已知集合A，B都是非空集合，则“x∈（A∪B）”是“x∈A且x∈B”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略6.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=参考答案：D【考点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D7.现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（

）种。A. B. C. D.参考答案：D【分析】采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可.【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是种。综上所述，不同的排法共有种.故选D.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．8.不等式的解集为（

）A．（0，2）

B．（－2，0）∪（2，4）

C．（－4，0）

D．（－4，－2）∪（0，2）

参考答案：D9.已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值．【解答】解：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，则a2=3，即双曲线方程为，设P（m，n）（n≥），则n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1，则=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣，因为n≥，故当n=时取得最小值，最小值为3﹣2，故选：A．【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．10.已知函数则（

）A．

B．2

C．4

D．11参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，但不是函数的极值点，则abc的值为

.参考答案：

9

12.如图所示，已知长方形ABCD中，BC=2AB，△EFG与△HIJ均为等边三角形，F、H、G在AD上，I、E、J在BC上，连接FI，GJ，且AB∥FI∥GJ，若AF=GD，则向长方形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率计算公式，设BC=2AB=2，AF=GD=x，根据勾股定理求出x的值，由对称性求出阴影面积，计算所求的概率值．【解答】解：长方形ABCD中，设BC=2AB=2，AF=GD=x，∴FG=2﹣2x，由勾股定理得（1﹣x）2+12=（2﹣2x）2，解得x=1﹣，∴FG=；由对称性知，S阴影=S矩形FGJI=FG?IF=××1=；∴该点落在阴影区域内的概率为P===．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，解题的关键是计算阴影部分的面积，是基础题．13.已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是

．参考答案：m＜﹣1【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值．【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1．做出函数f（x）的图象如图，图象可知当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点．当t=0时，函数t=f（x）有三个零点．当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点．当t=1时，函数t=f（x）有三个零点．当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1，则由根的分布可得，将t=1，代入得：m=﹣1，此时g（t）=2t2﹣3t+1的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则，解得：m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．14.如图，△ABC内接于,AB=AC，直线MN切于点C，弦，AC与BD相交于点E．若AB=6,

BC=4，则DE=__________.参考答案：15.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是．参考答案：22【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，?=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，故?=22，故答案为：22．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．16.在正项等比数列{}中则

__________.参考答案：5略17.已知函数，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．例如：考察恒等式（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n（n∈N*），左边xn的系数为C2nn，而右边（1+x）n（1+x）n=（Cn0+Cn1x+…+Cnnxn）（Cn0+Cn1x+…+Cnnxn），xn的系数为Cn0Cnn+Cn1Cnn﹣1+…+CnnCn0=（Cn0）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2，因此可得到组合恒等式C2nn=（Cn0）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2．（1）根据恒等式（1+x）m+n=（1+x）m（1+x）n（m，n∈N*）两边xk（其中k∈N，k≤m，k≤n）的系数相同，直接写出一个恒等式；（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：，其中[]是指不超过的最大整数．参考答案：【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）利用二项式定理系数的性质，求出xn的系数，即可得到结论．（2）利用已知关系式，求出等式两边的常数项系数，即可得到结果．【解答】解：（1）=++…+=．证明：（2）考察等式（2+x+）n=，等式右边的常数项为：，∵?2n﹣r（x+）r=?2n﹣r（，当且仅当i=2k时，xr﹣k（）k为常数，等式左边的常数项为：k，∴k=Cnn成立．19.已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x＞0且x≠1，f（x）﹣．（i）求实数t的最大值；（ii）证明不等式：lnn＜（n∈N*且n≥2）．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）（i）分类讨论，利用函数的单调性，即可求实数t的最大值；（ii）当x＞1时整理得，令，则，即可证明不等式．【解答】解：（1）由题意x∈（0，+∞）且，∴，又，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即x﹣2y﹣1=0．（2）（i）由题意知，设，则=，设，则，当t≥0时，∵x＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＜0，又，∴g（x）＜0不符合题意．当t＜0时，设?（x）=tx2+2x+t，①若△=4﹣4t2≤0即t≤1时，?（x）≤0恒成立，即h'（x）≤0在（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＞0，，g（x）＞0，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，，g（x）＞0，符合题意．②若△=4﹣4t2＞0即﹣1＜t＜0时，?（x）的对称轴，∴?（x）在上单调递增，∴时，?（x）＞?（1）=2+2t＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，而，∴g（x）＜0，不符合题意．综上所述t≤﹣1，∴t的最大值为﹣1．（ii）由（i）知t=﹣1时，，当x＞1时整理得，令，则，∴，∴，∴，即．20.（本题满分12分）(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.有且仅有一个零点；(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．参考答案：解:(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点?方程f(x)＝0有两个相等实根?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.…6分

(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，即|4x－x2|＝－a.令g(x)＝|4x－x2|，

h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的图象．由图象可知，当0<－a<4，即－4<a<0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围为(－4,0)．

………12分21.已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上，下顶点.（1）求椭圆C的方程.（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于点的对称点为E，点是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.参考答案：（1）；（2）是，0.【分析】(1)根据已知条件,求出,即可得到椭圆方程;(2)设直线的方程为,将其代入椭圆方程后,根据韦达定理以及斜率公式变形,可得答案.【详解】（1）因为圆过椭圆的上，下顶点，所以，又离心率，所以，于