测量误差与数据处理

汽车传感器与测试技术1第四章测量数据处理与误差分析2▼被测量的真值和试验所得的给出值总存在一定的差异，这就是测量误差。而误差的存在使我们对客观事物的认识受到不同程度的歪曲，因此就必须进行误差分析。▼另一方面，一般原始的测试技术都是参差不齐的，需运用数学方法加以精选、加工，以求获得可靠、真正反映事物内在本质的结论，这就是要进行数据处理。

误差分析和数据处理是判断科学实验和科学测试结果质量和水平的主要手段。3五数据处理三测量误差的分析与处理二不确定度及其表征一测量误差概述

本节主要内容四测量结果的表达4§4.1

测量误差概述实验数据 期望值NO实验误差测量绝对误差=测得值—真值（示值误差=仪器示值—真值）？1、测量误差定义5注意：●“真值”是指被测量的客观真实值。一 般来说这一客观真值是未知的，仅 在一些特殊的场合真值才是已知的（ 如一些理论分析值）

●测量误差的正负号

●量纲与被测量的量纲相同（１）理论真值：由理论公式计算所得结果（２）规定真值：由国际上公认的某些基准量。（如一米是光在真空中于1/299792458秒时间内所到之长度）（3）相对真值6绝对误差很小示值误差是仪表指示数值的绝对误差；最大示值指该仪表测量范围的上限；引用误差的规定是便于仪器精度等级的评定当允许误差去掉百分号、正负号后的数字被称为仪表的准确度级，如）1、测量误差定义7定义量纲相对误差绝对误差真值无反映测量效果绝对误差测得值-真值有(与被测量相同)结果的实际误差值81测量误差是不可避免的，不同的是测量误差的大小不同而已。2在一定的条件下，精确度的提高总要受到一定的限制。测量数据不可避免地会有一定的误差，只要误差在一定的范围内就认为是正常的。3减小误差的影响，提高测量精度4对测的结果的可靠性作出评定，即给出精确度的估计。2、测量误差的普遍意义93测量误差的分类测量误差的来源对测量误差的掌握程度测量误差的特征规律装置误差已知误差系统误差随机误差粗大误差环境误差方法误差未知误差人员误差101）测量误差的来源11系统误差：在顺次测量的系列测量结果中，其值固定不变或按某确定规律变化的误差。确定的规律：①测量误差具有确定的值；

②在相同的考察条件下，可重复表现；

③原则上可用函数的解析式，曲线或数表示；

④这一规律性并不一定确知；如：由于仪器标度尺刻划的不准确；测量者观察仪器指针时习惯于斜视等原因引起的误差，就具有系统误差的特性。12随机误差（偶然误差）：在同一条件下对同一被测量进行多次重复测量时，各测量数据的误差或大或小，或正或负，其取值的大小没有确定的规律性，是不可预知的。注意：●随机误差具有随机变量的一切特征；

●不能通过“修正”的方法消除掉；

●用统计的方法做出估计；

如：由于仪器标度尺刻划的不准确；测量者观察仪器指针时习惯于斜视等原因引起的误差，就具有系统误差的特性。13粗大误差（过失误差）：超出正常范围的大误差。正常范围：误差的正常分布规律决定的分布范围，只要误差取值不超过这一正常的范围，应是允许的。粗大误差是随机的，但不同于随机误差，仅表现在数值大小上的差别，因此差别不明显时，不太容易区分。一般粗大误差是由测量中的失误造成的。如：由于仪器标度尺刻划的不准确；测量者观察仪器指针时习惯于斜视等原因引起的误差，就具有系统误差的特性。144几个术语：精密度：(precision)表述：概念：重复测量时，测量结果的分散性准确度：表述：精确度：(正确度)测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度性质：随机误差的标准差(standarddeviation)性质：系统误差和随机误差综合影响程度平均值与真值的偏差(deviation)表述：不确定度(uncertainty)工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七级15经过修正的测量结果仍有一定的误差。误差的或大或小，或正或负，其取值具有一定的分散性，即不确定性。在多次重复测量中，可看出测量结果将在某一范围内波动，从而展示了这种不确定性。测量结果可能的取值范围越大，测量结果的可靠性越低；测量结果可能的取值范围越小，测量结果的可靠性越高。§4.2不确定度及其表征参数16定义：与测量结果相关联的参数，表征合理赋予的被测量之值的分散性。用标准偏差表示的测量结果的不确定度。

1）．(测量)不确定度Uncenainty(ofmeasurement)

2）．标准不确定度(StandardUncenainty)1、定义：173）．合成标准不确定

当结果由若干其他量得来时，测量结果的标准不确定度等于这些量的方差和协方差的适当和的正平方根，这些方差是根据测量结果随这些量的变化而变化情况进行加权的。测量的不确定度表示由于存在测量误差而是被测量值不能肯定的程度，它的大小表征测量结果的可信程度。182、测量不确定度的分类：按误差性质分类，分为系统分量的不确定度和随机分量的不确定度两类。按不确定度数值的估计方法分类，分为用统计方法估计的不确定度和用其他方法估计的不确定度两类。193、测量的不确定度与测量误差的区别测量不确定度表示由于存在测量误差而使被测量值不能肯定的程度，它是表征误差对测量结果影响程度的参数，对于某一确定的测量方法来说，不确定度具有确定的值。测量误差是指被测量的测得值与其相应的真值之差，测量误差取值具有不确定性并服从一定的分布。204、不确定废的评定1）．(不确定废的)A类评定

用对观测列的统计分析进行不确定度评定的方法。2）．(不确定废的)B类评定

用不同于对观测列的统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法。

21§4.3、测量误差的分析与处理测量误差的分析就是研究误差的性质与规律。①研究和确定过失误差与随机误差之间的界限，以便舍弃那些含有过失误差的测定值；②研究系统误差的规律，寻找将系统误差从随机误差中分离出来的方法，并设法消除其影响；③研究随机误差的规律，分析和确定测量的精密度；④从一系列测定值中求出最接近于被测参数真实值的测量结果。221、随机误差实践表明，测试结果的随机误差大多服从正态分布.正态分布的概率密度函数为：

式中：——为测量误差；

——均方根误差。从图可以看出，值愈小，正态分布密度曲线愈陡峭，幅值愈大，测量误差小；反之，值愈大，曲线愈趋平坦，测量误差大。231）算术平均值

设…，为n次等精度测量所得的值，其算术平均值为：

由于被测参数的真实值无法知道，因此在直接测量中常将测量列的算术平均值作为真值的估计值。24◆使用范围对同一量进行多次等精度重复测量而得到的数据的处理。所谓“等精度”是指各次测量的标准差相同，而并非指各测量数据具有相同的误差。事实上，各测量数据的误差并不相同。◆优点测量的随机误差的影响是最小。具有一致性、无偏性和最优性。25局限性1算术平均值仍为随机变量，它不可能完全排除随机误差的影响，只是减小这一影响。2由于系统误差不具有随机抵偿性，算术平均值原理的功效只是减小随机误差的影响。在一般情况下，不能指望通过取算术平均值减小系统误差的影响。3算术平均值原理在提高精度的效果上是有限的.26无论测量误差具有何种分布，只要具有对称性，其数学期望就为零，以算术平均值作为被测量的估计量就具有最优性。这是随机误差抵偿性的必然结果，按算术平均值原理处理等精度重复测量数据可充分利用这一抵偿性，从而使随机误差对最终结果的影响减小到最低限度。随机误差抵偿性是算术平均值原理的基础。272)残差的定义及其性质通常，被测量的真值是未知的，由测量误差定义获得的真误差也是未知的，因而无法用测量的真误差对测量的精度作出估计。考虑到算术平均值接近于被测量X，定义

为测量数据xi的残差(剩余误差)。28更一般地，残差的定义可推广为式中，为X的估计量，可由包括算术平均值原理在内的某一方法给出。

ˆxxvii-=29

残差的性质(1)残差的代数和为零，即这一性质常用于检验所计算的算术平均值和残差有无差错。

(2)残差的平方和最小，即测量结果与其他量之差的平方和都比残差平方和大，这一性质与最小二乘法一致。303）标准差

在一个等精密度测量列中，当测量次数趋于无穷大时，测量列的标准差为：

而在实际测量过程中，测量次数是有限的，由数理统计学可知，标准差的无偏估计可用贝塞尔法进行计算，即：31根据积分概率表可知，绝对值小于的随机误差出现的概率约为0.68，而绝对值小于2和3的随机误差，出现的概率分别为0.95和0.997。由此可知，绝对值大于3的随机误差出现的概率仅为0.027，即在370次测量中才可能出现一次。而在一般测量工作中，测量次数远小于370次，因此，如果出现绝对值大于3的误差，就可以认为，这个误差属于过失误差。因此，可以把3作为区分随机误差和过失误差的一种界限。32由于测量的标准差为估计量，故公式应写为

上式表明，算术平均值的标准差为测量数据标准差的。因此，测量次数n越大，所得算术平均值的标准差就越小，其可靠程度就越高。33（1）从标准差与测量次数n的关系曲线，图中可以看出，当测量次数较少时，增加测量次数，可明显减小测量误差；但当测量的次数超过15～20次时，再增加测量次数，则测量误差几乎不变。注意：靠增加测量次数n来给出更高精度的结果是有一定限度的！34(2)测量次数n过大，不仅经济上耗费大，而且测量时间增长，易于因测量条件变化而引入新的误差。(3)当随机误差远远小于系统误差时，进—步增大n已无实际意义，应从减小系统误差着手进一步提高测量结果的精度。因此，测量次数的规定要适当，应顾及到实际效果，一般取n<10。在较高精度测量中，若以随机误差为主，并且测量条件较好，则测量次数可大些。352、系统误差

1）系统误差的分类

根据系统误差特性的不同，

定值系统误差

在整个测量过程中，误差的大小和方向始终保持不变。变值系统误差

误差的大小和方向按一定的规律变化。

①线性变化的系统误差：误差的大小随时间线性递增或递减的系统误差，称为线性变化的系统误差。②周期性变化的系统误差：误差的大小随时间周期性交替变化的系统误差，称为周期性变化的系统误差。③复杂的系统误差：误差按比较复杂规律变化的系统误差变值系统误差362）系统误差的发现

系统误差的数值往往比较大，而且会直接影响测量的准确度。因此必须消除或减小系统误差。有时系统误差不易查明，下面介绍两种发现系统误差的方法，即：

①残差分析法②分布检验法37①残差分析法

测量列的残差为：在随机误差小于系统误差的情况下，的正负号将主要取决于变化的系统误差。因此，根据残差的符号，可以发现变化的系统误差的存在。将测定值的残差按测量顺序列表或作图以观察系统误差的变化规律。

若系统误差的数值不超过随机误差,可采用下述的方法：

a.将残差按测量的先后顺序排列,如前一半残差和与后一半残差和之差显著地不等于零,则该测量列包含累进系统误差。

b.在一个测量列中，如条件改变前测定值的残差与条件改变后测定值的残差和之差显著地不等于零，则该测量列包含随测量条件的改变而出现的固定的系统误差。38

②分布检验法

因为随机误差服从正态分布，所以只包含随机误差的测定值也服从正态分布。如果发现测定值不服从正态分布，就有理由怀疑测定值中包含变化的系统误差，这就是分布检验法的基本思想。显然，分布检验法只适用于重复测量次数足够多的情况。393）系统误差的消除由于产生系统误差的原因非常复杂，消除系统误差不可能有统一的方法,因此需根据具体情况，采取适当的措施。消除系统误差可从以下两方面着手。防止系统误差的产生

采用完善的测量方法，正确地安装、调整和使用测量仪器、设备，保持稳定的测量条件，防止外界的干扰等。对测定值引入更正值

在测量工作之前，对测量仪器和设备进行校正，取得仪器示值与准确值之间的关系，确定各种修正公式、修正表或修正曲线，用修正的方法消除系统误差。

403.过失误差与异常数据的取舍

1）过失误差与异常数据

过失误差是由于在测量过程中某些突然发生的不正常因素（外界干扰、测量条件意外改变，测量者疏忽大意）所造成的、与其它大多数误差相比明显偏大的误差。

在一个测量列中，可能出现个别过大或过小的测定值，这种包含巨大误差的测定值，通常称为异常数据。异常数据往往是由过失误差引起的，也可能是由巨大的随机误差引起的。41

2）异常数据的取舍准则

(1)来伊达准则

莱伊达准则是以随机误差的正态分布规律为根据的。对于某一测量列，如果各测量值仅含有随机误差，根据随机误差的正态分布规律，其残差v落在以外的概率仅有0.27％，可以认为实际上是不可能发生的。因而，莱伊达准则认为：凡残差超出，即

:视为过失误差。由于在实际中测量次数有限，因此常用标准差的估计值代替。凡误差超出者，便判断为过失误差，应予以剔除。然后重新计算值，再次对误差进行判断，直至剩下的测量值的残差均小与3。必须注意：经剔除含有过失误差的异常数据后，要重新计算出其余数据的算术平均值和标准误差，再作判别，直至完全剔除含有过失误差的异常数据为止。42局限性①此准则在测量数据较少时可靠性差。特别是,当采用贝塞尔公式计算测量标准差σ时,若n≤10,则对任一数据工xi恒有此时该准则无效②当测量次数n不同时,vk超出±3σ

的概率是不同的。此准则没有考虑这一差别,也没有区别对可靠性的不同要求,因而比较粗糙。

43(2)、格罗布斯(Grubbs)准则1定义对某量进行n次重复测量,得,设测量误差服从正常分布,若某数据xk满足下式,则认为xk含有粗大误差,应剔除。

44式中:——数据xk的统计量,

——统计量的临界值,它依测量次数n及显著度而定,其值查表——显著度，为判断出现错误的概率,值依具体问题选择。即当xk满足上式，但不含粗大误差的概率为:

452优点

该准则克服了莱以特准则的缺陷,在概率意义上给出较为严谨的结果,被认为是较好的判断准则。46§4.4测量结果的表达

一·直接测量结果的表达

1.简单表达

测量工作的目的是要获取被测量的数值。工程上常用测定值的算术平均值来近似地代替真值X，这时，测量结果可以表达为

这种表达方式常用于粗略的测量中，原因是测定值的算术平均值也存在随机误差。为此，需用数理统计学中区间估计的方法，求得被测参数的真实值在某个置信概率下的置信区间。47

2.测量次数较少时测量结果的表达

t分布反映了重复测量次数n较小时平均值误差的分布规律，常用于估计重复测量次数较少时的极限误差。设少量的n次重复测量的一组测量值为；，，…，标准差的估计值为：

测定值的算术平均值服从正态分布，即：L～N(X，),所以