高中数学人教A版本册总复习总复习 2023版第1章并集交集

第1课时并集、交集1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)[基础·初探]教材整理1并集阅读教材P8～P9“交集”以上部分，完成下列问题．1．并集的定义自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪BA∪B＝{x|x∈A，或x∈B}2.并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个集合的并集中元素的个数一定多于这两个集合中元素个数之和．()(2){1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．()(3)若A∪B＝A，则A⊆B.()【解析】(1)×.当两个集合没有公共元素时，两个集合的并集中元素的个数等于这两个集合中元素个数之和．(2)×.求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性．(3)×.若A∪B＝A，则应有B⊆A.【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2交集阅读教材P9“思考”以下～P10“补集”以上部分，完成下列问题．1．交集的定义自然语言符号语言图形语言对于两个给定的集合A，B，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩BA∩B＝{x|x∈A，且x∈B}2.交集的性质A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A.1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}【解析】∵集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，∴A∩B＝A＝{1,2}，又∵C＝{2,3,4}，∴(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}．【答案】D2．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∩B＝()A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x＜4}C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x＜4}【解析】∵集合A＝{x|－3≤x＜4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，∴A∩B＝{x|－2≤x＜4}，故选B.【答案】B[小组合作型]求并集(1)若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)已知集合P＝{x|x<3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝()A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}【精彩点拨】(1)把集合M和集合N的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性．(2)将P，Q用数轴表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得P∪Q.【自主解答】(1)因为M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，所以M∪N＝{－1,0,1}∪{0,1,2}＝{－1,0,1,2}．(2)P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，如图，P∪Q＝{x|x≤4}．【答案】(1)D(2)C1．若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．2．若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍．[再练一题]1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为______．【解析】∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.【答案】5求交集(1)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，则集合A∩B＝()A．{x|－1<x<1} B．{x|－2<x<1}C．{x|－2<x<2} D．{x|0<x<1}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2【自主解答】(1)A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|0<x<2}＝{x|0<x<1}．(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.【答案】(1)D(2)D求两个集合的交集时，要注意：1求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.2利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性.[再练一题]2．若A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∩B＝________.【解析】∵A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，∴A∩B＝{－1}．【答案】{－1}[探究共研型]并集、交集的运算性质及应用探究1设A、B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？【提示】A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B.探究2若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？【提示】若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．【精彩点拨】(1)根据条件A∩B＝{2}，得2∈B，建立方程即可求实数a的值．(2)A∪B＝A等价为B⊆A，然后分别讨论B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【自主解答】(1)由题可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将2带入集合B中，得4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得a＝－5或a＝1.当a＝－5时，集合B＝{2,10}，符合题意；当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．综上所述：a＝－5，或a＝1.(2)若A∪B＝A，则B⊆A，∵A＝{1,2}，∴B＝∅或B＝{1}或{2}或{1,2}．若B＝∅，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a＜0，解得a若B＝{1}，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝24－8a＝0,x＝－\f(2a－1,2)＝1－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,a＝0，))不成立．若B＝{2}，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝24－8a＝0,x＝－\f(2a－1,2)＝1－a＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,a＝－1，))不成立，若B＝{1,2}，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝24－8a>0,1＋2＝－2a－1,1×2＝a2－5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3,a＝－\f(1,2),a＝±\r(7)，))此时不成立，综上a＞3.1．在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．2．集合运算常用的性质(1)A∪B＝B⇔A⊆B；(2)A∩B＝A⇔A⊆B；(3)A∩B＝A∪B⇔A＝B.[再练一题]3．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值集合.【导学号：97030014】【解】A＝{1,2}．∵A∪B＝A，∴B⊆A，故分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．(1)B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，则Δ＝16－4a<0，解得a(2)B≠∅时，当Δ＝0时，a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，由根与系数的关系知矛盾，无解，所以a＝4.所以a的取值集合为{a|a≥4}．1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则A∩B＝()A．{2,3} B．{0,1}C．{0,1,4} D．{0,1,2,3,4}【解析】因为集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，故选A.【答案】A2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，则A∪B＝()A．{x|2<x<3} B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1<x≤5}【解析】∵集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，∴A∪B＝{－1≤x≤5}．故选B.【答案】B3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2【解析】∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.【答案】C4．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则()A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3【解析】∵A∩B＝{(2,5)}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝2a＋1,5＝2＋b，))解得a＝2，b＝3，故选B.【答案】B