统计假设检验

设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为一组样本，1:σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间：

(1)选择包含μ的分布已知的函数:(2)构造U的一个1-α区间:(3)变形得到μ的1-α置信区间:置信区间求解步骤：(4)带入数值,得到具体的区间.2:σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间：

(1)选择包含μ的分布已知函数:(2)构造T的一个1-α区间:(3)得到μ的1-α置信区间:(4)带入数值,得到具体的区间.3:求σ2置信度为1-α的置信区间：

(1)选择包含σ2的分布已知函数:(2)构造的一个1-α区间:(3)变形得到σ2的1-α置信区间:(4)带入数值,得到具体的区间.一、假设检验的基本原理二、假设检验的一般步骤四、一个正态总体的假设检验第八章假设检验

三、假设检验的两类错误一、假设检验的基本原理此时常常作出适当的假设,然后进行试验或观测,得到统计样本,构造统计方法进行判断,以在实际工作中常会遇到这样的问题：（1）某药物在改进工艺后的疗效是否有提高？（2）假定总体服从某种分布是否成立？如何通过抽检的样本对上述问题做出判断？决定是否接受这个假设.假设检验就是这样一种统计推断方法，根据样本提供的信息对所提出的假设作出判断:是接受,还是拒绝.假设检验参数假设检验非参数假设检验总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题且只考虑正态总体期望方差的检验.我们讨论对参数的假设检验,请看下面的例子生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运.怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？罐装可乐的容量服从正态分布,标准容量为350毫升,标准差为2.通常的办法是进行抽样检查.很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产

不正常,停产损失很大.当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失.如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾.如抽查5罐，得5个容量的值X1，…，X5，根据这些值来判断生产是否正常.它的对立假设是：称H0为原假设（或基本假设或零假设）；称H1为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，往往把着重考察且便于处理的假设作为原假设.H0：（

=350)H1：由抽样，我们可以认为X1,…,X5是取自正态总体

的样本，现在要检验的假设是：那么，如何判断原假设H0是否成立呢？较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？较小时，可以认为H0是成立的；当-

||生产已不正常.当较大时，应认为H0不成立，即-

||由于

是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值，因此可以根据与

的差距来判断H0是否成立.-

||问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差”或随机误差它反映了偶然、非本质的因素所引起的随机波动.然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了.必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常.这种差异称作“系统误差”问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？即差异是“抽样误差”还是“系统误差”所引起的？这里需要给出一个量的界限.如何给出这个量的界限？这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生.现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水平，用表示.常取的选择要根据实际情况而定。罐装可乐的标准容量为350毫升,标准差为2,一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了n罐，测得容量为X1,X2,…,Xn，问这一批可乐的容量是否合格？提出假设选检验统计量~N(0,1)H0：

H1：≠350由于已知，它能衡量差异大小且分布已知.对给定的显著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位点的值，使故我们可以取拒绝域(否定域)为:也就是说,“”是一个小概率事件.W：如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝H0；否则，不能拒绝H0.称为临界值.如果H0是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域W(拒绝域)是个小概率事件.如果该统计量的实测值落入W，也就是说，H0成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它.

否则我们就不能否定H0（只好接受它）.这里所依据的逻辑是：不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度.所以假设检验又叫“显著性检验”在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍了假设检验的基本思想和方法.下面，我们再结合另一个例子，进一步说明假设检验的一般步骤.二、假设检验的一般步骤

例2某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布

未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件,得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格?a=0.01…分析：这批产品(螺钉长度)的全体组成问题的总体X.现在要检验E(X)是否为32.5.提出原假设和备择假设第一步：已知

X~未知.第二步：能衡量差异大小且分布已知取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布第三步：即“

”是一个小概率事件.小概率事件在一次试验中基本上不会发生.对给定的显著性水平=0.01，查表确定临界值,使得否定域W:|t|>4.0322故不能拒绝H0,即不能认为产品不合格.第四步：将样本值代入算出统计量t的实测值,|t|=2.997<4.0322没有落入拒绝域

注意:这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著,不足以否定H0.假设检验会不会犯错误呢？由于作出结论的依据是下述小概率原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生.不是一定不发生三、假设检验的两类错误如果H0成立，但统计量的实测值落入否定域，从而作出否定H0的结论，那就犯了“以真为假”的错误.

如果H0不成立，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定H0的结论，即接受了错误的H0，那就犯了“以假为真”的错误.请看下表

假设检验的两类错误H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真第一类错误正确正确第二类错误P{拒绝H0|H0为真}=,P{接受H0|H0不真}=.犯两类错误的概率:显著性水平为犯第一类错误的概率.

两类错误的概率的关系两类错误是互相关联的，当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.要同时降低两类错误的概率或者要在不变的条件下降低，需要增加样本容量.1.方差已知,对期望值的检验步骤(u检验)(1)提出待检假设H0:m=m0(已知);(2)选取样本(X1,...,Xn)的统计量,如H0成立,则四、一个正态总体的假设检验(3)根据检验水平a,查表确定临界值,使 P(|U|>

)=a,即F

(

)=1-a/2；(4)根据样本观察值,计算统计量U的值u并与临界值比较；(5)若|u|>,则否定H0,否则接收H0。例3根据长期经验和资料的分析,某砖瓦厂生产砖的“抗断强度”x服从正态分布,方差s2=1.21.从该厂产品中随机抽取6块,测得抗断强度如下(单位:kg/cm2):32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03;检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg/cm2是否成立(a=0.05)?对给定的a=0.05,要使P(|U|>

)=a,即F

(

)=1-a/2;查表得

=1.96.计算出样本值U为：拒绝原假设！解：设H0:m=32.50.若H0正确,则样本(X1,...,X6)来自正态总体N(32.50,1.12),令即这批砖的平均抗断强度为32.50不成立。2.方差σ2未知,对期望μ的检验（t检验）(1)提出待检假设H0:m=m0(未知);

(2)选取样本(X1,...,Xn)的统计量,如H0成立,则(3)根据检验水平a,查表确定临界值ta,使 P(|T|>ta)=a;(4)根据样本观察值计算统计量T的值t并与临界值ta比较;(5)若|t|>ta则否定H0,否则接收H0。例4从1975年的新生儿中随机地抽取20个,测得其平均体重为3160克,样本标准差为300克.而根据过去统计资料,新生儿平均体重为3140克.问现在与过去的新生儿体重有无显著差异(假设新生儿体重服从正态分布)?(a=0.01)故接受原假设：体重无差异。如果H0成立,则解：假设H0:m=3140.

3.关于方差σ2的检验(检验)(1)建立待检假设H0:s2=s02;(2)如H0成立,则(3)由给定的检验水平a查表求ca2,cb2满足:(4)计算c2的值与ca2,cb2比较;(5)若c2>cb2或c2<ca2拒绝H0否则接收H0.例5某炼铁厂的铁水含碳量x在正常情况下服从正态分布.现对操作工艺进行了改进,从中抽取5炉铁水测得含碳量数据如下:4.412,4.052,4.357,4.287,4.683

据此是否