高中数学人教A版3第一章计数原理二项式定理【区一等奖】

“杨辉三角”与二项式系数的性质一、三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．2．过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．3．情感、态度与价值观通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．二、重点、难点重点：二项式系数的性质．难点：杨辉三角的结构．教学时从先简单(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式中系数出发，进一步过渡到杨辉三角的结构，让学生由浅入深地认识杨辉三角，从而化解难点．引导学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，通过例题与练习让学生应用性质解决问题，更深地理解性质，以强化重点、化解难点．三、教学建议本节课是将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，教学时应采用启发探究式教学，让学生在观察中归纳总结二项式系数的性质，在教学时可以引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，可以画出它的图象，利用几何直观，数形结合地进行思考，这对学生发现规律、形成证明思路有很大好处．四、教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答所提问题，认识杨辉三角、理解二项式系数性质．⇒通过例1及互动探究，进一步认识杨辉三角的结构特点．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握展开式系数和的求法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握二项式系数的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．课标解读1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律．2.掌握二项式系数的性质及其应用．3.掌握“赋值法”并会灵活运用.“杨辉三角”与二项式系数的性质【问题导思】(1)观察“杨辉三角”发现规律①第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？第4行中3与第2行各数之间什么关系？第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？由此你能得出怎样的结论？【提示】(1)①20,21,22,23,24，第n行各数之和为2n－1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设Ceq\o\al(r,n＋1)表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为Ceq\o\al(r－1,n)，Ceq\o\al(r,n)，所以Ceq\o\al(r,n＋1)＝Ceq\o\al(r－1,n)＋Ceq\o\al(r,n).1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Ceq\o\al(r,n＋1)＝Ceq\o\al(r－1,n)＋Ceq\o\al(r,n).2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，…，Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(2)增减性与最大值：当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数Ceq\f(n,2)n取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Ceq\f(n－1,2)n，Ceq\f(n＋1,2)n相等，且同时取得最大值．3．二项式系数的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.与杨辉三角有关的问题图1－3－1例1如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．【思路探究】观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．【自主解答】由题意及杨辉三角的特点可得：S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2))＋(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋…＋(Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(1,9))＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,9))＋(2＋3＋…＋9)＝Ceq\o\al(3,10)＋eq\f(8×2＋9,2)＝164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？【解】S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2))＋(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋…＋(Ceq\o\al(2,11)＋Ceq\o\al(1,11))＋Ceq\o\al(2,12)＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋……Ceq\o\al(2,12))＋(2＋3＋…＋11)＝Ceq\o\al(3,13)＋eq\f(2＋11×10,2)＝286＋65＝351.设(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012·x2012(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2012的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2011的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2012|的值．【思路探究】先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．【自主解答】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2012＝(－1)2012＝1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2012＝32012.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2011)＝1－32012，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2011＝eq\f(1－32012,2).(3)∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2023)(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,2012)·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2012|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2012＝32012.1．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.【解】(1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187，②由①、②得a1＋a3＋a5＋a7＝－1094，a0＋a2＋a4＋a6＝1093.例3已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【思路探究】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．【自主解答】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是假设Tr＋1项系数最大，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r－1,5)·3r－1，,C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r＋1,5)·3r＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5！,5－r！r！)×3≥\f(5！,6－r！r－1！)，,\f(5！,5－r！r！)≥\f(5！,4－r！r＋1！)×3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,r)≥\f(1,6－r)，,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1).))∴eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，∵r∈N，∴r＝4.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．求(1＋2x)7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．【解】在二项式系数Ceq\o\al(0,7)，Ceq\o\al(1,7)，Ceq\o\al(2,7)，…，Ceq\o\al(7,7)中，最大的是Ceq\o\al(3,7)与Ceq\o\al(4,7)，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T4＝Ceq\o\al(3,7)(2x)3＝280x3与T5＝Ceq\o\al(4,7)(2x)4＝560x4.设第r＋1项的系数最大，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Tr＋1≥Tr，,Tr＋1≥Tr＋2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,7)2r≥C\o\al(r－1,7)2r－1，,C\o\al(r,7)2r≥C\o\al(r＋1,7)2r＋1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3r≤16，,3r≥13，))由于r是整数，故r＝5，所以系数最大的是第6项，即T6＝Ceq\o\al(5,7)(2x)5＝672x5.忽视二项式系数和致误例4已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)的值为()A．28B．28－1C．27D．27－1【错解】设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，由题意知B－A＝38.令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8.由二项式系数性质可得，aeq\o\al(1,n)＋aeq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n＝28【答案】A【错因分析】误将Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了Ceq\o\al(0,n).【防范措施】(1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．【正解】设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数性质可得：Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n－Ceq\o\al(0,n)＝28－1.【答案】B二项式系数的有关性质的形成过程体现了观