高中数学北师大版1第一章常用逻辑用语第1章2

第一章§2一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当a＋b＝0时，a＝－b，∴a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件答案：A2．设条件A：eq\f(1,x)<1，条件B：x>1，则条件A是条件B的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件解析：x>1⇒eq\f(1,x)<1，即B⇒A，但eq\f(1,x)<1⇒x<0或x>1，故Aeq\o(⇒,/)B.答案：B3．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当a＞0且b＞0时，一定有a＋b＞0且ab＞0.反之，当a＋b＞0且ab＞0时，一定有a＞0，b＞0.故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”答案：C4．“2x2－5x－3＜0”的一个必要不充分条件是A．－eq\f(1,2)＜x＜3 B．0＜x＜2C．－1＜x＜2 D．－eq\f(1,2)＜x＜4解析：2x2－5x－3＜0⇒－eq\f(1,2)＜x＜3，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4)).∴－eq\f(1,2)＜x＜4是2x2－5x－3＜0的必要不充分条件．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果命题“若A则B”的否命题为真命题，而它的逆否命题为假命题，则A是B的________条件．解析：“若A则B”的否命题为真，则其逆命题为真，故“若B则A”成立，而“若A则B”不成立，故A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分6．从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中，选出恰当的一种填空：(1)“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的________________(2)“sinα＞sinβ”是“α＞β”的____________；(3)“M＞N”是“log2M＞log2N”的______________(4)“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的________________．解析：(1)充要条件当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，为偶函数；若f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数，则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0，综上知“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的充要条件．(2)既不充分也不必要条件由正弦函数的图像可知：sinα＞sinβeq\o(⇒,/)α＞β，α＞βeq\o(⇒,/)sinα＞sinβ.(3)必要而不充分条件由函数y＝log2x的单调性知log2M＞log2N⇒M＞N；但是M＞Neq\o(⇒,/)log2M＞log2N.(4)充分而不必要条件x∈M∩N⇒x∈M∪N，x∈M∪Neq\o(⇒,/)x∈M∩N.答案：(1)充要条件(2)既不充分也不必要条件(3)必要而不充分条件(4)充分而不必要条件三、解答题(每小题10分，共20分)7．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)；(3)在△ABC中，p：∠A≠60°，q：sinA≠eq\f(\r(3),2).解析：(1)因为四边形的对角线互相平分eq\o(⇒,/)四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝eq\r(x－1)，x－1＝eq\r(x－1)⇒x2－2x＋1＝x－1⇒x2－3x＋2＝0⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(3)因为在△ABC中，∠A≠60°eq\o(⇒,/)sinA≠eq\f(\r(3),2)，如当∠A＝120°时，sinA＝eq\f(\r(3),2)；在△ABC中，sinA≠eq\f(\r(3),2)⇒A≠60°，所以p是q的必要不充分条件．8．已知p：eq\f(1,2)≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．解析：q是p的必要不充分条件，则p⇒q但qeq\a\vs4\al(eq\o(⇒,/))p.∵p：eq\f(1,2)≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴a＋1≥1且a≤eq\f(1,2)，即0≤a≤eq\f(1,2).∴满足条件的a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求数列{an}为等比数列的充要条件．解析：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．∵p≠0，p≠1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，a2＝S2－S1＝p2＋q－p－q＝p2－p，a1＝p＋q，要使数列{an}为等比数列，必须eq\f(a2,a1)＝eq\f(p2－p,p＋q)＝p，∴p－1＝p＋q，q＝－1，这是数列{an}为等比数列的必要条件．下面证q＝－1是数列{a