高中数学北师大版第二章函数对函数的进一步认识第2章2

第二章§2A级基础巩固1．下列对应为A到B的函数的是eq\x(导学号00814286)(D)A．A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(x)D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0[解析]由函数的定义可知，对于A,0∈R，且|0|＝0∉B，故A不是f：A→B的函数；对于B,0∈Z，且02＝0∉N＋，故B不是f：A→B的函数；对于C，当x<0时，如－2∈Z，但eq\r(－2)无意义，故C不是f：A→B的函数；对于D，是多对一的情形，符合函数的定义，是f：A→B的函数．2．下列各图中表示的对应，其中能构成映射的个数是eq\x(导学号00814287)(D)A．4 B．3C．2 D．1[解析]所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A中每一个元素都必须参与对应．只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．3．已知(x，y)在映射下的像是(x＋y，x－y)，则像(1,2)在f下的原像为eq\x(导学号00814288)(D)A．(eq\f(5,2)，eq\f(3,2)) B．(－eq\f(3,2)，eq\f(1,2))C．(－eq\f(3,2)，－eq\f(1,2)) D．(eq\f(3,2)，－eq\f(1,2))[解析]根据题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,x－y＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝－\f(1,2))).4．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列能表示从集合A到集合B的映射的是eq\x(导学号00814289)(D)[解析]对于A，当x＝0，y＝0∉{y|1≤y≤2}，不是从A到B的映射；对于B，当x＝2时y＝0∉{y|1≤y≤2}，也不是从A到B的映射；对于C，当x＝0时，y＝1且y＝2，即集合A中的一个元素0与集合B中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A到B的映射；对于D，集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，所以是从A到B的映射．5．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是eq\x(导学号00814290)(D)A．M＝N＝R，f：x→y＝－eq\f(1,x)，x∈M，y∈NB．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈NC．M＝N＝R，f：x→y＝eq\f(1,|x|＋x)，x∈M，y∈ND．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N[解析]用排除法，A中集合M的元素0，在f下，N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排除；故选D．6．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是eq\x(导学号00814291)(A)A．4 B．5C．6 D．7[解析]∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}．7．已知集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，则由A到B的一一映射的个数为\x(导学号00814292)[解析]由题意可知如图：共有2个一一映射．8．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，对A中的每一个元素x总有x＋f(x)为偶数，那么从A到B的映射f的个数是\x(导学号00814293)[解析]从A到B的映射共有4个，即其中满足x＋f(x)为偶数的映射只有第3个，因此符合题意的映射共有1个．9．已知映射f：(x，y)→(x＋y，xy).eq\x(导学号00814294)(1)求(－2,3)的像；(2)求(2，－3)的原像．[解析](1)∵x＝－2，y＝3，∴x＋y＝－2＋3＝1，xy＝－2×3＝－6，∴(－2,3)的像是(1，－6)．(2)由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,xy＝－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝3))，∴(2，－3)的原像是(3，－1)或(－1,3)．10．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,4，m2}，x∈A，y∈B，映射f：A→B使A中元素x和B中元素y＝2x对应，求实数m的值.eq\x(导学号00814295)[解析]由对应关系f可知，集合A中元素0,2分别和集合B中的元素0,4对应，所以集合A中的元素4和集合B中的元素m2对应．于是m2＝2×4，解得m＝±2eq\r(2).B级素养提升1．已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示从A到B的映射的是eq\x(导学号00814296)(C)A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(3,2)x D．f：x→y＝eq\r(x)[解析]对于A，当0≤x≤4时，0≤eq\f(1,2)x≤2，f：x→y＝eq\f(1,2)x能构成A到B的映射；对于B,0≤eq\f(1,3)x≤eq\f(4,3)，也能构成集合A到集合B的映射；对于C,0≤eq\f(3,2)x≤6，而[0,6]⃘[0,2]，所以不能构成从A到B的映射；对于选项D,0≤eq\r(x)≤2，能构成从A到B的映射．2．设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，从M到N的映射f满足f(a)>f(b)≥f(c)，则这样的映射f的个数为eq\x(导学号00814297)(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]根据f(a)>f(b)≥f(c)列表：f(a)0111f(b)－1－100f(c)－1－1－10故符合条件的映射共有4个．3．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{0,1}，若映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，则这样的映射的个数是\x(导学号00814298)[解析]由于f(a)＋f(b)＝f(c)，所以只能有f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1，或f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1，或f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，即这样的映射有3个．4．下列对应是集合A到集合B的一一映射的是_(2)__(填正确序号).eq\x(导学号00814299)(1)A＝N，B＝{－1,1}，x∈A，y∈B，f：x→y＝(－1)x；(2)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：x→y＝eq\f(1,3)x；(3)A＝{x|0≤x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：x→y＝eq\f(1,x)；(4)A＝{三角形}，B＝R，f：三角形与它面积的对应．[解析](1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．5．设f，g都是由A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表：eq\x(导学号00814300)映射f的对应关系映射g的对应关系原像123原像123像231像213设a＝g(f(3))，b＝g(g(2))，c＝f(g(f(1)))．试判断a，b，c的大小关系．[解析]∵a＝g(f(3))＝g(1)＝2，b＝g(g(2))＝g(1)＝2，c＝f(g(f(1)))＝f(g(2))＝f(1)＝2，∴a＝b＝c.6．下列对应是不是从A到B的函数？是不是从A到B的映射？eq\x(导学号00814301)(1)A＝B＝N，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}，f：三角形的内切圆；(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；(4)A＝[－1,1]，B＝[－1,1]，f：x→y＝eq\f(1,x).[解析](1)当x∈N时，则|x－3|∈N，即A中的元素在B中都有像，所以(1)是映射，也是函数．(2)由于A，B不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A到B的映射．(3)A中的每一个数都与B中的数1对应，因此，(3)是A到B的函数，它是A到B的映射．(4)取x＝0，y＝eq\f(1,0)没有意义，即A中元素0在B中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．(2)有的同学问：关系式y＝1是y关于x的函数，那么关系式x＝1是y关于x的函数吗？对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数C级能力拔高已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围.eq\x(导学号00814302)[解析]①当a≥0时，集合A中元素的像满足－2a≤ax≤2a.若能够建立从A到B的映射，则[－2a,2a]⊆[－1,1]，即eq