高中数学苏教版(2023)必修第一册第4章指数与对数指数 第4章 指数 学案

指数学习任务核心素养1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点)3．了解实数指数幂的意义.1．借助根式的性质对根式运算，提升学生的数学运算核心素养．2．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．3．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.我们已经知道，eq\f(1,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，…是正整数指数幂，它们的值分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，….那么，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识．知识点1基本概念1．平方根与立方根的概念如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．2．a的n次方根(1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子eq\r(n,a)叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．(2)几个规定：①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝eq\r(n,a)；②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq\r(n,a)表示，它们可以合并写成±eq\r(n,a)(a>0)的形式；③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．\r(3,8)是根式吗？根式一定是无理式吗？[提示]eq\r(3,8)是根式，根式不一定是无理式．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)16的四次方根为2.()(2)eq\r(π－42)＝π－4.()(3)eq\r(4,－16)＝－2.()[提示](1)16的四次方根有两个，是±2；(2)eq\r(π－42)＝|π－4|＝4－π；(3)eq\r(4,－16)没意义．[答案](1)×(2)×(3)×知识点2根式的性质(1)eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)(eq\r(n,an))＝a(n为大于1的奇数)；(3)(eq\r(n,an))＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．(4)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1，a使得eq\r(n,a)有意义)．\r(n,an)＝a对任意实数a都成立吗？[提示]不都成立．当n为不小于3的正奇数时，a为任意实数，等式eq\r(n,an)＝a恒成立．当n为正偶数时，eq\r(n,an)＝|a|.2.若n是偶数，eq\r(n,x－1n)＝x－1，则x的取值范围为________．[1，＋∞)[由题意知x－1≥0，∴x≥1.]知识点3分数指数幂的意义一般地，我们规定：(1)a＝eq\r(n,am)(a>0，m，n均为正整数)；(2)a＝eq\f(1,a)(a>0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义，0的0次幂没有意义．3.(1)eq\r(5,a－2)可化为()A．a B．aC．a D．－a(2)3可化为________．(1)A(2)eq\r(3,9)[(1)eq\r(5,a－2)＝a.(2)3＝eq\r(3,32)＝eq\r(3,9).]知识点4有理数指数幂的运算性质(1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．4.化简[(－eq\r(3))2]的结果为________．eq\f(\r(3),3)[原式＝[(eq\r(3))2]＝(eq\r(3))－1＝eq\f(\r(3),3).]类型1根式的性质【例1】求下列各式的值．(1)eq\r(3,－23)；(2)eq\r(4,－32)；(3)eq\r(8,3－π8)；(4)eq\r(a6)；(5)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)，x∈(－3,3)．[解](1)eq\r(3,－23)＝－2.(2)eq\r(4,－32)＝eq\r(4,32)＝eq\r(3).(3)eq\r(8,3－π8)＝|3－π|＝π－3.(4)eq\r(a6)＝eq\r(a32)＝|a3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3，a≥0，,－a3，a<0.))(5)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))化简根式的依据是什么？应注意什么问题？[提示]化简的依据是根式的性质．化简时要注意是奇次还是偶次根式．另外注意eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别．[跟进训练]1．化简求值．(1)eq\r(－π2)＋eq\r(＋π2)；(2)eq\r(4,m－n4)＋eq\r(3,m－n3)；(3)若eq\r(x2－2x＋1)＋eq\r(y2＋6y＋9)＝0，求yx.[解](1)eq\r(－π2)＋eq\r(＋π2)＝|－π|＋|＋π|＝2π.(2)原式＝|m－n|＋(m－n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－n，m≥n，,0，m<n.))(3)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0,y＋3＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3，))∴yx＝(－3)1＝－3.类型2根式与分数指数幂的互化【例2】将下列根式化成分数指数幂的形式．(1)eq\r(a\r(a))(a>0)；(2)eq\f(1,\r(3,x·\r(5,x2)2))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,b)))(b>0)．[解](1)原式＝(2)原式＝.(3)原式＝.1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用a＝eq\r(n,am)和a＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．[跟进训练]2．用分数指数幂表示下列各式．(1)eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))(a>0，b>0)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解](1)eq\r(\f(b3,a)·\r(\f(a2,b6)))＝eq\r(\f(b3,a)·\f(a,b3))＝1.类型3分数指数幂的运算【例3】(1)计算：－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋[(－2)3]＋16－＋|－|；(2)化简：．[思路点拨]将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．[解](1)原式＝－1＋(－2)－4＋(24)－＋＝－1－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋＝eq\f(143,80).指数幂与根式运算的技巧(1)有理数指数幂的运算技巧①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算．②指数的处理：负指数先化为正指数．③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示．(2)根式运算技巧①各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算．②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂．[跟进训练]3．(1)化简：(a·b·c)÷(a·b·c)＝________.(2)计算：①eq\r(6\f(1,4))＋eq\r(3,43)＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－2＝________.②2＋eq\f(－20,2)－eq\f(1,\r(2)－1)＋2eq\r(3)×12×eq\r(3,\f(3,2))＝________.(1)ac(2)①②5[(1)原式＝a·b·c＝ab0c＝ac.(2)①原式＝eq\r(\f(25,4))＋4＋4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝eq\f(5,2)＋4＋eq\f(10,3)×9＝.②原式＝eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(2))－(eq\r(2)＋1)＋2×3×(2×2×3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\r(2)－eq\r(2)－1＋2·3＝－1＋2×3＝5.]类型4指数幂运算中的条件求值【例4】已知a＋a＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.a与a及a与a－1之间有怎样的关系？a、a及a·a－1a2·a[提示]平方关系，乘积为1.[解](1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．[解]令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3).2．(变结论)在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解]由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3).3．(变条件)已知x＋x＝eq\r(5)，求x2＋x－2.[解]将x＋x＝eq\r(5)，两边平方，得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方，得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.条件求值问题的常用方法(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．1．把根式aeq\r(a)化成分数指数幂是()A．(－a) B．－(－a)C．－a D．aD[由题意知a≥0，所以aeq\r(a)＝a·a＝a.]2．已知x＋x＝5，则eq\f(x2＋1,x)的值为()A．5 B．23C．25 D．27B[由xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)＝5得x＋x－1＝23，所以eq\f(x2＋1,x)＝x＋x－1＝23.]3．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.8[52x－y＝eq\f(52x,5y)＝eq\f(5x2,5y)＝eq\f(42,2)＝8.]4．计算：(1)eq\r(x2－2x＋1)＝________.(x<1)(2)[(－eq\r(2))2]的结果是________．(1)1－x(2)eq\f(\r(2),2)[(1)原式＝eq\r(x－12)＝|x－1|＝1－x.(2)[(－eq\r(